SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

чие от предыдущего, будем считать, что C1, C2 являются не постоянными, а искомыми функциями от x. Таким образом, y * будем искать в виде

y* C1 x y1 x C2 x y2 x ,

(58)

где C1 x , C2 x - новые искомые функции. Одну из них можно выбрать про-

извольно или наложить на нее дополнительное требование по нашему усмотрению. Вторую функцию нужно выбрать так, чтобы функция (58) была решением неоднородного уравнения (48).

Возьмём производную от функции (58) и учтём, что в правой части стоят

произведения: y*

C1 y1

C2 y2

C1 y1 C2 y2 .

Потребуем, чтобы C1, C2

удовлетво-

ряли соотношению

C1 y1

C2 y2

0.

(59)

Тогда предыдущее выражение примет вид

(60)

y* C1 y1 C2 y2 .

Возьмём ещё раз производную по x :

C1 y1

C2 y2

C1 y1

C2 y2 .

(61)

y*

Теперь потребуем, чтобы функция y*,

определяемая формулой (58), была ре-

шением неоднородного уравнения (48). Подставим в (48) вместо

y, y ,

y

вы-

ражения (58), (60), (61) соответственно:

C1 y1 C2 y2 C1 y1 a1 y1 a2 y1 C2 y2 a1 y2 a2 y2 f x .

Поскольку в левой части суммы в скобках обращаются в нуль, так как y1

и y2

– решения однородного уравнения (49), то C1 y1 C2 y2 f x . Запишем это соотношение вместе с условием (59) и получим

C y		C y	2	0,
	1 1	2				(62)
					f x .
C1 y1 C2 y2

Здесь, как уже отмечалось, y1 x , y2 x , f x – известные функции. Соотношение (62) представляет собой систему двух линейных алгебраических уравнений для нахождения двух неизвестных C1 , C2 . Определитель этой системы есть определитель Вронского (51), и он отличен от нуля. Значит, система (62) имеет единственное решение. Решив её, найдём C1 1 x , C2 2 x . С помощью интегрирования получим

301

5354.ru

C1 x 1 x dx C1, C2 x 2 x dx C2 ,

где C1, C2 - произвольные постоянные. Так как ищем частное решение y *, то постоянные можно выбрать произвольно. Впредь всегда будем считать их

равными нулю. Подставив найденные выражения C1 x и				C2 x	в формулу
(58), найдём искомое частное решение y * неоднородного уравнения (48).
Пример. Дано неоднородное уравнение
			y y 1/ cos x.		(63)
Ему отвечает однородное уравнение
			y y 0.		(64)
Последнему	уравнению	соответствует	характеристическое		уравнение
k2 1 0. Его	корни равны	k1, 2 1 i.	Соответственно,	общее решение
уравнения (64) имеет вид
		y C1 cos x C2 sin x.			(65)

Итак, частные решения однородного уравнения (64), образующие фунда-

ментальную

систему в

интервале

; ,

будут следующими:

y1 cos x,

y2

sin x. Частное решение y * неоднородного уравнения (63) ищем в виде

(58), т. е. в виде

y* C1 x cos x C2

x sin x.

(66)

Поступив, как и выше, для нахождения C1 и C2

получим систему (62), кото-

рая в условиях примера запишется так:

C cos x C sin x 0,

1

2

(67)

C1 ( sin x) C2 cos x

1

.

cos x

Первое уравнение умножим на sin x,

второе – на cos x и сложим их почленно.

В итоге имеем C2 1. Тогда из первого уравнения (67)

найдём C1 sin x / cos x

и,

проинтегрировав,

получим

C2 dx x,

C1 (sin x / cos x)dx ln

cos x

.

Найденные

функции

подставим

в формулу (66) и будем

иметь

y* ln

cos x

cos x xsin x.

Общее решение уравнения (63) определится как сум-

ма по формуле (52).

