5_MathCAD

21

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Лабораторная работа №4. Модель межотраслевого баланса Леонтьева.

Вычисление совокупного выпуска по заданному спросу

Цель работы: построить модель межотраслевого баланса на примере нескольких секторов экономики и определить совокупный выпуск по заданному спросу в среде MathCAD.

Теоретическая часть.

Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей, производящих определённые товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определённые ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идёт на потребление в производящих отраслях, а другая её часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.

Обозначим:

xi - объём выпуска i-го сектора (объем товаров и услуг, произведенных в одном из n

производящих секторов), i=1,2,...,n;

bij- объём товаров и услуг i-го сектора, потребляемых в j-ом секторе;

y i - конечный продукт i-го сектора (объём продукции i-го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса);

aij			bij	- количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве
			xj

одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

Межотраслевой баланс - это равенство объема выпуска каждого производящего сектора суммарному объёму его продукции, потребляемой производственными секторами и сектором конечного спроса. В приведенных обозначениях имеем соотношения баланса:

22

n

xi

∑ (bij + y i)

, i = 1, 2, ..., n.

j = 1

Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат, имеют вид:

n

xi

∑ (aij xj + y i)

, i = 1, 2, ..., n,

или, что то же самое,

j

= 1

n

xi −

∑ aij xj

y i

, i = 1, 2, ..., n.

j = 1

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остаётся после того, как обеспечены потребности производящих секторов.

Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта)

– через Y, а структурную матрицу экономики – матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат aij – через А, то соотношения баланса в матричной форме имеют

вид: (E − A)X Y, где Е – единичная матрица.

Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как X (E − A)− 1Y .

Матрица D (E − A)− 1 называется матрицей полных затрат.

Практическая часть.

Пусть задана модель экономики, в которой выделены четыре сектора: три производящих сектора (промышленность, сельское хозяйство, транспорт) и домашние хозяйства в качестве сектора конечного спроса. Структура экономики описана в таблице межотраслевого баланса (объёмы указаны в единицах стоимости):

	Сельское	Промышленность	Транспорт	Домашние	Общий
	хозяйство			хозяйства	выпуск
Сельское	50	16	120	60	246
хозяйство
Промышленность	30	10	180	100	320
Транспорт	15	14	140	80	249

Вычислим вектор выпуска для вектора конечного спроса Y=(100 150 120).

Решение задачи:

	ORIGIN := 1	Переменная ORIGIN содержит номер первой строки (столб-
		ца) матрицы или первого элемента вектора. По умолчанию

50	16	120	60
B := 30	10	180	100
	14	140	80
15

246 X := 320

249 i := 1 .. 3

j := 1 .. 3

Ai , j := Bi , j

Xj

0.203	0.05	0.482
A = 0.122	0.031	0.723
	0.044	0.562
0.061

23 ORIGIN:=0. Обычно же в математической записи используется нумерация с 1, поэтому определяем значение этой переменной равным 1.

Это матрица межотраслевого баланса, элементами которой являются количество товаров и услуг i-го сектора, потребляемое j-им сектором (i=1,2,3;j=1,2,3,4). Смотрите таблицу межотраслевого баланса.

Первоначальный вектор выпуска, заданный в таблице (общий выпуск).

Построение структурной матрицы А по формуле	aij			bij		-
				xj

количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

D := (identity(3) − A)− 1

1.418		0.155	1.817
D = 0.352		1.154	2.293
		0.137	2.767
0.233
100
Y := 150
120

X := D Y

383.18 X = 483.521

375.827

Построение матрицы					полных	затрат	по	формуле
D		(E − A)− 1		, где	единичная	матрица	3-го	порядка

Е=identity(3) - встоенная функция MathCAD.

Новый вектор конечного спроса

Вычисление вектора выпуска при новом векторе конечного

спроса по формуле X (E − A)− 1Y

Таким образом, при векторе конечного спроса Y=(100 150 120) вектор выпуска равен

X=(383.18 483.521 375.827).

