SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web
.pdfПусть si |
– длина дуги Mi 1Mi |
кривой |
AB, max si |
– наибольшая из всех |
||||||
длин si , |
i 1, 2, ... , n. |
Число делений n |
устремим к бесконечности так, чтобы |
|||||||
max si 0, т. е. чтобы все дуги Mi 1Mi |
стягивались в точки. При этом для всех |
|||||||||
i |
имеем |
|
xi 0, |
yi 0. |
Если |
существует |
конечный предел |
|||
lim |
n P |
, |
x и он не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от вы- |
|||||||
max s 0 |
i |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
i |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бора точек Ki i , i , то этот предел называется криволинейным интегралом по
координате x от функции P x, y и обозначается |
|
P x, y dx. |
|
Итак, |
|||||||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x, y dx |
lim |
n |
P |
, |
|
x . |
(1) |
||||
|
|
max s |
0 |
|
i |
|
i |
|
i |
|
|||
|
AB |
|
|
|
i |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точно так же вводится криволинейный интеграл по координате y : |
|||||||||||||
|
|
Q x, y dy |
lim |
n |
Q |
i |
, |
i |
y . |
(2) |
|||
|
|
max |
s |
0 |
|
|
|
i |
|
||||
|
AB |
|
|
|
i |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сумма двух интегралов по координатам x, y |
|
называется составным кри- |
|||||||||||
волинейным интегралом по |
координатам |
|
|
x, |
y |
|
|
|
и |
обозначается |
|||
P x, y dx Q x, y dy, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy. |
|
||||||||||||
AB |
|
AB |
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь кривая AB задана параметрическими уравнениями |
|||||||||||||
|
|
x x t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t , |
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y y t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где t отвечает точке |
A , а t |
отвечает |
точке B . Пусть точкам |
|
M1, ... , Mi 1, Mi , ... , Mn 1 деления кривой AB отвечают значения t, |
равные соот- |
|||
ветственно t1, ... , ti 1, ti , ... , tn 1, |
причём t0 |
и tn |
Этими числами интервал |
|
делится на n частей. Так как значению t ti 1 |
отвечает точка Mi 1, то её |
|||
абсцисса находится по формуле (3) при значении t ti 1, т. е. xi 1 |
x ti 1 . Ана- |
|||
логично xi x ti . Их разность |
|
|
|
|
|
xi xi |
xi 1 x ti |
x ti 1 . |
(4) |
Разность в правой части запишем по формуле Лагранжа:
261
5354.ru
|
|
x ti x ti 1 x i ti ti 1 , ti 1 i ti . |
|
|
|
|||||||
Обозначим ti |
ti |
ti 1, тогда (4) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
xi x i ti . |
|
|
|
|
(5) |
|||
В качестве |
Ki |
возьмём ту точку, которая отвечает значению t i , |
коор- |
|||||||||
динаты точки Ki |
вычислим по формуле (3) при t i , |
будем иметь i x i , |
||||||||||
i y i . Эти значения, а также выражение (5) |
для xi |
подставим в (1) и по- |
||||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x, y dx lim |
n |
P x |
|
, y |
x |
t . |
(6) |
|
|
|
|
|
n |
|
i |
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
AB |
|
max s 0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать, что x t , |
y t , x t , y t |
непрерывны в интервале . |
Тогда |
|||||||||
функция P x t , y t x t |
непрерывна |
в интервале . В правой части (6) |
стоит ее интегральная сумма, следовательно, предел в (6) есть определённый интеграл от указанной функции, взятый по интервалу :
|
|
P x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y dx P x t , y t x |
t dt. |
(7) |
|||||
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула позволяет вычислить криволи- |
|
|
|
|
|||||
нейный интеграл по координате x для кривой |
|
|
|
|
|||||
AB, (рис. 153) заданной параметрическими |
|
|
|
|
|||||
уравнениями (3), так как выражает его через |
|
|
|
|
|||||
определённый интеграл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично для криволинейного интегра- |
|
|
|
|
|||||
ла по координате y будем иметь |
|
|
|
Рис. 153 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Q x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y dy Q x t , y t y t dt. |
(8) |
||||||
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
Сложив почленно (7) и (8), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P x, y dx Q x, y dy |
|
|
|
|
|||
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t Q x t , y t |
|
|
t dt. |
|
|
P x t , y t x |
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, чтобы криволинейный интеграл по координатам для кривой AB, |
за- |
данной параметрически уравнениями (3), выразить через определённый инте-
262
5354.ru
грал, нужно положить x x t , |
y y t , dx x t dt, dy |
y t dt |
и учесть, что |
||||||||
пределы t и t |
отвечают соответственно началу |
A и концу B кривой |
|||||||||
AB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В (9) поменяем местами A и B, |
следовательно, и Тогда |
|
|
||||||||
|
|
|
|
P x, y dx Q x, y dy |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t Q x t |
|
|
t |
dt. |
|
|
|
P x t , y t x |
, y t y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь B – начало, A |
– конец кривой. Правые части (9) и (10) отличаются |
||||||||||
лишь знаком, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x, y dx Q x, y dx P x, y dx Q x, y dy. |
|
|
|
|
|||||||
AB |
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при изменении направления кривой криволинейный интеграл по координатам меняет лишь знак. Остальные свойства криволинейных интегралов аналогичны свойствам определённых интегралов.