При нахождении частного решения уравнения (48) часто бывает полезной следующая

302

5354.ru

Теорема. Дано уравнение

	y a1 y a2 y f1 x f2 x .	(68)
Пусть y1* y1 * x	есть решение уравнения y a1 y a2 y f1 x ,	а y2 * y2 * x –
решение уравнения y a1 y a2 y f2 x . Тогда сумма y1 * y2 *		есть решение
уравнения (68).

Теорема доказывается прямой подстановкой y1 * y2 * в (68).

§ 15. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка

Названные уравнения имеют вид

y n a1 y n 1 ... an y f x ,	(69)
где a1, ... , an , f x - заданные непрерывные функции от x в интервале, в ко-

тором ищется решение. Как всегда y x - искомая функция. Запишем соответствующее однородное уравнение

y n a1 y n 1 . . . an y 0 .	(70)
Как известно (см. теорему 3’ § 10), общее решение этого уравнения
y C1 y1 x C2 y2 x . . . Cn yn x ,	(71)
где C1, C2 , ... , Cn - произвольные постоянные, а y1 x ,	y2 x , . . . ,

yn x - частные решения однородного уравнения (70), образующие фунда-

ментальную систему в рассматриваемом интервале. Это означает, что всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского для этих частных решений:

	y1	y2 ...	yn
W y1, y2 , ... , yn	y1	y2 ...	yn	0.	(72)
	. . . . .		. . .
	y n 1	y n 1 ... y n 1
	1	2	n

Для неоднородного уравнения (69) справедлива теорема о структуре его общего решения, аналогичная теореме предыдущего параграфа.

Теорема. Общее решение y(x) неоднородного уравнения (69) представляется в виде суммы какого-либо его частного решения y* y * x и общего ре-

303

5354.ru

шения y соответствующего однородного уравнения (70), т. е. y y * y или, с учётом (71), y y * C1 y1 C2 y2 ... Cn yn .

Теорема доказывается так же, как в случае уравнения второго порядка. Для нахождения частного решения y * неоднородного уравнения (69) применим метод вариации произвольных постоянных, предположив, что указанные выше частные решения y1 x , . . . , yn x однородного уравнения (70) извест-

ны, а y * имеет тот же вид, что y в формуле (71), только теперь в отличие от предыдущего случая C1, C2 , ... , Cn считаются не постоянными, а искомыми функциями от x. Итак, ищем y * в виде

		y* C1 x y1 C2 x y2 . .	. Cn x yn ,	(73)
где C1 x ,	C2 x ,	. . . , Cn x - новые искомые функции.	Для определения их
производных получим систему уравнений

C1 y1 C2 y2 . . . Cn yn 0,C1 y1 C2 y2 . . . Cn yn 0,

. . . . . . . . . . . . .

C1 y1n 2 C2 y2n 2 . . . Cn ynn 2C1 y1n 1 C2 y2n 1 . . . Cn ynn 1

(74)

0,

f x .

Выполнения первых n 1 соотношений в (74) потребуем сами, а последнее соотношение в (74) получили, исходя из требования, чтобы функция (73) была решением неоднородного уравнения (69). Соотношение (74) представляет собой систему n линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных C1, C2 , ... , Cn . Определитель этой системы есть определитель Врон-

ского (72) и отличен от нуля в рассматриваемом интервале, поэтому система (74) имеет единственное решение. Решив её, найдём C1 1 x , C2 2 x , . . . ,

Cn n x . Проинтегрировав эти равенства, получим

C1 1 x dx, C2 2 x dx, . . . , Cn n x dx,

причём постоянные интегрирования всюду можно взять равными нулю. Подставив найденные функции C1 x , C2 x , . . . , Cn x в формулу (73), получим

искомое частное решение y *.

