SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Интеграл в формуле (8) равен площади криволинейной трапеции, основанием которой служит отрезок , оси Ox, а сверху трапеция ограничена со-

ответствующей частью кривой y f x		(рис. 194). Этой же площади равна
вероятность в левой части формулы (8).
В формулах (7) и (8) положим x		и перейдем к пределу при .
Учитывая, что F ( ) 0, будем иметь
F(x) P X x P X x x	f x dx. (9)

Интеграл в этой формуле и остальные части соотношения равны площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху частью кривой y f x , соответствующей интервалу ( , x), служащему основанием трапе-

ции (рис. 195).

Рис. 195

Перейдем теперь в (9) к пределу при x . Учитывая, что F ( ) 1, получим условие, которому должна удовлетворять плотность распределения f (x) (кроме условия f (x) 0 ):

f x dx 1.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Будем считать, что lim f x 0.

x

§5. Нормальный закон распределения

Опыт показывает, что многие случайные величины, например, ошибки при наблюдениях, отклонения по дальности или боковое отклонение точки

361

5354.ru

попадания от некоторого центра при стрельбе, имеют плотность распределения, которая определена формулой

f x		1		x a	2			(10)
			exp				, 0,
		2		2 2

где a и – постоянные, определяемые опытным путём. Этот закон рас-

пределения называется нормальным законом или законом распределения Гаусса. График функции (10) представлен на рис. 196. Можно показать, что

она удовлетворяет соотношению f (x)dx 1.

Рис. 196

Вероятность попадания непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения в интервал , выражается формулой (8). В неё

вместо f x подставим выражение (10) и получим

P X [1/(	2 )]exp[ x a 2 /(2 2 )]dx.	(11)
В интеграле этой формулы сделаем замену переменных
(x a) / t.	(12)
При этом имеем x a t, отсюда найдем		dx dt. Кроме того, пределы
интеграла x , x	согласно (12) заменим на соответствующие пределы

для t : t a , t a .

Теперь формула (11) запишется так:

		a			t2
	P X		1	e		(13)
					2 dt.
			2
		a

Рассмотрим функцию, называемую функцией Лапласа,

	x x		2
		1	e t2 dt.	(14)
		2
	0

362

5354.ru

Ее производная

	x	1	e		x2	.	(15)
		2
				2

Отметим свойства функции x :

функция определена для всех x на числовой оси;

эта функция возрастает всюду в интервале ; , так как её производ-

ная согласно (15) больше нуля;

0 0, так как в формуле (14) при x 0 верхний и нижний пределы интегрирования становятся равными;

можно показать, что lim x 1/ 2;

x

функция x – нечётная, т. е. x x , в чем легко убедиться на

основании (14).

Из сказанного ясно, что x имеет график, представленный на рис. 197.

С учетом (15) соотношение (13) согласно формуле Ньютона – Лейбница можно представить в виде

		a			a
	P X					.	(16)

Это есть вероятность попадания в интервал ; случайной величины X с нормальным законом распределения. Функция x , не выражается через

элементарные функции. Составлены подробные таблицы её значений, которые приводятся в справочниках по математике. Таблица значений функции Лапласа дана в конце книги (Приложение 1).

363

5354.ru

§6. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Пусть X – дискретная случайная величина, закон распределения который

n

задан таблицей 1, где pk 1

в силу формулы (1).

k 1

Таблица 1

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P X x

p1

p2

…

pk

…

pn

k

Математическим ожиданием случайной величины X называется число,

обозначаемое M X или mx

и равное сумме произведений всех возможных

значений X на вероятности этих значений, т. е. M X mx x1 p1

x2 p2 ... xn pn

или

n

M X mx xk pk .

(17)

k 1

Математическое ожидание называют также центром распределения воз-

можных значений случайной величины X по аналогии с центром тяжести си-

стемы материальных точек. Такая аналогия действительно имеет место.