Например, если кривая AB разбита точкой M на две части, то
|
|
Pdx Qdy |
Pdx Qdy Pdx Qdy, |
|
|
|
AB |
AM |
MB |
где P P x, y |
и Q Q x, y . |
|
|
|
Отметим, |
что если конец B кривой совпадает с началом A, то получаем |
|||
замкнутую линию |
L. В этом случае за положительное направление берут |
|||
движение против хода часовой стрелки. Интеграл по замкнутой линии L обо- |
||||
значается так: |
|
|
|
|
|
P x, y dx Q x, y dy или P x, y dx Q x, y dy. |
|||
|
L |
|
|
L |
Пример. Требуется вычислить криволи- |
||||
нейный интеграл |
xydx x y dy |
по кривой |
||
|
|
AB |
|
|
AB с уравнением |
y x2 , соединяющей точки |
|||
A 0, 0 и B 1, 1 (см. рис. 154). |
|
|
||
Рассматриваемая кривая |
является частью |
|||
параболы. Чтобы воспользоваться формулой |
||||
(9), нужно записать уравнение кривой в пара- |
||||
метрическом виде: положим |
x t, |
тогда y t2 . |
||
|
|
|
|
Рис. 154 |
263 |
5354.ru |
|
Таким образом, |
получили уравнения вида (3), в которых x t |
t, y t t2 , по- |
|||
этому x t 1 |
и |
y t 2t. Точке |
A отвечает значение t x 0, |
точке B – зна- |
|
чение t x 1. |
По формуле (9) искомый интеграл |
|
|
||
|
|
xydx x y dy 1 3t3 2t2 dt |
17 . |
|
|
|
|
AB |
0 |
12 |
|
Запишем еще две формулы, аналогичные (7) и (8). Пусть кривая AB задана уравнением y f x , a x b, a, b – соответственно абсциссы точек A и
B. Это уравнение запишем в параметрическом виде, положив x t , и получим
y f t , x x t t, |
a t b. Согласно формуле (7), учитывая, что x t 1, |
бу- |
|
дем иметь |
|
|
|
|
|
b |
|
|
P x, y dx P[t, f t ]dt. |
(11) |
|
|
AB |
a |
|
Как известно, определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, поэтому в правой части формулы (11) переменную t можно заменить на x :
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
P x, y dx P[x, |
f x ]dx. |
(12) |
|
|
|
|
AB |
a |
|
|
Формула (12) |
выражает криволинейный |
интеграл по |
координате |
x через |
||
определённый интеграл, когда кривая |
AB |
|
|
|||
задана уравнением y f x , a x b. |
|
|
|
|||
Аналогично можно показать, что если |
|
|
||||
кривая |
AB |
задана |
уравнением x y , |
|
|
|
c x d |
(рис. 155), то криволинейный инте- |
|
|
|||
грал по координате y |
для кривой AB вычис- |
|
|
|||
ляется по формуле |
|
|
|
|
||
|
Q x, |
d |
|
|
|
|
|
y dy Q[ y , y]dy. (13) |
|
Рис. 155 |
|
||
|
AB |
c |
|
|
|
|
264
5354.ru
§2. Применение криволинейных интегралов
квычислению работы
Пусть путь совпадает с вектором S и сила |
F постоянна (по модулю и |
||||||||||
направлению), тогда работа силы F на пути S определяется формулой |
|
||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
S |
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A |
|
|
|
|
cos F, S , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – угол между S |
и F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на плоскости Oxy |
задана кривая AB |
(рис. 156), и в точке M x, y |
|||||||||
этой кривой приложена сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем |
||
F с проекциями на оси координат Fx , Fy . |
считать, что эта сила, следовательно, и ее проекции, являются переменными и
зависят от x, y – координат точки M . Это значит, что Fx , Fy |
– функции двух |
|||||||
переменных |
x, |
y . |
Обозначим |
их |
через |
Fx x, y , |
Fy x, y . |
Итак, |
F Fx x, y , Fy x, |
y . |
Полагаем, что функции Fx x, y , Fy x, y заданы и не- |
||||||
прерывны всюду на кривой AB . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти работу A, которую совершает переменная сила F , когда |
||||||||
точка M ее приложения перемещается от начала A до конца B кривой AB. |
||||||||
Разобьём AB на n частей точками M1, ... , Mi 1, Mi , ... , Mn 1. |
Обозначим соот- |
|||||||
ветственно точки A и B через M0 |
и Mn , |
координаты точек Mi 1 и Mi |
– через |
|||||
Mi 1 xi 1, yi 1 |