24

Задания

1.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объём выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(100 100 110)

	I	II	III	IV	V
A	10	16	50	20	96
B	3	15	40	23	81
C	2	26	30	32	90

2.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(110 100 100)

	I	II	III	IV	V
A	15	16	55	20	106
B	10	15	43	23	91
C	2	21	27	30	80

3.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(100 120 110)

	I	II	III	IV	V
A	5	16	40	15	76
B	5	15	40	20	80
C	10	28	30	32	100

4.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(130 100 120)

	I	II	III	IV	V

25

A	30	10	56	20	116
B	6	12	46	20	84
C	5	21	27	32	85

5.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(125 100 110)

	I	II	III	IV	V
A	10	18	51	19	98
B	8	10	40	28	86
C	7	26	30	32	95

6.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(100 140 110)

	I	II	III	IV	V
A	7	16	50	20	93
B	3	10	45	28	86
C	2	26	30	32	90

7.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(150 100 110)

	I	II	III	IV	V
A	10	20	50	20	100
B	3	15	40	23	81
C	2	26	37	32	97

8.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III –

26

транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объём выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(100 130 130)

	I	II	III	IV	V
A	5	11	55	25	96
B	3	15	41	23	82
C	4	26	30	32	92

9.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(110 120 110)

	I	II	III	IV	V
A	15	26	25	30	96
B	10	15	40	23	88
C	2	26	30	32	90

10.Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

Y=(130 120 110)

	I	II	III	IV	V
A	10	16	50	20	96
B	8	10	60	23	101
C	2	26	30	32	90

Литература

1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986. 2.Дьяконов В.П. Mathcad 8/2000: специальный справочник – СПб: Издательство “Питер”, 2000. – 592с.:ил.

3.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 208 с. – (Серия “Высшее образование”).

4.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. Под ред. Кремера Н.Ш. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Банки и биржи, Юнити, 1998. – 471 с.

5.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов. Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: Банки и биржи, Юнити, 1997. – 407 с.

6.Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Уч.пос.-М.: Финансы и статистика, 1999. - 656с.:ил.

7.Херхагер М., Партолль Х. Mathcad 2000: полное руководство: Пер. с нем. - К.: Издательская группа BHV, 2000. -

416с.

27

Лабораторная работа №5. Решение транспортной задачи в MS Excel

Цель работы: научиться решать транспортную задачу с помощью MS Excel. Сравнить результаты с решением транспортной задачи в среде MathCAD.

Пример задачи. В пунктах A и B находятся соответственно 150 и 190 тонн горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 60, 70, 110 тонн горючего. Стоимость перевозки 1 тонны горючего из пункта A в пункты 1, 2, 3 равна 60, 10, 40 тыс. руб. за 1 тонну соответственно, а из пункта B в пункты 1, 2, 3 – 120, 20, 80 тыс. руб. за 1 тонну соответственно.

Требуется составить план перевозок горючего, при котором общая сумма транспортных расходов будет минимальна.

Решение.

Составим для наглядности таблицу исходных данных:

	ПОСТАВЩИКИ		Потребители		Запасы
		1	2	3
	A	60	10	40	150
	B	120	20	80	190
	Потребность	60	70	110

Важно отметить, что данная задача сбалансирована, то есть запасы горючего и потребность в нём равны. В этом случае не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками. В противном случае в модель нужно ввести:

•в случае превышения объёма запасов – фиктивного потребителя; стоимость перевозок единицы продукции этому фиктивному потребителю полагается равной стоимости складирования, а объёмы перевозок этому потребителю равны объемам складирования излишек продукции у поставщиков;

•в случае дефицита – фиктивного поставщика; стоимость перевозок единицы продукции от фиктивного поставщика полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок от этого поставщика равны объемам недопоставок продукции потребителям.

Для решения данной задачи построим её математическую модель. Неизвестными здесь являются объемы перевозок. Пусть xij – объём перевозок от i-того поставщика j- потребителю. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы, т.е.

где cij – стоимость перевозки единицы продукции от i-того поставщика j-тому потребителю. Кроме того, неизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:

•неотрицательность объёма перевозок;

•в силу сбалансированности задачи, вся продукция должна быть вывезена от поставщиков и потребности всех потребителей должны быть удовлетворены.

Таким образом, имеем следующую модель:

2	3
Z = ∑∑cij xij → min
i=1	j=1

			28
∑3		xij = ai,	(i =1, 2)
j−1
2			( j =1, 2,3)
∑xij =bj ,
i=1
x	ij	≥ 0, (i =1, 2; j =1, 2,3),

где ai - запасы горючего у i-поставщика; bj - спрос у j- потребителя.

В табличном процессоре Microsoft Excel для решения подобных задач предусмотрена надстройка Поиск решения. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, для её установки нужно выбрать команду Сервис | Надстройки, в появившемся диалоговом окне выбрать Поиск решения и нажать кнопку Ok.

Выполним следующую подготовительную работу для решения транспортной задачи с помощью средства Поиск решения в MS Excel.

1.Введите в ячейки диапазона B4:D5 стоимости перевозок.

