SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Теорема 3. Если y1 y1 x

и y2 y2 x суть частные решения уравнения

(24), образующие фундаментальную систему в некотором интервале изменения x, то в этом интервале общее решение уравнения (24) определяется формулой

y C1 y1 x C2 y2 x ,	(27)
где C1,C2 – произвольные постоянные.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, надо установить (согласно определению общего решения) два факта:

показать, что функция (27) при любых значениях C1,C2 удовлетво-

ряет уравнению (24);установить, что для любых начальных условий

y		x x y0 ,	y		x x y0	(28)
0			0
можно подобрать такие значения постоянныхC1,C2 , , при которых функция
(27) будет удовлетворять этим начальным условиям. Здесь						x0 , y0 , y0 – задан-

ные числа. Будем считать, что x0 лежит в интервале, в котором ищется решение и определитель Вронского не равен нулю, т. е.

W1 y1, y2				y1 x0	y2 x0		0.	(29)
	x x			y1 x0	y2 x0
0
Так как y1 является решением уравнения (24), то произведениеC1 y1 ,								со-

гласно теореме 2, также является решением этого уравнения. Аналогично,

произведение C2 y2	является решением уравнения (24). Но тогда по теореме 1
их сумма C1 y1 C2 y2	также является решением уравнения (24). Итак, функция
(27) всегда является решением уравнения (24).
Возьмем теперь производнуюy C1 y1 x C2 y2 x функции (27) и потребу-

ем, чтобы эта производная и функция (27) удовлетворяли начальным условиям (28), т. е. чтобы выполнялись соотношения

y C y x C y x								(30)
0	1	1	0	2	2	0
y0 C1 y1 x0				C2 y2 x0

Мы считаем, что y1 x			и y2 x – известные частные решения, поэтому y1 x0 ,
y2 x0 ,	y1 x0 ,	y2 x0	– известные числа. Таким образом, в соотношениях

(30) все величины, кроме C1 и C2 , это известные числа, поэтому (30) представляет собой систему двух линейных алгебраических уравнений с неиз-

291

5354.ru

вестными C1 и C2 . Определитель этой системы есть определитель Вронского (29), вычисленный в точке x0 , и он не равен нулю. Следовательно, система (30) имеет единственное решение.

Решив эту систему, найдём значения постоянных C1,C2 . Подставив эти

найденные значения в формулу (27), определим решение, которое по построению удовлетворяет начальным условиям (28). Теорема доказана.

Для уравнения (23) справедливы теоремы 1 и 2, сформулированные и доказанные выше для случая уравнений второго порядка. Для случая линейных однородных уравнений n -го порядка эти теоремы формулируются и доказываются аналогично.

Теорема 3' (аналог теоремы 3). Если y1 y1 x ,

y2 y2 x , ,

yn yn x

суть частные решения уравнения (23), образующие фундаментальную систему в некотором интервале, то в этом интервале общее решение уравнения (23) определяется формулой

y C1 y1 x C2 y2 x . . .

Cn yn x

(31)

где C1, C2 , ... , Cn – произвольные постоянные.

Теорема доказывается аналогично теореме 3. Предлагаем провести доказательство самостоятельно.

§11. Линейные однородные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

y py qy 0,

(32)

в котором p, q – действительные числа. Согласно теореме 3 параграфа 10 общее решение уравнения (32) определяется формулой y C1 y1 x C2 y2 x , где C1, C2 – произвольные постоянные; y1 x , y2 x – частные решения уравнения

(32), образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале. Таким образом, задача сводится к нахождению этих двух функций. Будем искать их в виде

y ekx ,

(33)

где k – постоянная величина. Подберем эту величину так, чтобы функция (33) была решением уравнения (32). Возьмём производные от функции (33):

292

5354.ru

y kekx , y k2ekx . Потребуем, чтобы функция (33) была решением уравнения (32). Подставим эту функцию в (32) и потребуем, чтобы оно выполнилось, т. е. чтобы имели место равенства k2ekx pkekx qekx 0 или

ekx k2 pk q 0.

(34)

Но ekx 0 всюду на действительной оси, на эту величину уравнение (34) можно сократить, и мы получим

k2 pk q 0.

(35)

Если k есть корень квадратного уравнения (35), то имеет место соотношение (34). Поэтому функция (33) удовлетворяет уравнению (32), т. е. является его решением. Таким образом, нахождение решения вида (33) уравнения (32) сводится к отысканию корней квадратного уравнения (35). Это уравнение называется характеристическим уравнением по отношению к дифференциальному уравнению (32).

Найдём корни характеристического уравнения (35):

k	p		p2	q, k			p		p2	q.	(36)
					2
1	2		4			2			4

Далее будем различать три случая.