В самом деле, предположим, что на оси Ox в точках x1,

x2 ,

..., xn находят-

ся материальные точки соответственно с массами

p1, p2 , ...,

pn ;

тогда, как из-

вестно из механики, центр тяжести этой системы материальных точек опре-

	n	n
деляется формулой	xc xk pk / pk . Когда сумма в знаменателе равна едини-
	k 1	k 1

це, что имеет место для случайной величины в силу формулы (1), выражение

n
для xc принимает вид xc xk pk , т. е. получим такую же формулу, что и фор-
k 1
мула (17) для математического ожидания.
Иногда кроме рассматриваемой величины X			вводят в рассмотрение дис-
кретную случайную величину	mx .	Разность	mx принимает значения
xk mx с вероятностями pk для	k 1, 2,	..., n. Следовательно,		закон распреде-
ления этой разности получается из таблицы 1, если в ней				xk заменить на
xk mx для всех k. Математическое ожидание разности X mx ,				т. е. M X mx ,
получится из формулы (17), если в ней xk заменить на xk mx				для всех k. Лег-

ко проверить, что при этом правая часть (17) будет равна нулю, если принять во внимание (1). Таким образом, математическое ожидание M X mx 0.

Разность X mx называют центрированной случайной величиной. Теперь мы

364

5354.ru

q 1 p.

X mx

видим, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Разность будем называть отклонением величины X от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины X , закон распределения которой задан таблицей 1, а математическое ожидание определяется формулой (17), дисперсией называют число

D X x1 mx 2 p1	x2 mx 2	p2 ... xn mx 2 pn
или
n	pk .
D X xk mx 2		(18)
k 1

Дисперсия характеризует рассеивание, разброс значений величины X относительно её математического ожидания. В самом деле, чем дальше распо-

ложено	значение xk от mx , тем	больше квадраты разностей xk mx 2 , тем
больше слагаемые формулы (18),		тем больше дисперсия D X .

Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины

X называется число, равное (X ) D(X ).

Пример. Проводится испытание, в котором может появиться событие A , вероятность его появления известна и равна p. Тогда непоявление события A есть событие A , противоположное событию A , а вероятность A равна Пусть X – число появлений события A при данном испытании. Ясно,

что X	примет значение x1 1, если событие A появится, следовательно, веро-
ятность появления этого значения равна p – вероятности события A.		Вели-
чина	X примет значение x2 0, если при данном испытании событие	A не

появится. Ясно, что вероятность появления этого значения равна q – вероятности события A . Таким образом, для величины X получим следующую таблицу, определяющую ее закон распределения:

	X		1	0
	P X xk		p	q
Запишем по		формулам		(17) и (18) математическое ожидание

M x mx 1 p 0 q p, и дисперсию

D X 1 p 2 p 0 p 2 q q2 p p2q pq( p q) pq.

Перед тем, как записать свойства математического ожидания и дисперсии, остановимся на следующих определениях.

365

5354.ru

Произведением постоянной C и дискретной случайной величины X назы-

вается дискретная случайная величина, обозначаемая CX , возможные значения которой равны произведению этой постоянной C на соответствующие возможные значения X , а вероятности этих произведений равны вероятностям значений X , входящих в эти произведения.

Дискретные случайные величины называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие значения приняли другие. В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Суммой двух независимых дискретных случайных величин X и Y называет-

ся случайная величина, обозначаемая X Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y , а вероятности этих сумм равны произведениям вероятностей слагаемых значений. Аналогично определяется сумма любого числа N независимых случайных величин. Последнее определение проиллюстрируем на примере дискретных случайных величин, законы распределения которых заданы таблицами 2 и 3.