и M i xi , |
yi , разности координат xi |
xi xi 1, yi yi yi 1. |
Проек- |
||||
|
|
на оси координат равны разностям координат конца и |
||||||
ции вектора M i 1M i |
||||||||
начала: Mi 1Mi xi , yi . |
|
|
|
|
|
|||
На дуге |
|
|
|
|
Ki i , i . Вычислим в этой |
|||
Mi 1Mi возьмём произвольную точку |
||||||||
точке значение заданной силы и найдём Fi Fx i , i , Fy i , i . В силу мало- |
сти участка Mi 1Mi кривой AB приближённо можно считать, что, во-первых, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
и, во-вторых, |
на |
||
этот участок является прямолинейным и совпадает с M i 1M i |
|||||||||
этом участке сила F изменяется мало, остаётся постоянной и равна Fi – силе, |
|||||||||
вычисленной в точке K |
. Таким образом, работа |
A |
силы F |
на участке M |
i 1 |
M |
i |
||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
||
кривой |
AB |
будет приближённо равна согласно (14) скалярному произведе- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нию Ai |
Fi |
, Mi 1Mi . Это скалярное произведение запишем в виде суммы про- |
|||||||
|
|
|
|
Fx i , i xi Fy i , i yi . |
|
|
|
||
изведений одноимённых проекций и получим Ai |
|
|
|
265
5354.ru
Доказательство. Пусть область D |
|
||
расположена между прямыми |
x a, x b, |
|
|
где a, b – соответственно абсциссы точек |
|
||
A, B границы L области D (см. рис. 157), а |
|
||
участки ACB, |
|
|
|
ADB кривой L заданы соот- |
|
||
ветственно |
уравнениями |
y y1 x , |
|
y y2 x , a x b. Согласно формуле (10) |
|
||
параграфа 7 главы 13 вычисления двойно- |
Рис. 157 |
го интеграла имеем
|
|
P x, y |
b |
y2 x P |
x, y |
|
(16) |
|
|
|
|
dxdy dx |
|
|
|
dy. |
|
|
y |
|
y |
|||||
|
D |
a |
y1 x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Здесь в правой части внутренний интеграл берётся по y |
при x const, |
т. е. по- |
||||||
динтегральная функция зависит лишь от |
y. Но она является производной по |
|||||||
y от функции P x, y |
при x const. Следовательно, P x, |
y есть первообразная |
для P x, y |
y. Далее, по формуле Ньютона – Лейбница |
|
|||||
|
y2 x |
P x, y |
dy P x, y |
|
y2 x |
P x, y2 x P x, y1 |
x . |
|
|
|
|||||
|
y |
|
y1 x |
||||
|
|
||||||
|
y1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту разность подставим в правую часть формулы (16) вместо внутреннего интеграла. Тогда
|
P x, y |
|
b |
|
|
|
2 |
|
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
(17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dxdy |
|
P |
|
x, y |
|
|
x |
dx |
|
P |
|
x, y |
|
x |
|
dx. |
|
D |
y |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, запишем криволинейный интеграл по координате x от функции P x, y по кривой L. Так как эта кривая состоит из двух частей, то
P(x, y)dx |
|
P x, y dx |
|
P x, y dx. |
(18) |
L |
ACB |
|
|
|
|
|
B DA |
|
|
В правой части формулы (18) во втором интеграле на кривой BDA изменим направление обхода, тогда знак этого интеграла изменится на обратный. Итак,
P(x, y)dx |
|
P x, y dx |
|
P x, y dx. |
(19) |
L |
ACB |
|
|
|
|
|
ADB |
|
|
Каждое из слагаемых правой части (19) выразим через определённый интеграл по формуле (12), получим
267
5354.ru
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(20) |
P(x, y)dx |
|
P |
x |
|
P |
x, y |
x |
dx. |
|||||||||
|
|
|
x, y |
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
L |
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правые части формул (17) и (20) отличаются лишь знаком, поэтому и левые их части отличаются знаком:
|
|
|
P x, y |
dxdy P(x, y)dx. |
(21) |
|
|
|
|
||||
|
|
D |
y |
L |
|
|
Записав уравнения частей |
|
|
границы L |
в виде x x1 y , |
x x2 y , |
|
CAD, |
CBD |
|||||
использовав формулу (13), получим |
|
|
|
|
||
|
|
Q(x, y) dxdy |
Q(x, y)dy. |
(22) |
||
|
|
D |
x |
L |
|
Сложив почленно (21) и (22), придём к (15) – формуле Грина.