Случай 1. Корни (36) характеристического уравнения (35) действитель-

ные и различные, т. е. k1 k2 . Эти корни подставим вместо k				в функцию (33) и
получим два частных решения уравнения (32):
y ek1x ,	y	2	ek2 x .	(37)
1

Запишем определитель Вронского для этих найденных частных решений:

W ( y1, y2 )

y

y

ek1x

ek2 x

ek1xek2 x k2 k1

.

1

2

k ek1x

k

ek2 x

y

y

2

1

2

1

Этот определитель для любого x из интервала , не равен нулю, так
как ek1x 0, ek2 x 0,	k	2	k	0.
			1

Итак, частные решения y1, y2 , определенные в (37) для уравнения (32), об-

разуют фундаментальную систему всюду в интервале , ,			поэтому в
этом интервале общее решение уравнения (32) будет иметь вид
y C ek1x C		ek2 x .	(38)
1	2

Пример 1. Решить уравнение y y 2y 0.

293

5354.ru

Этому уравнению	отвечает характеристическое уравнение k2 k 2 0,
корни которого k1 2,	k2 1. По формуле (38) записываем общее решение
рассматриваемого уравнения y C e2 x C			e x .
	1	2

Случай 2. Корни характеристического уравнения (35) действительны и равны (k1 k2 ).

В этом случае в формулах (36) для корней характеристического уравнения обязательно p2 4 q 0, так как в противном случае корни k1 и k2 не бу-

дут равны. При этом из первой формулы (36) видно, что k1 p 2,	следова-
тельно,
2k1 p 0.	(39)

Кроме того, учтём, что k1 – это корень уравнения (35), т. е. k1 удовлетворяет уравнению (35):

k12 pk1 q 0.

(40)

Подставив найденный корень k1 k2 вместо k в формулу (33), найдём частное решение y1 ek1x уравнения (32). Для построения общего решения исходного уравнения (32) нужно знать ещё одно частное решение. Это второе частное решение y2 будем искать в виде произведения первого найденного частного решения и функции U x , которую нужно подобрать так, чтобы функция y2 была решением уравнении (32) и вместе с функцией y1 ek1x образовала фундаментальную систему.

Потребуем, чтобы функция y2 U (x)ek1x была решением дифференциального уравнения (32), т. е. чтобы выполнилось соотношение

U ek1x 2k1U ek1x k12Uek1x p U ek1x k1Uek1x qUek1x 0.

Это соотношение разделим на ek1x 0 и запишем его так:

U U 2k1 p U k12 pk1 q 0.

В левой части суммы в скобках, согласно формулам (39), (40), обращаются в

нуль,				0. Отсюда							Далее, U Adx B,
			следовательно, Uxx				Ux 0dx A const.
где			B - постоянная		величина.		Получим			U Ax B. Таким образом,
y	2	( Ax B)ek1x . Положим			A 1,	B 0,	тогда y	2	x exp(k x).		Нетрудно показать,
										1
что при этом функции y1					и y2	образуют фундаментальную систему всюду в
						294					5354.ru

интервале , , т. е. определитель Вронского для них отличен от нуля всюду в этом интервале. Общее решение уравнения (32) будет иметь вид

	y C ek1x C		xek1x .		(41)
	1	2
Пример 2. Решить уравнение y 4y 4y 0.
Соответствующее	ему характеристическое		уравнение		имеет вид
k2 4k 4 0. Корни этого уравнения равны k1, 2		2	4 4 2. По формуле (41)
находим общее решение рассматриваемого уравнения y C e2 x C					xe2 x .
			1	2
Случай 3. Корни	характеристического уравнения (35) –			комплексные

числа. Это означает, что p2 4 q 0. Обозначим p2 4 q 2 , p2 . Тогда k1 i , k2 i . Подставив найденные корни k1, k2 вместо k в (33), полу-

чим два частных решения уравнения (32): y1 e i x e x i x ,	y2 e i x e x i x .
Использовав формулу (9) главы 10 ex iy ex cos y i sin y , запишем эти решения
так:

y e x cos x ie x sin x,	y	2	e x cos x ie x sin x (42)
1

Мы нашли два частных решения уравнения (32), но они являются комплексными функциями действительного аргумента, поэтому не подходят, так как мы ищем действительные функции. В связи с этим докажем следующее утверждение.

Теорема. Если комплексная функция действительного аргумента U x iV x (U x , V x - действительные функции) является решением урав-

нения (32), то действительная U x и мнимая V x части также являются решениями этого уравнения

Доказательство. Функция U x iV x является решением уравнения (32), т. е. выполняется соотношение

	U iV p U iV q U iV 0.
		U					iV		и собрав отдельно члены,
Учитывая, что U iV				iV ,	U iV U
содержащие U ,	и	отдельно члены,					содержащие			V ,	получим
U pU qU i V pV qV 0.					Но если комплексная величина равна нулю,
то равны нулю	отдельно			её	мнимая и	действительная				части,	поэтому

295

5354.ru

U	pU qU 0 и V pV qV 0. Эти соотношения означают, что	U x и
V x	являются решениями (32). Теорема доказана.

