SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Доказательство. Нужно доказать, что во всех точках плоскости Oxy выполняется соотношение P y Q x. Предположим, что оно не выполняется в некоторой точке M0 и выполняется, например, неравенство

Q x P y M0

0

(31)

Так как в силу условий теоремы разность Q					x P y есть функция, непре-
рывная в точке	M0 , то		для значения этой		функции в точке M имеем
lim Q x P y		Q	x P y	. Отсюда с учётом неравенства (31) в си-
M M0	M			M0

лу определения предела функции двух переменных следует, что найдётся

круг D достаточно малого радиуса			с центром в точке M0 ,					для любой точки
M которого	справедливо соотношение			Q x P y		M		1 Q x P y	.
								2	M0
Следовательно,
		Q x P y d 1			Q x P y M0 d 0. (32)
		D		2	D
Рассмотрим формулу Грина (15) для функций P x, y ,							Q x, y , круга D с
границей L.	Согласно	(32) её	левая	часть положительна, поэтому
P x, y dx Q x, y dy 0.		Но в силу условия теоремы этот интеграл должен
L

быть равен нулю (см. теорему 1). Приходим к противоречию. К такому же заключению придём, предположив, что Q x P y M0 0. Таким образом,

предположение о том, что в точке M0 не выполняется условие P y Q x,

должно быть отброшено. Теорема доказана.

Теорема 2 может быть использована, в частности, при вычислении криволинейного интеграла вида (29). Пусть, например, требуется вычислить криво-

линейный интеграл	ydx xdy	по некоторой (произвольной) заданной кри-
AB
вой, соединяющей точки A(0,0)		и B(1,1). Здесь P(x, y) y, Q(x, y) x, поэтому

соотношение (28) выполняется, и при вычислении рассматриваемого инте-

грала в качестве кривой AB	для упрощения выкладок можно взять отрезок
прямой, соединяющий точки	A и B, с уравнением y x,	0 x 1. Положив
x t, придем к параметрическим уравнениям этого отрезка:		x t, y t, 0 t 1.
Использовав формулу (10), получим

271

5354.ru

	ydx xdy 1 tdt tdt 21 tdt t2 |10 1.
AB	0	0

§ 5. Применение кратных интегралов к вычислению координат центра тяжести тел

Пусть в пространстве Oxyz задана система материальных точек

Pi xi , yi , zi ,	i 1, 2, ... , n, массы которых равны соответственно m1, ... , mi , ... , mn ; и
C xc , yc , zc	– центр тяжести этой системы (см. рис. 163). Известно, что коор-
динаты этого центра определяются по формулам
	n	n			n	n	n	n
	xc ximi / mi ,		yc yimi / mi ,				zc zimi / mi .
	i 1	i 1			i 1	i 1	i 1	i 1
Пусть в пространстве Oxyz			задано тело, зани-
мающее область V		(рис. 164),		и	x, y, z есть
плотность тела в точке M x, y,				z ,	причём веще-
ство в области V		распределено			неравномерно.
Будем считать, что всюду в области V задана не-
прерывная	функция	x, y, z ,		характеризующая
распределение плотности вещества по всему телу.

	Нужно найти xc , yc , zc	– координаты центра тяже-	Рис. 163
	сти C рассматриваемого тела.

Рис. 164

вещества внутри

Vi :

Разобьём область V на n малых по размерам частей с объёмами V1, ... , Vn . Внутри части с объёмом Vi возьмём произвольную точку Pi xi , yi , zi и вычислим в ней значение за-

данной	плотности x, y, z ,	т. е. найдём
xi , yi ,	zi . В силу малости части приближенно
можно считать, что внутри Vi		плотность по-

стоянна и равна xi , yi , zi , поэтому масса miVi приближенно равна произведению этой плотности на

mi xi , yi , zi Vi .