304

5354.ru

§ 17. Об одном методе решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Пусть даны n соотношений

dy1	f1 x,
dx
dy2	f2 x,
dx
. . .
dyn	fn x,
dx

y1, y2 , . . . , yn ,

y1, y2 , . . . , yn , (79)

. . . .

y1, y2 , . . . , yn .

Здесь	в	правой	части f1, f2 , . . . ,	fn –	известные выражения, содержащие
x, y1,	y2 ,	. . . , yn ,	а y1 y1 x , y2 y2	x ,	. . . , yn yn x – искомые функции.

Соотношение (79) называется системой дифференциальных уравнений перво-

го порядка. Без строгого обоснования при дополнительных предположениях покажем, что эта система решается путём приведения её к решению одного дифференциального уравнения n -го порядка с одной неизвестной функцией, например, y1 y1 x . Для этого из (79) нужно исключить неизвестные функ-

ций y2 , . . . , yn . Непосредственно сделать это не удастся, потому что кроме y2 , . . . , yn система содержит производные y2 , y3 , . . . , yn . Поэтому от системы

(79) перейдём к другой, которая не будет содержать этих производных. С этой целью продифференцируем по x первое соотношение в (79), учитывая при этом, что правая часть первого уравнения является сложной функцией от

x, так как y1, y2 , . . . , yn являются функциями от x.

Использовав правило диф-

ференцирования сложных функций многих переменных, получим

d 2 y

f

f dy

f dy

2 ...

f

dy

dx2

1

1

1

1

1

n .

x

y dx

y

2

dx

y

n

dx

1

Здесь производные dy1 / dx,

. . . ,

dyn / dx

заменим правыми частями f1, f2 , . . . , fn

системы (79), которым эти производные равны. В результате получим соотношение вида d 2 y1 / dx2 F2 x, y1, y2 , . . . , yn . Это соотношение ещё раз продиф-

ференцируем по x	и заменим появившиеся в правой части производные по x
от функций y1, y2 ,	. . . , yn	соответственно на f1, f2 , . . . , fn согласно (79). Полу-
чим d 3 y1 / dx3 F3 x, y1, y2 ,		. . . , yn . Продолжив процесс, остановимся на соотно-
шении d n y1 / dxn Fn x, y1,		y2 , . . . , yn . Таким образом, будем иметь n соотноше-
ний

305	5354.ru

dy1		f1 x, y1, y2 , ... , yn ,
dx
d 2 y		F	x,	y	, y		, ... , y		,
	1							n		(80)
dx2		2		1		2
. . .			. . . .
d n y		F	x,	y	, y		, ... , y		.
	1					2		n
	n	n		1
dx

Следовательно, от исходной системы (79) перешли к системе (80), которая

уже не содержит y2 , y3, . . . , yn .

Поэтому из системы (80) можно, вообще гово-

ря,

исключить величины y2 ,

y3, . . . ,

yn . Предположим,

что система первых

n 1

соотношений (80) разрешима относительно величин

y2 ,

y3, . . . , yn и из

них

y2 , y3,

. . . ,

yn

выразим через x, y1

, y1,

y1,

. . . , y1

и получим следующие

n 1

выражения:

n 1

,

y2

2

y1

x, y1, y1

, y1

, ... ,

3

n 1

,

y3

x, y1, y1, y1, ... , y1

(81)

. . . . . . . . . . . . .

n 1

y

y

.

n

n

1 1

1

1

Подставим

их

в

последнее

уравнение

(80),

в

результате

будем иметь

d n y1 / dxn x, y1, y1, y1, . . . , y1n 1 . Мы получили дифференциальное уравнение n го порядка для искомой функции y1 x . Найдем решение этого уравнения:

y1 1 x, C1, . . . , Cn ,

(82)

где C1, C2 , ... , Cn - произвольные постоянные. Для нахождения остальных искомых функций y2 , y3, . . . , yn уже нет необходимости решать дифференциальное уравнение. Эти функции мы найдём, подставив в (81) найденные для y1 выражения, а также выражения для производных первого, второго, . . . ,n 1 -го порядков, предварительно вычислив эти производные от найденной функции (82):

y2 2 x, C1, . . . , Cn ,
	3 x, C1, . . . , Cn ,
y3		(83)
. . . . . . . . .
	n x, C1, . . . , Cn .
yn

Формулы (82), (83) дают общее решение системы (79).