По доказанной теореме действительная и мнимая части функций (42) – частных решений уравнения (32) – являются решениями этого уравнения.

Итак, y	e x cos x,	y	2	e x sin x. являются частными решениями уравнения
1

(32). Легко проверить, что определитель Вронского для этих решений отличен от нуля для всех x из интервала , , т. е. во всём интервале эти ре-

шения образуют фундаментальную систему. Общее решение уравнения (32) имеет вид

y C e x cos x C		e x sin x.	(43)
1	2
Пример 3. Решить уравнение y 4y 13y 0.
Ему отвечает характеристическое уравнение	k2 4k 13 0. Корни этого
характеристического уравнения равны k1, 2 2 3i,	т. е.		Формула
(43) даёт

yC1e2 x cos 3x C2e2 x sin 3x.

§12. Линейное однородное уравнение n -го порядка

спостоянными коэффициентами

Уравнение вида

y n a1 y n 1 a2 y n 2 ... an 1 y an y 0,

(44)

где a1, a2 , ... , an - заданные действительные числа, называется линейным одно-

родным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения определяется формулой (31): y C1 y1 x C2 y2 x ... Cn yn x , где C1, C2 , ... ,Cn – произвольные постоянные, а y1 x , y2 x , ... , yn x – частные решения уравнения (44), образующие фунда-

ментальную систему в рассматриваемом интервале, т. е. в этом интервале всюду отличен от нуля определитель Вронского для этих n частных решений уравнения (44). Как и в случае уравнения второго порядка (32), эти частные решения будем искать в виде y ekx , где k - постоянная, которую нужно подобрать так, чтобы функция ekx была решением уравнения (44). Подставив эту функцию в уравнение (44), как и в случае уравнения второго порядка (32),

296

5354.ru

для нахождения величины k получим характеристическое						уравнение для
уравнения (44):
k n a k n 1	... a	n 1	k a	n	0.	(45)
1

Это алгебраическое уравнение n -й степени для нахождения k. Из алгебры известно, что такое уравнение имеет n решений (корней). Эти корни будут действительными (простыми или кратными) или комплексными (простыми или кратными). Если комплексное число i является корнем, то сопряжённое число i тоже является корнем, так как уравнение (45) имеет действительные коэффициенты. Иначе говоря, комплексные корни обязательно входят парами (как и в случае квадратного уравнения).

Каждому простому действительному корню k характеристического уравнения (45) отвечает одно решение ekx уравнения (44).

Каждому действительному корню k	кратности r уравнения (45) – харак-
теристического уравнения – отвечают	r решений уравнения (44) вида
ekx , xekx , x2ekx , ... , xr 1ekx .

Каждой простой паре комплексно сопряжённых корней k1 i и k2 i характеристического уравнения (45) отвечает одна пара частных решений уравнения (44) e x cos x, e x sin x.

Каждой паре комплексно сопряжённых корней кратности k1 i и k2 i характеристического уравнения (45) отвечают пар решений уравнения (44)

e x cos x,	e x sin x,
xe x cos x,	xe x sin x,
. . . . . . . .
x 1e x cos x,	x 1e x sin x.

Всего частных решений уравнения (44) будет ровно n. Можно показать, что эти n частных решений образуют фундаментальную систему всюду в интервале , . Это принимается без доказательства.

Общее решение уравнения (44) определяется формулой (31), в которой вместо y1 x , y2 x , ... , yn x нужно подставить указанные частные решения.

Пример. Дано уравнение пятого порядка с постоянными коэффициента-

ми

y 5 y 4 2 y 2 y y y 0.

(46)

297

5354.ru

Его характеристическое			уравнение k5 k4 2k3 2k2 k 1 0.								Это уравнение
запишем так: k 1		k4 2k2				или
				1	0
						k 1		k2		2 0.	(47)
									1

Находим корни: k1 1 (это простой действительный корень, он отвечает первому множителю левой части уравнения (47)) и k2, 3 i. Корни k2, 3 - пара

комплексно сопряжённых корней второй кратности. Их получили, приравняв к нулю второй сомножитель левой части уравнения (47). Он имеют вторую кратность, так как k2 1 стоит во второй степени, т. е. пара корней повторя-