Таблица 2

			X			x1		x2
			P X x			p1		p2
				k
Таблица 3
			Y			y1		y2
			P Y yk			q1		q2
Согласно определению,
		для суммы				X	Y закон распределения определя-
ется таблицей 4.
Таблица 4
	X Y	x1 y1		x1 y2			x2 y1			x2 y2
	P X Y	p1 q1		p1 q2			p2 q1			p2 q2

Произведением двух независимых случайных величин X и Y называется случайная величина, обозначаемая XY , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y , а вероятности этих произведений равны произведениям вероятностей слагаемых значений.

Ясно, что закон распределения произведения XY вышеуказанных величин (табл. 2,3) получается из таблицы 4 заменой сумм возможных значений на их произведения.

366

5354.ru

В таблицах 2 и 3 согласно (1) должно быть p1 p2 1, q1 q2 1. Теперь мы

можем записать свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.

Пусть X , Y – дискретные независимые случайные величины, C const, тогда:

1) M CX CM X ; 2) M X Y M X M Y ; D CX C2 D X ; 4) D X Y D X D Y ;

5)M ( XY ) M ( X ) M (Y ).

Первое и третье свойства доказываются непосредственно, исходя из формул (17) и (18) с учётом определения произведения CX .

Докажем второе свойство. Согласно таблицам 2, 3 и 4 по формуле (17) запишем математические ожидания рассматриваемых величин:

M X x1 p1 x2 p2 , M Y y1q1 y2q2 , M X Y

x1 y1 p1q1 x1 y2 p1q2 x2 y1 p2q1 x2 y2 p2q2.
В правой части раскроем скобки и при этом учтём, что p1 p2 1,	q1 q2 1,

тогда останется сумма, которая будет равна сумме величин M X M Y . По-

следние свойства доказываются аналогично.

Отметим связь между дисперсией и математическим ожиданием. Дисперсия дискретной случайной величины X , определяемой таблицей 1, вычисля-

ется по формуле (18).
Рассмотрим теперь величину X mx 2 ,			которая	принимает значение
xk mx 2 с вероятностями pk для всех k 1, 2,			..., n. Здесь mx есть математиче-
ское ожидание X , определённое по формуле (17). Закон распределения вели-
чины X m	x	2 получается из таблицы 1, если в ней x		заменить на x		k	m			2
			k						x
для всех k.	Но тогда математическое ожидание этой величины				M X m			x	2
определяется по формуле (17), в которой xk			надо заменить на		xk mx		2 для
всех k 1, 2, ..., n. При этом получим правую часть				формулы (18).			Итак,

D X M X mx 2 .

Значение числовых характеристик случайной величины заключается, в частности, в том, что в задачах, связанных с большим числом случайных величин, нередко бывает достаточно знать их числовые характеристики, отвлекаясь от законов распределения этих величин. В грубых расчетах значения

367

5354.ru

f x ;

случайной величины заменяют ее математическим ожиданием, т. е. некоторым средним значением.

§7. Числовые характеристики непрерывной

случайной величины

Пусть X –	непрерывная случайная величина, плотность распределения
которой равна	f x , а интервалом всех возможных значений служит интер-
вал ; .

Математическим ожиданием рассматриваемой величины называется число, обозначаемое M ( X ) или mx , равное

				(19)
M (X ) mx xf (x)dx
Дисперсией X называется число D X , равное интегралу
D X	x mx 2	f x	dx.	(20)

Средним квадратическим отклонением рассматриваемой величины назы-

вается число (X ) D(X ).

При этом нужно иметь в виду следующие определения:

непрерывные случайные величины называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли другие величины; в противном случае, случайные величины назы-

ваются зависимыми;

произведением постоянной C и непрерывной случайной величины X с

плотностью f x называется случайная величина, обозначаемая CX , возмож-

ные значения которой равны произведениям этой постоянной на соответствующие возможные значения X и плотность распределения вероятностей которой равна

суммой двух непрерывных независимых случайных величин X				и Y с плот-
ностями	распределения	вероятностей,	соответственно	равными
f1 x , f2 y ,	x , y , называется случайная величина, обозна-
чаемая X Y , возможные значения которой равны суммам соответствующих
возможных значений X и Y ,		плотность распределения вероятностей этой
суммы выражается формулой

368

5354.ru

a 3 ;a 3 .

f z f1 t f2 z t dt, z x y.

