1. Напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы в условиях упругой деформации

Вслучае плоской деформации можно расположить цилиндрическую систему координат так, что движение среды будет происходить параллельно плоскостиx0y, а все характеристики напряженно-деформируемого состояния не будут зависеть от координаты z:

; (1)

. (2)

Внешние нагрузки приложены к трубе таким образом (см. рис.), что решение задачи будет инвариантным относительно поворотов на любой угол относительно оси z, т. е. напряженно-деформированное состояние является осесимметричным, и характеристики напряженно-деформированного состояния не зависят от координаты :

; (3)

. (4)

Тензор напряжений в этом случае принимает вид

, (5)

где _, _, _zz – главные нормальные напряжения. В дальнейшем будем обозначать их _, _, _z.

Связь деформаций с перемещениями для плоского деформированного и осесимметричного состояния

;;. (6)

Таким образом, деформации _, _ являются относительными удлинениями в направлении осей координат , . В дальнейшем будем обозначать их _, _.

Расчет напряженно-деформированного состояния тела заключается в определении компонент тензоров напряжений и деформаций в любой его точке, т.е. выражении напряжений и деформаций в виде функций координат. В случае плоского деформированного и осесимметричного состояния напряжения и деформации будут зависеть от координаты .

Связь нормальных напряжений и деформаций по осям координат определяется законом Гука с учетом температурных напряжений:

;

; (7)

,

где G – модуль упругости второго рода

; (8)

 – постоянная Ламе

; (9)

 – относительное изменение объема

; (10)

К – объемный модуль упругости (модуль объемного расширения)

; (11)

–модуль Юнга; – коэффициент Пуассона;– температурный коэффициент линейного расширения;t – функция, задающая температурное поле в трубе.

Запишем 1-е уравнение равновесия для цилиндрической системы координат

. (12)

Для условий плоского деформированного состояния уравнения (7, 12) примут вид

,

, (13)

,

. (14)

Вычислив производную по уравнению (14) и подставив (6, 13) в (14), получим:

. (15)

Приняв во внимание, что и с учетом (8, 9, 11)

. (16)

После интегрирования левой и правой частей уравнения (16)

. (17)

Выполнив преобразование и проинтегрировав уравнение (17), получим выражение для расчета перемещенийu_ в зависимости от координаты 

, (18)

где J – температурный функционал,

. (19)

Определим деформации (относительные удлинения по осям координат)

; (20)

. (21)

Подставив (20, 21) в уравнения закона Гука (13), получим выражения для определения нормальных напряжений в зависимости от координаты :

; (22)

; (23)

. (24)

Постоянные интегрирования инаходятся из граничных условий. Подставив в формулу (22)и, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

; (25)

, (26)

где . (27)

Решая систему уравнений (25, 26), получим:

, (28)

. (29)

Температурный коэффициент линейного расширения определяется в процессе эксперимента по формуле

, (30)

где – длина тела при температуре;– длина тела при температуре;– перепад температур.

Из формулы (30) следует, что при отсутствии теплового расширения (-= 0) температурный коэффициент. При этом в расчете напряженно-деформированного состояния тела не учитываются напряжения и деформации, вызванные температурным полем. В этом случае расчетные формулы (28, 29, 18, 20-24) примут следующий вид:

; (31)

; (32)

; (33)

; (34)

; (35)

; (36)

; (37)

. (38)

При отсутствии внешнего и внутреннего давления, граничные условия принимают вид и. В этом случае труба деформируется за счет температурных напряжений. С учетом новых условий выражения (28, 29) примут следующий вид:

, (39)

. (40)

Перемещение , деформации,и напряжения,,определяются по формулам (18-24) с учетом (39, 40).

В общем случае интенсивность касательных напряжений T и интенсивность деформаций сдвига Г можно определить по формулам:

; (41)

. (42)

После выполнения соответствующих преобразований (рекомендуется выполнить самостоятельно) придем к заключению, что напряжения и деформации в толстостенной трубе, нагруженной внутренним и внешним давлением, можно представить в виде суммы двух составляющих: напряжений и деформаций, вызванных присутствием температурного поля, и напряжений и деформаций, вызванных действием граничных условий.

; (43)

; (44)

; (45)

; (46)

; (47)

. (48)