- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
Глава 1. Краевые задачи теории поля
Физические процессы обычно описываются дифференциальными уравнениями различного порядка с начальными и граничными условиями к ним. В зависимости от искомой величины − векторной или скалярной − решение уравнения описывает в общем случае пространственно-временное распределение этой величины, называемое ее векторным или скалярным полем. В этой главе будут приведены выражения дифференциального уравнения переноса (типа известных из курса дифференциальных уравнений уравнения Лапласа и Пуассона) и граничных условий к ним в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат и дана краткая характеристика аналитических методов его решения.
1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
Диапазон физических задач, решаемых с помощью этого уравнения, достаточно велик. Приведем лишь некоторые из встречающихся в инженерной практике: теплопроводность [1], фильтрация в пористой среде [2, 3], невихревое течение идеальной жидкости [5], задачи механики сплошных сред [4, 6] и электромагнетизма [7].
Вид нестационарного уравнения переноса хорошо известен из курса дифференциальных уравнений [9]:
i = 1, 2, 3. (1.1.1)
где ∆− лапласиан (дифференциальный оператор 2-го порядка); u(xi,τ) − искомая функция, описывающая поле значений физической величины; w(xi,τ) − задаваемая функция координат и времени; τ − время; k, η − коэффициенты, физический смысл которых обусловлен природой исследуемого процесса; xi, τ − текущие переменные.
Размерность и геометрическая форма области существования функции u(xi,τ) определяются, очевидно, геометрией изучаемого объекта (конструкции или ее элемента) Поэтому целесообразно записать уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат, что даст возможность применять его к объекту любой геометрии и размерности. Как станет ясно впоследствии, такая форма записи будет полезна при использовании метода конечных элементов (МКЭ) для решения уравнения.
Введем некоторую криволинейную ортогональную систему координат ξi (i=1,2,3) , единичные орты которой равны
. (1.1.2)
Здесь − радиус-вектор точки с координатами, а модуль его производной по криволинейной координате, называемый параметром Ляме, равен:
, j =1, 2, 3. (1.1.3)
Элементы длины, площади поверхности и объема в этой системе координат связаны с приращениями координат через параметры Ляме:
; ;(1.1.4)
Градиент функции есть вектор, который в криволинейной системе координат описывается формулой [9]:
. (1.1.5)
Оператор Лапласа может быть записан так:
.
С учетом ортогональности системы координат подстановка (1.1.5) в последнее выражение даст [11, 25]:
, (1.1.6)
где − якобиан преобразования декартовой системы координат в криволинейную, равный произведению параметров Ляме:
. (1.1.7)
Таким образом, дифференциальное уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат будет иметь вид:
. (1.1.8)
Конкретный вид уравнения (1.1.8) в той или иной системе координат можно получить, если задать функции связи между декартовыми и криволинейнымикоординатами.
Очевидно, что в декартовой системе , в силу чего все параметры Ляме; следовательно,и. В итоге на основании (1.1.8) имеем уравнение переноса в декартовой системе координат:
. (1.1.9)
Связь между координатами декартовой и цилиндрической системами координат −,,− выражается известными соотношениями [11]:
; ; .
Подставляя производные этих функций связи в (1.1.3), найдем параметры Ляме и якобиан:
; ; ;, (1.1.10а))
что после внесения их в уравнение (1.1.8) дает:
. (1.1.11)
В случае сферической системы координат – , (азимутальный угол),(полярный угол) – связь между координатами также известна [11]:
; ; .
Параметры Ляме и якобиан будут следующими:
; ; h3 = r ; , (1.1.10 б))
и уравнение примет вид:
. (1.1.12)
Заметим, что согласно (1.1.4):
. (1.1.13)
Из курса аналитической геометрии [11] известно, что орты криволинейной ортогональной системы координат направлены по нормали и по касательнымик соответствующим координатным линиям и не сохраняют свои направления в пространстве при изменении координат точки, оставаясь при этом ортогональными. Введем понятиепорядка симметрии S системы координат, равном числу изменяющих свое направление ортов при изменении координат точки. Тогда полученные выражения дифференциальных уравнений (1.1.9), (1.1.11) и (1.1.12) могут быть представлены в обобщенном виде:
. (1.1.14)
Здесь − символ Кронекера, равный, как известно,
При записи (1.1.14) учтено, что для цилиндрической системы S = 2 –, длясферической S = 3 − все , а длядекартовой вместо S = 0 (все ) формально положеноS = 1.
Обобщенное нестационарное уравнение (1.1.14) является математической моделью процесса переноса независимо от его физического содержания. Для конкретизации процесса достаточно задать физический смысл входящих в уравнение коэффициентов, что однозначно определит и физическую природу функции u(xi,τ). В электрической интерпретации, например, соответствующие величины будут связаны с величинами проводимости, источника зарядов и потенциала [7]. В интересующем нас процессе теплопроводности коэффициенты kii являются главными значениями тензора анизотропной теплопроводности [2, 24], η = cpρ − объемная теплоемкость, w − объемная плотность мощности внутреннего источника (стока) тепла, а искомая скалярная величина u(ξi,τ) − температура .