2.Отведите ячейки диапазона B8:D9 под значения неизвестных (объёмов перевозок).

Ячейки должны быть пустыми!

3.Введите в ячейки диапазона F8:F9 объёмы запасов горючего у поставщиков.

4.Введите в ячейки диапазона B11:D11 потребность в горючем у потребителей.

5.В ячейку B14 введите функцию цели: =СУММПРОИЗВ(B4:D5;B8:D9). Сделать это можно при помощи мастера функций, выбрав в разделе Математические функцию СУММПРОИЗВ и указав необходимый диапазон.

6.В ячейки диапазонов E8:E9 введите формулы вычисляющие объёмы запасов у поставщиков, в ячейки диапазона B10:D10 – формулы расчёта объёмов доставляемого топлива

кпотребителям.

А именно:

	Ячейка	Формула	Ячейка	Формула
	E8	=СУММ(B8:D8)	C10	=СУММ(C8:C9)
	E9	=СУММ(B9:D9)	D10	=СУММ(D8:D9)
	B10	=СУММ(B8:B9)

При этом на экране должно отображаться следующее:

29

7. Выберите в меню Сервис команду Поиск решения и заполните диалоговое окно Поиск решения, как показано на рисунке.

Рис. 1. Окно Поиск решения после заполнения для задаче о транспортировке горючего

Элемент	Описание
	Приводится ссылка на ячейку с функцией, максимум, минимум или значение ко-
Поле Установить целевую	торой Поиск решения будет искать, изменяя значение параметров так, чтобы они
ячейку	удовлетворяли налагаемым на них ограничениям. В примере с задачей о транс-
	портировке горючего в поле Установить целевую ячейку вводим B4
	Тип взаимосвязи между решением и целевой ячейкой устанавливаются путем
	выбора переключателя в группе Равной. Для отыскания максимального значе-
	ния целевой функции выбирается переключатель максимальному значению,
	минимального - переключатель минимальному значению. Если отыскиваются
Группа Равной	значения переменных, для которых значение функции из целевой ячейки равно
	установленному в поле группы Равной значению, то выбирается переключатель
	значению.
	В задаче о транспортировке горючего выберите переключатель минимальному
	значению, т.к. находим план перевозок с минимальными затратами.

30

Поле Изменяя ячейки

Список Ограничения

Приводится ссылка на диапазон ячеек или группу диапазонов ячеек, отведенных под неизвестные. Значения в этих ячейках должны изменяться в процессе поиска решения задачи таким образом, чтобы найти решение, удовлетворяющее заданным ограничениям. Изначально эти ячейки должны быть пустыми.

В нашем примере введем в поле Изменяя ячейки диапазон B8:D9.

Допускаются ограничения в виде равенств, неравенств, требования того, что переменные могут принимать только целые значения, либо только значения 0 или 1.

Ограничения добавляются только по одному за раз и отображаются в окне Добавление ограничения, вызываемого нажатием кнопки Добавить. На рис. 2 приведен пример добавления ограничений по потребности в горючем.

•В поле Ссылка на ячейку введите левую часть ограничений - диапазон B10:D10, в поле Ограничение - правую часть, в нашем примере диапазон B11:D11. Раскрывающийся список позволяет задать тип соотношения между левой и правой частями ограничения. В нашем случае выберите =. Таким образом, требование равенства распределенного количества и потребности в горючем задано.

•Нажмите кнопку Добавить и с помощью окна Добавление ограничений введите остальные ограничения.

•Нажмите кнопку Ok для завершения ввода ограничений. На экране опять отразится окно Поиск решения, но теперь уже заполненное.

Рис. 2. Окно Добавление ограничения

Элементы окна ПАРАМЕТРЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ

Кроме того, можно изменить параметры нахождения решения. Для этого в диалоговом окне Поиск решения нажмите кнопку Параметры. На экране отобразится диалоговое окно Параметры поиска реше-

ния (рис. 3).

Рис. 3. Окно Параметры поиска решения

ЭЛЕМЕНТ

Поле Максимальное время

Поле Предельное число

итераций

Поля Относительная погрешность и Допустимое

отклонение

Описание

Служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи

Служит для ограничения числа промежуточных вычислений

Служат для задания точности, с которой отыскивается решение. Рекомендуется после нахождения решения с величинами данных параметров, заданных по умолчанию, повторить вычисления с большей точностью и меньшим допустимым отклонением и сравнить с первоначальным методом. Использование подобной проверки особенно рекомендуется для задач с целочисленными ограничениями на переменные

Флажок Линейная модель Служит для поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной ап-