Конспект ТЭС 1 сем

53

13.3 Основная теорема Шеннона

Формулировка теоремы:

Если производительность источника меньше пропускной способности канала

H '(A) < C ,

то существует способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе канала), при котором вероятность ошибочного декодирования может быть сколь угодно мала. Если же H '(A) ≥ C , то таких способов не существует.

Согласно теореме Шеннона, ошибки в канале не являются препятствием для безошибочной передачи информации. Неконструктивность теоремы заключается в том, что не указывается конкретный код, исправляющий все ошибки. Пропускная способность канала характеризует потенциальные возможности передачи информации, т.е. является предельным значением скорости безошибочной передачи информации.

14 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

14.1 Исходные понятия и определения

Электрической цепью называется совокупность соединенных определенным образом физических элементов, предназначенных для прохождения, изменения и преобразования электрических сигналов.

Примеры элементов цепей: источники энергии, резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, электронные приборы, соединительные провода.

Свойства элементов цепей описываются внешними характеристиками, каждая из которых представляет собой зависимость реакции у от воздействия х:

y = f (x) .

Примеры внешних характеристик: вольт-амперная характеристика для резистора u = f (i) ; кулон-вольтная характеристика для конденсатора q = f (u) ; вебер-амперная характеристика для катушки индуктивности Ф = f (i) .

Элементы цепей разделяют на линейные, нелинейные и параметрические. Нелинейными называются элементы, параметры (R или G=1/R, L, C) которых

зависят от электрических воздействий (протекающих в них токов и приложенных к

54

ним напряжений), но не зависят от времени. Характеристики таких элементов имеют вид нелинейных зависимостей.

у

0 х

Рисунок 14.2 – Внешняя характеристика нелинейного элемента (НЭ). Цепь, содержащая хотя бы один НЭ, называется нелинейной.

Свойства нелинейных цепей и элементов:

- не подчиняются принципу суперпозиции (наложения), т.е. реакция на сумму воздействий не равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности:

y = f (x1 + x2 ) ≠ y1 + y2 = f (x1 ) + f (x2 ) ;

- способны порождать новые частоты, т.е. спектр реакции содержит новые частоты по сравнению со спектром воздействия.

14.2 Классификация НЭ

Взависимости от способности рассеивать электромагнитную энергию в виде тепла или накапливать магнитную и электрическую энергию различают резистивные НЭ (полупроводниковый диод, транзистор, электронная лампа) и реактивные НЭ (нелинейная индуктивность (катушка с сердечником), нелинейная емкость (вариконд, варикап, варактор)).

Взависимости от наличия дополнительного управляющего фактора различают неуправляемые и управляемые НЭ. Неуправляемые представляют собой двухполюсники (диоды, газоразрядная лампа, варистор, терморезистор). Управляемые – это многополюсники (транзистор, электронная лампа, тиристор).

По инерционности различают инерционные и безынерционные НЭ. Инерционным в электрическом смысле является такой НЭ, в котором фаза пер-

вой гармоники отклика отстает от фазы гармонического воздействия (реактивные НЭ; диод, транзистор, электронная лампа выше определенной частоты входного сигнала).

55

Инерционный в тепловом смысле НЭ – элемент, сопротивление которого зависит от температуры и, соответственно, тока, протекающего через него (проволочное сопротивление (лампа накаливания), непроволочное сопротивление (терморезистор)).

По активности различают активные и пассивные НЭ. Активные способны преобразовывать электрические колебания одной формы (частоты) в колебания другой формы (частоты) (транзистор, электронная лампа, туннельный диод). Пассивные потребляют или накапливают электрическую (электромагнитную) энергию (полупроводниковый диод, реактивные НЭ).

14.3 Параметры НЭ

Статические параметры НЭ (R(i) или G(u)=1/ R(i), L(i), C(u)) вычисляются по внешним характеристикам НЭ (вольт-амперной u = R(i)i или i = G(u)u , веберамперной Ф = L(i)i , кулон-вольтной q = C(u)u ) при фиксированных значениях напряжения u или тока i .

Статический параметр НЭ в рабочей точке А с координатами (х0, у0) вычисляется как отношение значения функции у0 к значению аргумента х0, т.е. пропорционален тангенсу угла наклона прямой, проведенной через начало координат и точку А, α:

a(x0 ) = y0 / x0 = katgα ,

где ka - коэффициент пропорциональности, зависящий от масштаба по осям координат х, у.

у
у0	А
α
х0	х

Рисунок 14.3 – Определение статического параметра НЭ. Дифференциальные параметры НЭ определяются при линеаризованной внеш-

ней характеристике НЭ относительно рабочей точки формулами:

Rдиф (i) = du / di ; Gдиф (u) =1/ Rдиф (i) = Sдиф (u) = di / du ; Cдиф (u) = dq / du ; Lдиф (i) = dФ/ di .

56

Дифференциальный параметр НЭ в рабочей точке А вычисляется как отношение приращения функции у к приращению аргумента х, т.е. пропорционален тангенсу угла наклона касательной к характеристике в этой точке β:

aдиф (x0 ) = ∆y / ∆x x = x0 = katgβ .