306

5354.ru

Пример. Возьмём систему дифференциальных уравнений

dy1	y	y		x,
	1		2
dx					(84)
dy2	4 y1 3y2 2x.
dx

От нее перейдём к другой системе, которая не будет содержать y2 x . Для этого первое уравнение в (84) продифференцируем по x : y1xx y1x y2 x 1. В

правую часть подставим вместо	y1, y2 выражения из правых частей системы
(84), которым равны эти производные: y1xx		y1 y2 x 4 y1 3y2 2x 1. По-
лученное соотношение y1xx 3y1	2y2 3x 1 возьмём вместе с первым соот-
ношением (84):
	y y y			x,		(85)
		1	2
	1x
	y	3y	2 y		2	3x 1.
	1xx	1

Итак, от системы (84) перешли к системе (85), причём последняя не содержит y2 , поэтому из неё можно исключить y2 . С этой целью из первого

уравнения (85) выразим y2 :

y2 y1x y1 x.

(86)

Это выражение подставим во второе уравнение (85): y1xx 2 y1x y1 5x 1. Получили дифференциальное уравнение для нахождения y1 x . Это есть линей-

ное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Его решением будет функция y1 C1e x C2 xe x 5x 9. Чтобы найти y2 , найдём производную от y1, эту производную и саму функцию y1 подставим в правую часть формулы (86) и будем иметь

y2 ( 2C1 C2 )e x 2C2 xe x 6x 14.

307

5354.ru

ГЛАВА 16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

§1. Сходимость и сумма ряда

Дана бесконечная последовательность чисел U1, U2 , . . . , Un , . . . Числовым рядом называется выражение

U1 U2 ...

Un ... ,

(1)

содержащее бесконечное число слагаемых. Этот ряд коротко записывают так:

Un . Числа U1, U2 , . . . , Un , . . . называют членами ряда.

n 1

Сумма первых n членов ряда называется n -й частичной суммой этого ряда и обозначается

		Sn U1		U2 ... Un .	(2)
Запишем	частичные суммы:	S1 U1,		S2 U1 U2 ,	S3 U1 U2 U3 ,
Sn 1 U1 U2	... Un 1, Sn U1 U2 ... Un 1		Un .	Очевидно, что
			Sn	Sn 1 Un .	(3)
Если существует конечный предел			lim Sn	S n -й частичной суммы ряда
			n
(1), то говорят, что ряд (1) сходится и имеет сумму равную S. Если конечный

предел	lim Sn не существует, то говорят, что ряд (1) расходится и суммы не
	n
имеет.

Пример. Возьмём ряд a aq aq2 . . . aqn 1 . . ., где a, q - заданные числа. Это выражение есть геометрическая прогрессия с первым членом a и знаменателем q. Будем считать, что a 0. Запишем n -ю частичную сумму этого ряда Sn a aq aq2 . . . aqn 1 a(1 qn ) /(1 q). Отметим, что в справедливости последней формулы легко убедиться, умножив обе ее части на разность 1 q. Запишем эту формулу так:

Sn a /(1 q) aqn /(1 q).

(4)

Рассмотрим следующие случаи.

1. Пусть q 1, тогда qn 0 при n , поэтому, взяв в формуле (4) предел при n и замечая, что предел в правой части равен разности пределов сла-

гаемых, получим	lim Sn lim		a	lim	aqn	.	Второй предел справа равен нулю,
			1 q
	n	n		n	1 q
					308		5354.ru

так как qn 0, а первый предел как предел постоянной ей же и равен. Таким

образом,	lim Sn a /(1 q).	Это означает, что геометрическая прогрессия пред-
	n

ставляет собой сходящийся ряд и его сумма равна a 1 q . Итак, если абсо-

лютная величина знаменателя геометрической прогрессии меньше 1, то прогрессия сходится.

