61. Квантор общности. Семантика.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», ошибочно: «для любого…», «любой…») и квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает «для большинства x».

Квантор всеобщности — это условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для какихто отдельных из указанных чисел.

В предикатной логике, квантор всеобщности — это попытка формализации обозначения того, что нечто (логическое выражение) истинно для всего, или для любой относящейся к делу сущности.

В символической логике, квантор всеобщности (обычно ) — это символ, обозначающий всеобщность и часто неформально читается как «для любого» или «для всех».

Выражение читается так:

для любого (всякого, каждого) [значения] x из X P(x) [истинно];

всякий (любой, каждый) элемент x множества X (где X — множество значений переменной x) обладает свойством P(x);

каково бы ни было x, P(x) истинно.

СЕМАНТИКА, в широком смысле слова – анализ отношения между языковыми выражениями и миром, реальным или воображаемым, а также само это отношение (ср. выражение типа семантика слова) и совокупность таких отношений (так, можно говорить о семантике некоторого языка). Данное отношение состоит в том, что языковые выражения (слова, словосочетания, предложения, тексты) обозначают то, что есть в мире, – предметы, качества (или свойства), действия, способы совершения действий, отношения, ситуации и их последовательности. Термин «семантика» образован от греческого корня, связанного с идеей «обозначения» (ср. semantikos «обозначающий»). Отношения между выражениями естественного языка и действительным или воображаемым миром исследует лингвистическая семантика, являющаяся разделом лингвистики. Семантикой называется также один из разделов формальной логики, описывающий отношения между выражениями искусственных формальных языков и их интерпретацией в некоторой модели мира.

62. Квантор существования. Семантика.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», ошибочно: «для любого…», «любой…») и квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает «для большинства x».

В предикатной логике, квантор существования — это предикат свойства или отношения для, по крайней мере, одного элемента области определения. Он обозначается как символ логического оператора (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования отличается от квантора всеобщности, который утверждает, что свойство или отношение выполняется для всех элементов области.

Выражение читается так:

существует [значение] x из X такое, что P(x) [истинно]

для некоторых [значений] x из X, P(x) [истинно]

существует элемент x множества X, обладающий свойством P(x)

по крайней мере (хотя бы) один элемент x множества X обладает свойством P(x)

некоторые элементы множества X обладает свойством P(x)

найдётся такое x из X, что P(x) истинно

63. Двойственность кванторов. Открытые и замкнутые формулы.

СТ ЕНН СТ - содержательное понятие, применяемое в логике и математике всякий раз, когда между двумя группами понятий установлено взаимно-однозначное соответствие так, что замена понятий одной группы на соответствующие понятия др. группы каждый раз переводит истинные высказывания в истинные высказывания. Понятие "Д." употребляется, напр., в логике (двойств. понятия: конъюнкция и дизъюнкция, квантор общности и квантор существования. См. Кванторы), в теории структур (двойственные понятия: "+" и "·"; 1 и 0), в теоретико-множественной топологии (двойств. понятия: объединение и пересечение множеств).

Формула х называется замкнутой (или предложением), если множество (А) ее свободных переменных пусто (А(х) = ). Незамкнутые формулы называются

открытыми.

64. Формальная теория логики высказываний.

Логика высказываний (или пропозициональная логика) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности. Также она является базой для более выразительных логик, таких как логика первого порядка а также логик высших порядков.

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно следующим образом:

1.Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.

2.Если A — формула, то — формула.
3.Если A и B — формулы, то , и	— формулы.

4.Каждая формула может быть получена за конечное число шагов при помощи предыдущих трёх правил.

Знаки и (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Правила построения формул логики высказываний Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если

элементарное высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.

Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1)&(Ф2)), ((Ф1)V(Ф2)), ((Ф1)->(Ф2)), ((Ф1)~(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Истинностное значение Оценкой пропозициональных переменных называется функция из множества всех

пропозициональных переменных в множество {0, 1} (т.е. множество истинностных значений). Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если дана оценка (т.е. определены истинностные значения входящих в неё переменных). Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок.