6____2004
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Международный консорциум «Электронный университет»
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
Евразийский открытый институт
Асташова И.В. Никишкин В.А.
Геометрия и топология
Учебное пособие
Руководство по изучению дисциплины
Практикум
Тесты
Москва 2004
УДК517 ББК – 22.151 А – 91
Асташова И.В., Никишкин В.А. Геометрия и топология. Учебное пособие. / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). М.: 2004 г., 131 с.
Рецензент: Алексей Владиславович Филиновский
доктор физико-математических наук, профессор (кафедра высшей математики МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Пособие состоит из четырех разделов:
I.Учебное пособие, включающее программу курса.
II.Руководство по изучению курса.
III. Практикум. IV. Тесты.
В пособии приводятся теоретические сведения, примеры решения типовых задач по основным разделам векторной алгебры, аналитической геометрии, началам теории линейных, метрических, нормированных, евклидовых и топологических пространств и дифференциальной геометрии.
Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ.
Авторы: Асташова Ирина Викторовна
кандидат физико-математических наук, доцент
Никишкин Валерий Александрович
кандидат физико-математических наук, профессор
©Асташова И.В., 2004
©Никишкин В.А., 2004
©Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004
Издание 2-е, исправленное и дополненное
2
Содержание |
|
Введение................................................................................................................... |
4 |
Содержание курса...................................................................................................................... |
5 |
Распределение часов по темам и видам учебных занятий .................................................... |
7 |
Литература.................................................................................................................................. |
8 |
I. Учебное пособие.................................................................................................. |
9 |
Содержание............................................................................................................................... |
11 |
II. Руководство по изучению пособия............................................................... |
151 |
Содержание............................................................................................................................ |
153 |
III. Практикум...................................................................................................... |
167 |
Содержание............................................................................................................................ |
169 |
IV. Тесты.............................................................................................................. |
243 |
Содержание........................................................................................................................... |
245 |
3
Введение
В пособии приводятся теоретические сведения, примеры решения типовых задач по основным разделам векторной алгебры, аналитической геометрии, началам теории линейных, метрических, нормированных, евклидовых и топологических пространств и дифференциальной геометрии. В основу пособия положен курс, читаемый авторами студентам МЭСИ, обучающимся по специальности 351500 (Математическое обеспечение и администрирование информационных систем). Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ. Пособие может оказаться полезным для студентов МЭСИ, обучающихся по другим специальностям, при изучении разделов «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» в общем курсе «Высшая математика», а его часть, посвященная теории пространств, – студентам, изучающим курс «Функциональный анализ».
Авторы пособия выражают глубокую благодарность аспирантам И.В. Горючкиной, А.В. Гридневу, Ю.В. Завгородней, Е.С. Карулиной за помощь в подготовке текста.
4
Содержание курса
Тема 1. Векторная алгебра. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Понятие линейной зависимости и линейной независимости. Базис. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах. Преобразование системы координат (параллельный перенос, поворот).
Тема 2. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Отклонение и расстояние точки от прямой.
Тема 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
Тема 4. Прямая в пространстве. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой). Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Тема 5. Плоскость и прямая в пространстве. Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые. Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.
Обзорное занятие. Тест.
Тема 6. Кривые второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение. Исследование формы эллипса. Гипербола и её каноническое
5
уравнение. Исследование формы гиперболы. Парабола и её каноническое уравнение. Исследование формы параболы. Классификация кривых второго порядка. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду методом Лагранжа, параллельным переносом и поворотом осей координат и методом инвариантов.
Тема 7. Поверхности второго порядка. Основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, вырожденные поверхности. Классификация поверхностей второго порядка. Приведение общего уравнения поверхности к каноническому виду методом Лагранжа.
Тема 8. Множества. Понятие множества. Логическая символика. Основные операции над множествами. Счётность множества. Примеры счётных и несчётных множеств. Системы множеств. Вещественные числа и их изображение на числовой оси.
Тема 9. Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры. Базис линейного пространства. Разложение элемента линейного пространства по базису.
Тема 10. Метрические пространства. Понятие метрического пространства. Примеры. Открытые и замкнутые множества. Понятие сходимости. Полнота метрического пространства. Примеры полных и неполных метрических пространств.
Тема 11. Нормированные пространства. Понятие нормы.
Определение нормированного пространства. Примеры. Понятие сходимости.
Тема 12. Евклидовы пространства. Определение евклидова пространства. Примеры. Понятие ортогонального и ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
Тема 13. Топологические пространства. Понятие топологического пространства. Различные способы задания топологий. Аксиомы отделимости. Понятие сходимости. Компактность.
Обзорное занятие. Тест.
Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии.
Пространственная кривая. Вектор-функция и ее дифференцирование. Кривизна кривой. Формулы для вычисления кривизны плоской кривой. Естественный трехгранник пространственной кривой. Кручение кривой и его вычисление.
6
Распределение часов по темам и видам учебных занятий
Номера тем |
Лекционные |
Практические |
Самостоятельные |
Всего |
|
часы |
часы |
работы |
|
1. |
3 |
4 |
4 |
11 |
2. |
2 |
3 |
4 |
9 |
3. |
2 |
2 |
2 |
6 |
4. |
2 |
2 |
3 |
7 |
5. |
2 |
2 |
4 |
8 |
тест |
1 |
0 |
0 |
1 |
6. |
4 |
4 |
4 |
12 |
7. |
3 |
3 |
4 |
10 |
тест |
1 |
0 |
0 |
1 |
8. |
2 |
0 |
2 |
4 |
9. |
2 |
2 |
2 |
6 |
10. |
2 |
2 |
2 |
6 |
11. |
2 |
2 |
2 |
6 |
12. |
2 |
2 |
2 |
6 |
13. |
2 |
2 |
2 |
6 |
тест |
0 |
2 |
0 |
2 |
14. |
2 |
2 |
3 |
7 |
Итого: |
34 |
34 |
40 |
108 |
7
Литература
Основная
1.Асташова И.В., Никишкин В.А. Учебное пособие по курсу «Геометрия и топология». МЭСИ, 2004.
2.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.
3.Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.:
МГУ, 1998.
4.Клетеник Д.Б. Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Наука, 1975.
5.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982.
6.Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М.: Наука, ФМ, 1966.
7.Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977.
8.Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
9.Сборник задач по дифференциальной геометрии (Белько И.В., Ведерников
И.В. и др.). М.: Наука, 1979.
10.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.
Дополнительная
1.Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.:
Наука, 1977.
2.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.:
МГУ, 1985.
3.Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.
4.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 1998.
5.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
6.Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
7.Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. Учпедгиз, Москва, 1936.
8.Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976.
9.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, ФМ, 1968.
8
Асташова И.В. Никишкин В.А.
Геометрия и топология
Учебное пособие
Москва 2004
Асташова И.В., Никишкин В.А. Геометрия и топология. Учебное пособие. / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). М.: 2004 г., 142 с.
©Асташова И.В., 2004
©Никишкин В.А., 2004
©Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004
10