4. Подгруппы Теоретические сведения

Определение 4.1. Подгруппой в группе называется всякое непустое подмножество элементов множества , которое в свою очередь является группой относительно той же операции. Подгруппа группы называется собственной, если и .

Выяснить, какое из подмножеств группы является подгруппой помогает

Теорема 4.1 (Критерий подгруппы). Непустое подмножество группы является подгруппой тогда и только тогда, когда для произвольных элементов имеет место включение.

Как правило, в каждой группе имеется много различных подгрупп. Например, всевозможные степени конкретного элемента группы образуют циклическую подгруппу. Отметим, что имеет место

Теорема 4.2. Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

Во всякой некоммутативной группе представляет интерес максимальная подгруппа элементов, коммутирующих со всеми элементами группы. Ее называют центром группы и обычно обозначают череза подгруппыназывают центральными подгруппами группы

Определение 4.2. Пусть –собственная подгруппа группы Пусть . Через обозначим множество элементов и назовем его левым смежным классом группы по подгруппе .

Если существует , , можно построить новый левый смежный класс и так далее.

Аналогично строят правые смежные классы. Если каждый левый смежный класс совпадает с правым: то тогда смежные классы называют двусторонними. Такими являются смежные классы в любой абелевой группе Смежные классы обладают радом важных свойств.

Теорема 4.3. Пусть – собственная подгруппа группы Тогда:

1) каждый элемент принадлежит какому-нибудь левому смежному классу по подгруппе ;

2) два элемента принадлежат одному левому смежному классу тогда и только тогда, когда ;

3) любые два левых смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают;

4) для всякого мощности множеств и совпадают;

5) G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смежных классов по подгруппе ;

6) Мощности множеств всех левых и соответственно правых смежных классов группы по подгруппе равны.

Определение 4.3. Индексом подгруппы в группе называется мощность множества всех смежных классов группы по данной подгруппе и обозначается через .

С помощью свойств смежных доказывается важнейшая в теории конечных групп.

Теорема 4.4 (теорема Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.

Следствие 1. В конечной группе индекс подгруппы равен частному от деления порядка группы на порядок подгруппы.

Следствие 2. Любая группа простого порядка является циклической и не содержит собственных подгрупп.

Следствие 3. Если – конечная группа из n элементов, то для каждого . Другими словами, в конечной группе порядок любого ее элемента делит порядок самой группы.

Определение 4.4. Подгруппа группыназывается нормальной, если для каждого.

Очевидно, всякая подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой.

Задания для аудиторной работы

Задание 4.1. Привести примеры подгрупп в группе Образуют ли подгруппу:

а) все отрицательные числа; все положительные числа;

б) все четные числа; все нечетные числа;

в) множество целых чисел от 0 до 10; от –5 до 5;

д) все целые числа, делящиеся на 2009;

е) все целые числа с остатком 1999 при делении на 2009?

Задание 4.2. Привести примеры подгрупп а) в группе всех комплексных чисел с операцией сложения; б) в группе

Задание 4.3. Привести примеры подгрупп в группе всех невырожденных вещественных квадратныхматриц данного порядкаНайти центр этой группы.

Задание 4.4. Много ли подгрупп у произвольной группы? Какова минимальная подгруппа, содержащая данный элемент группы? Какие еще элементы группы она должна содержать?

Задание 4.5. Выяснить, является ли подгруппой: а) объединение подгрупп; б) дополнение к подгруппе; в) симметрическая разность двух подгрупп; г) пересечение подгрупп; д) множество всех -х степеней всех элементов абелевой группы.

Задание 4.6. В любой группе имеются циклические подгруппы (иногда совпадающие с самой группой). При каких условиях в группе имеются нециклические подгруппы? Привести примеры.

Задание 4.7. Показать, что мультипликативная группа абелева, но не циклична, а циклична.

Задание 4.8. Пусть – множество всевозможных строк-матриц с четырьмя координатами из – группа относительно операции покоординатного сложения по модулю два. Сколько в этой группе элементов?

Пусть – следующееподмножество элементов группы

,

здесь . Убедиться, что подгруппа, выписать таблицу смежных классов группы по

Решение. Поскольку каждая из координат может независимо от других принимать лишь два значения, то мощность группы равна 16.

Уже неоднократно обсуждалось, что операция покоординатного сложения по модулю два ассоциативна. Составив таблицу сложения элементов множества , можно убедиться, что сложение этих элементов не выводит за пределы, то естьзамкнута относительно сложения.содержит нейтральный элемент – нулевой вектор. Каждый вектор изобратен самому себе. Таким образом,удовлетворяет всем аксиомам из определения группы. Следовательно,– подгруппа группы.

Выпишем таблицу всех смежных классов группы по подгруппе

№ п/п	Класс
1		(0000)	(1011)	(0101)	(1110)
2	(1000)	(1000)	(0011)	(1101)	(0110)
3	(0100)	(0100)	(1111)	(0001)	(1010)
4	(0010)	(0010)	(1001)	(0111)	(1100)

Задание 4.9. Выписать все элементы мультипликативной группы сравнить количество элементов этой группы сВыяснить, является ли эта группа циклической. Выписать таблицу смежных классовгруппыпо циклической подгруппе

Решение. ..

Следовательно, . Группациклична, если в ней найдется элемент порядка, то есть циклическая группа, порожденная некоторым элементом, совпадает со всей группойПопытаемся найти такой элемент. Наудачу выпишем циклическую подгруппу

–подгруппа порядка 6. По теореме Лагранжа все остальные элементы этой подгруппы имеют порядки, являющиеся делителями 6.

–

подгруппа порядка 6. Следовательно, ее элементы 7, 19, 31, не принадлежащие также имеют порядок, не превышающий 6.

–подгруппа порядка 6. Следовательно, ее элементы 11, 23, 35, не принадлежащие подгруппам и также имеют порядок, не превышающий 6. Таким образом, все 12 элементов группы имеют порядок, не превосходящий 6. Поэтому группане может быть циклической.

подгруппа из трех элементов. Поэтому таблица смежных классов должна состоять изсмежных классов. Одним из них всегда является подгруппаВот оставшиеся три смежных класса:

Задание 4.10. Содержит ли группа нециклическую подгруппу?

Решение. Да, содержит. В этой группе имеются три элемента второго порядка: 17, 19, 35. Эти элементы обратны сами себе, так как из условия следует, чтоВместе с 1 они образуют замкнутую систему относительно умножения по модулю 36, и, следовательно, подгруппу – нециклическую подгруппу из четырех элементов.