у
А
у0
		у
β
х	х0	х

Рисунок 14.4 – Определение дифференциального параметра НЭ. Средние параметры НЭ определяют по первой гармонике реакции аналитиче-

ски, располагая математическим выражением для внешней характеристики. Для этого не НЭ подают гармоническое колебание x(t) = X m cosωt , из спектра реакции выделяют первую гармонику Ym1 cos(ωt +ϕ1 ) и делят комплексную амплитуду реакции на амплитуду воздействия:

aср = (Ym1 / X m )e jϕ1 .

15 АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЭ

15.1 Общие понятия

Аппроксимация нелинейной характеристики – замена истинной (эксперимен-

тально полученной) характеристики приближенно представляющей ее функцией. Необходимость аппроксимации возникает при анализе, синтезе и расчете нели-

нейных цепей. Для упрощения аппроксимируют не всю характеристику НЭ, а только ее рабочий участок (используемую часть).

Различают способы аппроксимации:

-полиномиальная;

-кусочно-линейная;

-с помощью трансцендентных функций.

Выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы НЭ. Выбранный способ аппроксимации должен обеспечивать до-

57

статочные полноту описания свойств НЭ, простоту математической обработки полученного представления характеристики и точность расчета.

График характеристики НЭ будем показывать сплошной линией, а график аппроксимирующей функции – штриховой.

15.2 Полиномиальная аппроксимация

Является одним из наиболее распространенных способов аппроксимации. Заключается в представлении нелинейной характеристики в виде полинома (многочлена) n-ой степени относительно рабочей точки (x0, y0):

y − y0 = a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +... + an (x − x0 )n ,

где y0 = y(x0 ) = a0 , a1 , a2 ,..., an - коэффициенты полинома. Зависят от положения рабочей точки на характеристике;

n - порядок полинома. Определяется требуемой точностью расчетов. Примеры:

1) Полином второй степени:

i(u) = i(U0 ) + a1 (u −U0 ) + a2 (u −U0 )2 -

- используется, если рабочая точка (определяется постоянным напряжением U0 ) расположена на начальном участке характеристики, имеющем вид квадратичной параболы, и подводимое к НЭ напряжение сигнала не выходит за начало характеристики (за точку U н , которая определяется из условия: i(Uн)=0).

i

i(U0)
0 U	a U b u
н	0

Рисунок 15.1 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином второй степени. Используемые обозначения:

-i(U0) – ток покоя;

-(a, b) – используемый участок ВАХ.

2)Неполный полином третьей степени:

58

i(u) = i(U0 ) + a1 (u −U0 ) + a3 (u −U0 )3 -

- используется, если рабочая точка является точкой перегиба характеристики и напряжение сигнала не выходит за пределы напряжения насыщения +Umax.

i

i(U0)

0	a	U0 b	u
	Umax	Umax

Рисунок 15.2 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином третьей степени.

3) Полином высокой (пятой и более) степени используется, если рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики и изменение напряжения сигнала велико.

i

0 a U0 b

Рисунок 15.3 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином высокой степени.

15.2 Кусочно-линейная аппроксимация

Применяется при очень больших амплитудах входного сигнала. Заключается в замене реальной характеристики идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрезков прямых линий, являющихся касательными к характеристике.

Примеры:

1) Два линейных отрезка используется, если сигнал захватывает нижний сгиб и линейный участок характеристики.

59

i

0	a	b с	u

Рисунок 15.4 – Характеристика при числе аппроксимирующих отрезков 2. Используемое обозначение: (a, c) – используемый участок ВАХ.

2) Три линейных отрезка используется, если сигнал захватывает нижний и верхний сгибы характеристики.

i

0 a b с d u

Рисунок 15.5 – Характеристика при числе аппроксимирующих отрезков 3. Используемое обозначение: (а, d) – используемый участок ВАХ.

3) Четыре линейных отрезка используется, если сигнал достигает также и падающего участка характеристики.

i

0 a b с	d f	u

Рисунок 15.6 – Характеристика при числе аппроксимирующих отрезков 4. Используемое обозначение: (a, f) – используемый участок ВАХ.

15.3 Аппроксимация с помощью трансцендентных функций

Применяется при более сложной форме используемого участка характеристики. Заключается в замене реальной характеристики трансцендентной (неалгебраической) функцией. Неалгебраическими являются функции: экспоненциальная ( y = ex ), гиперболическая ( y = k / x ), показательная ( y = a x ), логарифмическая ( y = loga x ), три-

гонометрические	60		y = tgx, y = ctgx ),	об-
	( y = sin x,	y = cos x,
ратные тригонометрические ( y = arcsin x,	y = arccos x,	y = arctgx,	y = arcctgx ).

