12. Комплексная форма ряда Фурье.

Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Преобразуем ряд и его коэффициенты к комплексной форме. Для этого используем формулы Эйлера, выражение косинус и синус через показательную функцию:, (из формулы Эйлера и вытекающего из нее равенства находим, что , . Подставив эти выражения в ряд , находим:

где обозначено , .

, или .

Коэффициенты этого ряда можно записать в виде

().

Равенство , или называется комплексной формой ряда Фурье функции , а числа найденные по формуле - комплексным коэффициентом ряда Фурье.

12. Интеграл Фурье

, или .

эта формула называется формулой Фурье, а интеграл в правой части формулы – интегралом Фурье для функции .

Данную формулу можно переписать в виде однократного интеграла:

т.е. , где , .

Если функция - четная, то формула принимает вид , где ; в случае нечетной функции - , где .

12. Преобразование Фурье.

Формулу Фурье можно представить в симметричной форме записи, если положить в формулах и , . В случае четной функции , где ; в случае нечетной функции , где .

Функции и называются соответственно косинус-преобразованием и синус-преобразованием Фурье для функции .

12. Понятие функции комплексной переменной.

Пусть даны два множества D и E, элементами которых являются комплексные числа. Числа множества D будем изображать точками комплексной плоскости , а числа множества E – точками комплексной плоскости .

Если каждому числу (точке) по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) , то говорят , что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного , отображающая множество D в множестве E.

Если каждому соответствует несколько значений , то функция называется многозначной.

Множество D называется областью определения функции ; множество E₁ всех значений , которые принимает на E, называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества E является значением функции, то E – область значений функции; в этом случае функция отображает D на E).

Далее будем рассматривать такие функции , для которых множества D и E₁ являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающий свойствами открытости и связности.

Функцию можно записать в виде , т.е. , где , , .

Функцию при этом называют действительной частью функции , а - мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

12. Основные элементарные функции комплексной переменной.

Показательная функция

Показательная функция определяется формулой

Показательная функция комплексного переменного обладает специфическим свойством: она является периодической с мнимым основным периодом .

 Действительно, , т.е.

Отметим, что не всегда больше нуля. Например, 

Логарифмическая функция

Эта функция определяется как функция, обратная показательной: число называется логарифмом числа , если , обозначается . Т.к. значения показательной функции всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция определена на всей плоскости , кроме точки .

, т.е. или, , где .

Формула (*) показывает, что функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т.е. – многозначная функция.

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (*) определенное значение k. Положив k=0, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма и обозначают символом :

Формулу (*) можно переписать так .

Из формулы (*) следует, что логарифмическая функция обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Степенная функция .

Если n – натуральное число , то степенная функция определяется равенством . Функция - однозначная.

Если , то этом случае

Функция - многозначная.

Если , то степенная функция определяется равенство

Функция - многозначная.

Степенная функция с произвольным комплексным показателем определяется равенством

Тригонометрическая функция

Тригонометрическая функции комплексного аргумента определяются равенствами , При действительных эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного. Так, при

.

Гиперболические функции Эти функции определяются равенствами

,

Заменяя в указанных функциях на , получим:

().

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Число w называется арксинусом числа z, если и обозначается .