§ 4. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Пусть функции P x, y и Q x, y заданы всюду на плоскости Oxy и непрерывны в любой конечной части этой плоскости; A, B – произвольные точки, соединенные произвольной дугой (рис. 158).
Рассмотрим криволинейный интеграл
P x, y dx Q x, |
y dy. |
(23) |
AB |
|
|
Если точки A, B соединить кривой |
AMB, |
а затем кривой AKB, то интегралы |
вида (23), взятые по этим кривым, вообще говоря, не будут равны друг другу. Это ясно из формул для вычисления таких интегралов (см. § 1). Возникает
268
5354.ru
вопрос: когда криволинейный интеграл (23) не будет зависеть от формы кривой, соединяющей любые точки A и B, т. е. когда для всех кривых, соединяющих эти точки, интеграл (23) будет иметь одно и то же значение и, следовательно, будет зависеть только от положения начала A и конца B кривой AB.
Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем на плоскости Oxy произвольный замкнутый контур L с направлением обхода против часовой стрелки и криволинейный интеграл по этой кривой
P x, y dx Q x, y dy. |
(24) |
L |
|
Теорема 1. Если криволинейный интеграл (23) для любых точек |
A, B не |
зависит от линии интегрирования, то криволинейный интеграл (24) по любой замкнутой кривой L равен нулю и, наоборот, если криволинейный интеграл
(24)по любой замкнутой кривой L равен нулю, то криволинейный интеграл
(23)для любых точек A, B не зависит от линии интегрирования.
Доказательство. Пусть интеграл (23) не зависит от линии интегрирования. Возьмём произвольный замкнутый контур L на плоскости Oxy, расположим на нём точки A, B, K, M (рис. 159). Тогда
|
P x, y dx Q x, y dy |
|
P x, y dx Q x, y dy. (25) |
AKB |
|
AMB |
|
В правой части формулы (25) изменим направление обхода кривой AMB на противоположное, знак перед интегралом изменится на противоположный, тогда получим
|
P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy 0. |
(26) |
AKB |
BMA |
|
Но левая часть (26) равна интегралу по замкнутому контуру L, следователь- |
||
но, |
|
|
|
P x, y dx Q x, y dy 0. |
(27) |
|
L |
|
Таким образом, первая часть теоремы доказана. Теперь докажем вторую часть.
Известно, что интеграл (24) обращается в нуль, и нужно доказать, что интеграл (23) не зависит от линии интегрирования. Возьмём любые две точки A, B на плоскости Oxy и проведём через них любой замкнутый контур L. Интеграл по этому контуру обращается в нуль, т. е. имеет место соотношение
269
5354.ru
(27), поэтому имеет место соотношение (26), следовательно, и (25). Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть функции P x, y , Q x, y и их частные производные
P x, y y, |
Q x, y |
x непрерывны в любой конечной части плоскости Oxy. |
||
Тогда, если во всех точках плоскости Oxy выполняется соотношение |
|
|||
|
|
P |
Q , |
(28) |
|
|
y |
x |
|
то криволинейный интеграл |
|
|
||
|
|
P x, y dx Q x, y dy. |
(29) |
|
|
|
AB |
|
|
для любых двух точек A, B плоскости Oxy не зависит от линии интегрирования.
Доказательство. Возьмём на плоскости Oxy произвольный замкнутый контур L , область внутри L обозначим через D и для нее запишем формулу Грина
Q x, y |
|
P x, y |
|
|
|||
|
|
|
|
dxdy P x, y dx Q x, y dy. |
(30) |
||
x |
y |
||||||
D |
|
|
L |
|
В силу равенства (28) подинтегральное выражение в левой части формулы (30) равно нулю, следовательно, и вся левая часть равна нулю, поэтому равен нулю и криволинейный интеграл в правой части формулы (30). Итак,
P x, y dx Q x, y dy 0.
L
Таким образом, последний криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L равен нулю. Тогда, согласно теореме 1, интеграл (29) от линии интегрирования не зависит. Доказательство завершено.
Справедлива и обратная
Теорема 3. |
Если функции P x, y , |
Q x, y и их частные производные |
||
P(x, y) |
, |
Q(x, y) |
непрерывны в любой конечной части плоскости Oxy и для |
|
y |
|
x |
|
|
любых двух точек A и B криволинейный интеграл (29) не зависит от линии интегрирования, то соотношение (28) имеет место во всех точках плоскости
270
5354.ru