ется дважды. Первому корню отвечает одно частное решение y e x . Паре
								1
корней	k2, 3	отвечают две пары частных решений уравнения (46): y2 cos x,
y3 sin x,	y4	x cos x,	y5 x sin x.			Общее решение уравнения (46) согласно (31)
запишется так: y C e x C				2	cos x C sin x C			x cos x C x sin x.
		1				3	4	5

§ 13. Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Линейное неоднородное уравнение второго порядка имеет вид

y a1 y a2 y f x .	(48)
Здесь a1, a2 , f (x) - заданные непрерывные функции, а y x	– искомая
функция. Запишем соответствующее однородное уравнение
y a1 y a2 y 0.	(49)

Как известно (см. теорему 3 § 10), общее решение y	этого уравнения опреде-
ляется формулой
y C1 y1 x C2 y2 x ,		(50)
где C1, C2 – произвольные постоянные, а y1 x , y2 x	– частные решения одно-

родного уравнения, образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале изменения x, в котором ищется решение. Это означает, что в указанном интервале для этих частных решений всюду отличен от нуля определитель Вронского:

W y1, y2		y1	y2		0.	(51)
		y1	y2

298

5354.ru

Теорема 1. Общее решение y неоднородного уравнения (48) представляется в виде суммы какого-либо частного решения y* y * x этого уравнения и общего решения y соответствующего однородного уравнения (49), т. е.

y y * y

(52)

или, согласно (50),

y y * x C1 y1 x C2 y2 x .

(53)

Доказательство. Согласно определению общего решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо установить два факта.

1.Сумма y * y удовлетворяет уравнению (48) при любых значениях входящих в нее постоянных C1, C2 .

2.Для любых начальных условий

y		x x y0 ,	y		x x y0	(54)
0			0
в формуле (53) можно подобрать такие значения постоянных C1, C2 ,						при ко-
торых функция (53) будет удовлетворять этим начальным условиям.

Докажем первый факт. Подставим указанную сумму в (48) (вместо y ) и

получим y * y a	y * y a	2	y * y	f x . Теперь учтём, что производная
1

от суммы равна сумме производных, и в левой части соберём отдельно слагаемые, содержащие y*, и отдельно слагаемые, содержащие y. Получим

y * a1 y * a2 y * y a1 y a2 y f x .

Но y – общее решение уравнения (49), поэтому вторая сумма в скобках в левой части последнего соотношения обращается в нуль. Далее, y * есть решение неоднородного уравнения (48), поэтому первая сумма в скобках в левой части последнего выражения равна f (x). Таким образом, получили тождество. Это означает, что сумма (52) удовлетворяет уравнению (48), т. е. является его решением.

Докажем теперь второй факт. В начальных условиях (54), как всегда, x0 , y0 , y0 - заданные числа. Кроме того, мы должны считать, что x0 лежит в интервале, в котором определитель Вронского не равен нулю, так как используем формулу (53), в которой для y1, y2 считается выполненным условие (51). Это означает, что

299

5354.ru

y2 x

y1 x

W y1, y2				y1 x0		y2	x0			0.	(55)
	x x			y1 x0		y2 x0
0

Найдём производную выражения (53) и потребуем, чтобы функция (53) и её производная удовлетворяли начальным условиям (54), т. е. чтобы выполнились соотношения

y * x C y x C y x y ,										(56)
		0	1	1		2		0
					0		2		0
y *		x0 C1 y1 x0 C2 y2 x0 y0 .
Мы считаем, что в формуле (53) y x , частные решения									y1 x и	y2 x уравне-

ния (49) нам известны. Значит, их значения, а также значения производных в точке x0 суть известные числа, поэтому в (56) все величины кроме C1, C2 из-

вестны. Таким образом, соотношение (56) представляет собой систему двух линейных алгебраических уравнений, которые запишем так:

C y x C y x y y * x ,										(57)
	1		0	2		0			0
		1			2		0
C1 y1 x0 C2 y2 x0 y0 y *									x0 .

Определитель этой системы есть определитель Вронского (55), и он отличен от нуля, поэтому система (57) имеет единственное решение. Решив ее, найдём значения постоянных C1, C2 . Подставив эти значения в (53), получим реше-

ние, по построению удовлетворяющие начальным условиям (54). Теорема доказана.

§ 14. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения

линейного неоднородного уравнения второго порядка

Согласно предыдущей теореме для нахождения общего решения уравнения (48) надо знать какое-либо частное решение этого уравнения. Рассмотрим один из методов построения этого частного решения.

Будем считать, что общее решение соответствующего однородного уравнения найдено и определяется формулой (50), т. е. нам известны частные решения и однородного уравнения (49), образующие фундаменталь-

ную систему в некотором интервале. Частное решение y * неоднородного уравнения (48) также будем искать в виде суммы (50), только теперь, в отли-

300

5354.ru