13. Алгебра логики. Переменные и константы алгебры логики.

Алгебра логики, раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Переменная xi функции f (x1, …, xn) называется существенной, если существуют такие два набора из нулей и единиц, различающиеся только в i-й компоненте, что функция f на этих наборах принимает различные значения. В этом случае говорят, что функция f (x1, …, xn) существенно зависит от переменной xi. Переменная xi, не являющаяся существенной, называется несущественной или фиктивной переменной функции f (x1, …, xn); в этом случае говорят, что функция f (x1, …, xn) не зависит существенно от переменной xi.

Например, функция f (x1, x2) = x1 x2 существенно зависит от переменной x1, так как f (0, 1) ≠ f (1, 1). Она также существенно зависит от переменной x2, так как f (1, 0) ≠ f (1, 1). Аналогично показывается, что все функции, приведённые в табл. 2, существенно зависят от обеих переменных. Очевидно, что константы 0 и 1 не имеют существенных переменных.

Значение функции на каждом наборе полностью определяется набором значений её существенных переменных. В связи с этим часто для удобства использования (и следуя возникшей традиции) понятие равенства распространяется также на функции, отличающиеся лишь несущественными переменными, и понимается следующим образом. Две функции называются равными, если у них множества существенных переменных совпадают и на каждом наборе значений этих переменных рассматриваемые функции принимают одинаковые значения.

Таким образом, всякое множество булевых функций вместе с каждой функцией содержит также и все функции, которые отличаются от исходной лишь фиктивными переменными. То есть фактически определяется операция введения фиктивной переменной на рассматриваемом множестве функций.

14. Законы и аксиомы алгебры логики. Логические функции.

Законы алгебры логики базируются на аксиомах и позволяют преобразовывать логические функции. Логические функции преобразуются с целью их упрощения, а это ведет к упрощению цифровой схемы.

АКСИОМЫ алгебры логики описывают действие логических функций "И" и "ИЛИ" и записываются следующими выражениями:

0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1

0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1

Всего имеется пять законов алгебры логики:

1. Закон одинарных элементов

1 * X = X 0 * X = 0 1 + X = 1 0 + X = X

Этот закон непосредственно следует из приведённых выше выражений аксиом алгебры логики.

Верхние два выражения могут быть полезны при построении коммутаторов, ведь подавая на один из входов элемента “2И” логический ноль или единицу можно либо пропускать сигнал на выход, либо формировать на выходе нулевой потенциал.

Второй вариант использования этих выражений заключается в возможности избирательного обнуления определённых разрядов многоразрядного числа. При поразрядном применении операции "И" можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды единичный или нулевой потенциал. Например, требуется обнулить 6, 3 и 1 разряды. Тогда:

В приведённом примере отчётливо видно, что для обнуления необходимых разрядов в маске (нижнее число) на месте соответствующих разрядов записаны нули, в остальных разрядах записаны единицы. В исходном числе (верхнее число) на месте 6 и 1 разрядов находятся единицы. После выполнения операции "И" на этих местах появляются нули. На месте третьего разряда в исходном числе находится ноль. В результирующем числе на этом месте тоже присутствует ноль. Остальные разряды, как и требовалось по условию задачи, не изменены.

Точно так же можно записывать единицы в нужные нам разряды. В этом случае необходимо воспользоваться нижними двумя выражениями закона одинарных элементов. При поразрядном применении операции “ИЛИ” можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды нулевой или единичный потенциал. Пусть требуется записать единицы в 7 и 6 биты числа. Тогда:

Здесь в маску (нижнее число) мы записали единицы в седьмой и шестой биты. Остальные биты содержат нули, и, следовательно, не могут изменить первоначальное состояние исходного числа, что мы и видим в результирующем числе под чертой.

Первое и последнее выражения позволяют использовать логические элементы с большим количеством входов в качестве элементов с меньшим количеством входов. Для этого неиспользуемые входы в схеме “И” должны быть подключены к источнику питания, как это показано на рисунке 1:

Схема "2И-НЕ", реализованная на элементе "2И-НЕ". А неиспользуемые входы в схеме "ИЛИ" должны быть подключены к общему проводу схемы, как это показано на рисунке 2.

Схема "НЕ", реализованная на элементе "2И-НЕ".