2. Пусть q 1, тогда qn при n . Как видно из (4), при этом Sn , так как второе слагаемое правой части (4) стремится к бесконечности. Итак,

Sn при n , и ряд расходится.
3. Пусть теперь q 1, тогда ряд примет вид a a . . . а . . .	и n -я частич-
ная сумма этого ряда равна Sn a a . . . а na, поэтому при	n имеем

Sn , т. е. ряд расходится.

4. Пусть	q 1,	тогда	рассматриваемый ряд примет вид
a a a a . . . a . . . Сумма Sn
		0	при n чётном,
		Sn	при n нечётном.
		a

Таким образом, с увеличением n сумма Sn принимает значения, то равные нулю, то равные a , и ни к какому пределу при n не стремится. Значит, предел суммы Sn при n не существует, следовательно, ряд расходится.

§2. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости

Справедлива

Теорема 1. Если сходится данный числовой ряд, то сходится и ряд, полученный из него отбрасыванием любого конечного числа первых членов, и наоборот, из сходимости последнего ряда вытекает сходимость первого. Кроме того, указанные ряды расходятся также одновременно.

Доказательство. В ряде (1) положим n N m, где все числа являются целыми и положительными, и выделим в нём первые N членов:

U1 U2 ... UN UN 1 UN 2 ... Un ...	(5)
Теперь запишем ряд, полученный из последнего отбрасыванием первых	N
членов:
UN 1 UN 2 ... Un ...	(6)

309

5354.ru

Запишем две частичные суммы ряда (1):

SN U1 U2 . . . UN , Sn U1 U2 . . . UN UN 1 UN 2 . . . Un ;

m -я частичная сумма ряда (6) равна Sm U N 1 U N 2 . . . Un . Как видно из записанных формул,

Sn SN Sm .

(7)

Пусть N - фиксированное число. Тогда SN - фиксированная величина, и при m имеем n . В соотношении (7) перейдём к пределу при послед-

нем условии, если существует конечный предел	lim Sm , и учтём, что предел
	m
правой части равен сумме пределов, а предел постоянной SN		равен ей самой,
поэтому
lim Sn SN lim Sm .		(8)
n	m

К этому же соотношению (8) мы придем, предположив, что существует ко-

нечный предел lim Sn . Отсюда следует, что если существует конечный предел
	n
lim Sn	(т. е. сходится ряд (5)), то существуетlim Sm (т. е. сходится ряд (6)), и
n	m

наоборот, из существования последнего конечного предела вытекает существование первого конечного предела. Иначе говоря, из сходимости ряда (6) следует сходимость ряда (5). Из формулы (7) видно также, что если одна из величин Sn , Sm не имеет конечного предела, то другая также его не имеет. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что при исследовании сходимости числового ряда можно не учитывать, а просто отбрасывать любое конечное число первых его членов.

Теорема 2. Если ряд (1) сходится и имеет сумму, равную S,	то ряд
cU1 cU2 ... cUn ... ,	(9)

где c - заданное число, также сходится и имеет сумму, равную cS.

Доказательство. Запишем					n -е частичные суммы рядов		(1)	и (9):
Sn U1	U2	... Un ,	n cU1	cU2	. . . cUn cSn . По условию теоремы ряд (1)
сходится,		т. е.	существует		конечный предел	lim Sn S.	Но	тогда
						n
lim n lim(cSn ) c lim Sn cS,				т. е.	существует конечный предел lim n cS. Это
n	n	n				n

означает, что ряд (9) сходится и имеет сумму, равную cS. Теорема доказана.

Теорема 3. Если ряды

310

5354.ru