641132TВ - -TБ TА2_13.01.2015
.docx
Задание 1
Для дискретной случайной величины X, принимающей значения xi cвероятностями pi выполнить следующие задания:
а) записать закон распределения и построить многоугольник распределения;
б) найти функцию распределения и построить её график;
в) найти вероятность P(αX);
г) вычислить M[X], D[X]и [X].
Вариант |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
[α; ] |
22 |
xi |
-16 |
-12 |
-9 |
-5 |
-3 |
[-5.5; 1] |
pi |
0.1 |
0.3 |
0.4 |
0.15 |
0.05 |
Решение.
1) Закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:
xi |
-16 |
-12 |
-9 |
-5 |
-3 |
pi |
0.1 |
0.3 |
0.4 |
0.15 |
0.05 |
Многоугольник распределения:
б) найдем функцию распределения:
F*(x)
0.95 1.00
0.8
0.4
x
0.1
-16 -12 -9 -5 -3
в) найдем вероятность P(-5,5X1):
P(-5,5X1) = Р(-5) + Р(-3) = 0,15 + 0,05 = 0,2.
г) Математическое ожидание :
.
Дисперсия :
Среднее квадратическое отклонение :
Задание 2
Для непрерывной случайной величины X с плотностью , отличной от нуля при x[a; b], выполнить следующие задания:
а) найти значение постоянной C;
б) записать функцию плотности и построить её график;
в) найти функцию распределения и построить её график;
г) найти вероятность P(αX);
д) вычислить M(X), D(X) и (X);
е) найти моду M0(X) и медиану Me(X).
Вариант |
f (x) |
[α; ] |
22 |
, x[0; 2] |
[-1.5; 1.5] |
Решение.
а) найдем значение постоянной C из условия:
Подставляем:
б) запишем функцию плотности:
Построим её график;
в) Найдем функцию распределения по формуле:
Получаем:
Построим её график:
г) Вероятность P(-1,5 X 1,5):
P(-1,5 X 1,5) = F(1.5) – F(-1.5) = 0.625 – 0.0 = 0.625.
д) Вычислим характеристики распределения.
Математическое ожидание:
;
3) Дисперсия:
;
(X) =
е) Мода непрерывной случайной величины Mo(X) - значение с.в., имеющее наибольшую вероятность. Если в задаче требуется определить моду - находим экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).
У нас M0(X) = 2,0
Медиану Me(X) из условия: P(0 X Ме) = F(Ме) – F(0) = 0,5.
Отсюда: Ме = 1,302.
Литература.
-
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высш. шк., 1999.
-
Горбань С. Ф., Снижко Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — К.: МАУП, 1999.
-
Гурский Е. М. Теория вероятностей с элементами математической статистики. — М.: Высш. шк., 1971.
-
Береславская В.А., Стрельникова Н.М., Хинканина Л.А. Теория статистики: Учебное пособие. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2008. – 136 с.