Пример:

ВАХ полупроводникового диода в пределах от –(0,3…1) до +(0,25…0,6) В достаточно точно может быть представлена экспонентой (рисунок 15.7):

i = I0 (eαu −1) ,

где I0 =100 нА (для германиевого диода) или I0 =10 пА (для кремниевого диода) – теоретический обратный ток;

1/α = kT / qe	- тепловой (термический потенциал);
qe =1,6 1019	Кл – заряд электрона;
k =1,38 10−23	Дж/К – постоянная Больцмана;

T – абсолютная температура.

i

I0	u

-(0,3…1) +(0,25…0,6)

Рисунок 15.7 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется экспоненциальная функция.

16 АНАЛИЗ СПЕКТРА ОТКЛИКА НЭ НА ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

16.1 Методы спектрального анализа

Гармонический анализ отклика НЭ осуществляется при воздействии на него гармонического колебания со «смещением», представляемого выражением:

u(t) =U0 +U m1 cosω1t .

Цель гармонического анализа отклика – определение его спектрального со-

става. При этом имеется ввиду, что НЭ безынерционный. Под таким НЭ подразумевается любой электронный прибор с нелинейной ВАХ при использовании его в диапазоне частот, на которых можно пренебречь влиянием паразитных параметров (внутренних емкостей и индуктивностей).

61

Наиболее распространенные методы анализа и случаи их использования приведены в таблице 16.1.

Таблица 16.1 – Методы спектрального анализа.

Метод спектрального анализа	Способ аппроксимации ВАХ
С использованием тригонометрических фор-	Полиномиальный
мул кратного аргумента (аналитический)
Угла отсечки (графический)	Кусочно-линейный
С использованием формул трех и пяти ординат	Не требует аппроксимации
(графоаналитический)	характеристики НЭ
С использований функций Бесселя от мнимого	Экспонента или сумма экспонент
аргумента

При методе угла отсечки используется кусочно-линейная аппроксимация характеристики НЭ. Форма реакции находится графическим методом (методом проекций), который заключается в построении третьей проекции y(t) (реакции НЭ) по известным двум: воздействию x(t) и характеристике y = f (x) . При построении графика y(t) сначала наносят характерные точки: максимумы, минимумы, пересечения с осью абсцисс, - а затем промежуточные точки. Спектральный состав реакции определяется при разложении ее в ряд Фурье.

Метод кратных аргументов основывается на получении выражения реакции y(t) путем подстановки в степенной полином, которым представлена нелинейная характеристика y = f (x) , выражения воздействия x(t) , представленного в виде ряда Фурье. После элементарных преобразований с учетом известных тригонометрических формул кратных аргументов и группировки слагаемых с одинаковыми аргументами получают выражение отклика в виде ряда.

16.2 Слабонелинейный режим работы НЭ

Рассмотрим режим работы, при котором напряжение сигнала u(t) не выходит за пределы точки начала характеристики U н (рисунок 15.1) и ВАХ удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом третьей степени:

i(u) = a0 + a1 (u −U0 ) + a2 (u −U0 )2 + a3 (u −U0 )3 ,

62

где u(t) =U0

+U m1 cosω1t - входной сигнал.

Подставим в заданный полином выражение входного сигнала:

i(t)

= a

0

+ a U

m1

cosω t + a

2

(U

m1

cosω t)2

+ a

(U

m1

cosω t)3

=

1

1

1

3

1

= a

0

+ a U

m1

cos

ω t

+ a U

m1

2 cos2 ω t +

3

U

3 cos

3 ω t.

1

1

2

1

m1

1

Применяя тригонометрические формулы кратных аргументов:

cos2 α =1/ 2 +1/ 2cos 2α,

cos3 α = 3/ 4cosα +1/ 4cos3α,

−

избавимся от степеней тригонометрических функций:

i(t) = a

0

+ a U

m1

cosω t +1/ 2a U

2 +1/ 2a U

2

cos 2ω t +3/ 4a U

3

cosω t +1/ 4a U

m1

3 cos3ω t.

1

1

2

m1

2

m1

1

3

m1

1

3

1

Сгруппируем слагаемые с одинаковым аргументом косинуса:

i(t)

= (a

0

+1/ 2a U

m1

2 )

+ (a U

+3/ 4a U

3 )cosω t +

2

1 m1

3 m1

1

+1/ 2a U

2 cos 2ω t

+1/ 4a U

3 cos3ω t.

2

m1

1

3

m1

1

Заменим коэффициенты обозначением тока:

I0 = a0 +1/ 2a2U m1

2 - постоянная составляющая;

Im1

= a1U m1 + 3/ 4a3U m1

3 - амплитуда первой гармоники;

Im2

=1/ 2a2U m1

2 - амплитуда второй гармоники;

Im3

=1/ 4a3U m1

3 - амплитуда третьей гармоники.

Отклик представим в виде:

i(t) = I0

+ Im1 cosω1t + Im2 cos 2ω1t + Im3 cos3ω1t.

Представим воздействие и отклик графически.

Umk

I mk

Рисунок 16.1 – Спектральные диаграммы гармонического воздействия и отклика на него.

Выводы:

-спектр отклика при воздействии гармонического сигнала линейчатый;

-частоты составляющих спектра кратны частоте входного сигнала;