Аналогично определяется сумма трех и большего числа независимых случайных величин.

произведением двух непрерывных случайных величин X и Y называется случайная величина, обозначаемая XY , возможные значения которой равны произведениям соответствующих возможных значений X и Y.

Доказанные выше для дискретной случайной величины свойства математического ожидания и дисперсии остаются в силе и для непрерывных независимых случайных величин.

Рассмотрим теперь числовые характеристики непрерывной случайной величины X , имеющей нормальный закон распределения. Выражение (10) подставим в формулу (19). После ряда вычислений, которые опускаем, получим M x mx a . Число M x a и функцию (10) подставим в формулу (20). По-

сле вычислений получим D X 2. Отсюда среднее квадратическое отклонение x . Здесь дисперсия характеризует рассеивание (разброс) значений X относительно математического ожидания M X a.

Считая, что k – заранее заданное малое положительное число, на оси Ox возьмём интервал a k;a k . Вероятность P a k X a k попадания X в

этот интервал равна площади криволинейной трапеции, основанием которой служит отрезок (a k, a k), а сверху трапеция ограничена соответствующей частью кривой y f ( x). Эта вероятность и указанная площадь тем больше, чем меньше . Таким образом, чем меньше дисперсия 2 , тем больше указанная вероятность, следовательно, тем чаще X попадает в указанный интервал и тем меньше рассеивание значений X относительно точки a – математического ожидания X .

В теории вероятностей числовые характеристики случайных величин играют важную роль. Нередко встречаются задачи, при решении которых достаточно знать числовые характеристики случайных величин, а законы их распределения не используются. Приближенные значения математического ожидания и дисперсии могут быть найдены, например, опытным путем (см. § 2 главы 20).

Пример. Пусть X – непрерывная случайная величина с нормальным законом распределения. Найти вероятность попадания X в интервал

369

5354.ru

Воспользуемся формулой	(16),	положив a 3 , a 3 .	Тогда
P a 3 X a 3 3 3 .	Но	x – функция нечётная,	поэтому
3 3 . Таким образом,
P a 3 X a 3 2 3 .

Из таблицы значений для x найдем 2 3 0,997. Поэтому предыдущая формула примет вид P a 3 X a 3 0,997. Следовательно, эта вероят-

ность очень близка к единице. Таким образом, событие, состоящее в том, что значение X попадает в интервал a 3 ;a 3 , является почти достоверным.

Это означает, что указанное событие, как правило, всегда появляется, и зна-

чение X ,	как правило, находится в интервале a 3 ;a 3 , центр которого
есть a mx	– математическое ожидание X . Это правило называется правилом
трёх сигм.

§8. Неравенство Чебышева

Пусть X – дискретная случайная величина, закон распределения которой задан таблицей

X		x1	x2	… xk	xk 1	xk 2	… xn
P X x		p1	p2	… pk	pk 1	pk 2	… pn
k

Её математическое ожидание M X mx определяется формулой (17). Запишем дисперсию этой величины, выделив в ней члены, содержащие

xk , xk 1, ... :

	D X x1 mx 2 p1 x2 mx 2 p2 ... xk mx 2	pk	(21)
	xk 1 mx 2 pk 1 xk 2 mx 2 pk 2 xn mx 2	pn .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема (о неравенстве Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной ве-

личине будет меньше положительного числа , удовлетворяет

неравенству

Чебышева

P

X M X

1 D X / 2 .

(22)

X M X

Доказательство. Рассмотрим два

события

X M X

и

.

При каждом испытании одно из этих событий обязательно произойдёт, причём только одно. Это означает, что указанные события образуют полную

370

5354.ru