(42)

272

5354.ru

Сказанное относится ко всем остальным частям тела. В силу малости объёмаVi можно приближенно считать, что часть Vi совпадает с материальной точкой Pi с массой mi . Это относится ко всем частям тела, тогда оно приближенно заменяется системой материальных точек Pi с массами mi , определяемыми по формуле (42), где i 1, ... , n. Таким образом, получаем систему n точек. Координаты центра тяжести определяются приближенно по приведённым выше формулам, в которых mi выражаются формулой (42). Итак,

n	n
xc xi xi , yi , zi Vi / xi , yi , zi Vi .
i 1	i 1

Пусть di – диаметр области Vi и max di – наибольший из всех диаметров частей области V. Последняя формула тем точнее, чем меньше наибольший из диаметров max di . Чтобы получить точное значение xc , в правой части последней формулы, нужно перейти к пределу, когда n и max di 0. При этом учтём, что предел отношения равен отношению пределов, и получим

		n			n
xc lim		xi xi , yi , zi Vi /	lim		xi , yi , zi Vi .	В знаменателе под знаком
max d	0	i 1	max d	0	i 1
i			i

предела стоит интегральная сумма для непрерывной функции x, y, z и области V , в которой функция задана. Предел этой суммы равен тройному интегралу от функции x, y, z по области V , а в числителе получим тройной

интеграл от функции x x, y, z .	Таким образом, окончательно получим фор-
мулу
xc xi x, y, z dV / x, y, z dV ,		dV dxdydz.
V	V

Аналогично получим выражения для координат yc , zc .

273

5354.ru

ГЛАВА 15. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях

Кдифференциальным уравнениям приводятся многие

задачи науки и техники. Рассмотрим одну из них – задачу о движении тела при вертикальном его падении под действием сил тяжести и сопротивления среды.

Пусть с некоторой высоты сброшено тело массой m, ко-
торое падает вертикально вниз (рис. 166). Обозначим ско-
рость тела V , его силу тяжести	P, силу сопротивления сре-
ды R. Модуль последней при небольших скоростях пропор-
ционален скорости V , т. е. R kV , где k – коэффициент про-		Рис. 166

порциональности, который определяется опытным путём и считается известным. Нужно найти закон V t изменения модуля скорости тела с течением

времени t.

Ось Oy проведём вертикально вниз и будем считать, что тело движется по

этой оси.
Отметим, что модуль силы тяжести P mg, где g	– ускорение свободного
падения. Сила R направлена противоположно вектору скорости.
			где		–
Пусть W – ускорение тела. По второму закону Ньютона m W		F,		F

сила, действующая на тело. В нашем случае эта сила есть равнодействующая сил P и R, т. е. F P R. Подставив это выражение в предыдущее соотношение, получим m W P R. В проекции на ось Oy это векторное равенство дает

m Wy Py Ry .		(1)
Как известно из кинематики, проекция ускорения Wy		равна производной
dVy / dt, где Vy – проекция скорости на ось Oy.	Подставим последнее выраже-
ние в (1) и получим
m dVy	dt Py Ry .	(2)

Проекция вектора на ось равна его модулю (длине), умноженному на косинус
угла между вектором и осью, поэтому проекция Py силы P на ось y	равна P,
так как угол между осью Oy и вектором P равен нулю. Но P mg,	следова-
274	5354.ru

тельно, Py mg.	Аналогично Vy V ,		Однако	R kV , по-
		Ry R cos R, Oy R.
этому Ry kV .	Последние выражения для Py , Ry , Vy подставим в (2) и будем
иметь mdV / dt mg kV.

Итак, получили соотношение, связывающее искомую функцию V t и её производную dVdt . Это соотношение есть дифференциальное уравнение для искомой функции V t .

Определение. Дифференциальным уравнением называется соотношение,

которое связывает независимую переменную x,		искомую функцию y x и
её производные y , y , ... .
Дифференциальное уравнение записывается так:				0,					(3)
	F x, y, y ,	y , ... , y
			(n)
где левая часть есть известное выражение, содержащее				x, y, y ,	y ,	… ,	y		.
								(n)

Если в дифференциальном уравнении искомая функция зависит от одного аргумента, то оно называется обыкновенным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной искомой функции, входящей в это уравнение. Например, y xy 0 есть уравнение первого порядка, y y 0 – уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая		функция
y x , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тожде-
ство (при подстановке функции	y x в уравнение (3) заменяем
		y, y ,	y ,
… соответственно на x , x ,	x , …).
Например, для уравнения
	y y 0		(4)

решением является функция y sin x. В этом легко убедиться, подставив эту функцию в уравнение (4). Также легко убедиться в том, что решением урав-

нения (4) является	и	функция y cos x. Наконец, функция вида
y c1 sin x c2 cos x, c1, c2	const,	тоже является решением того же уравнения (4).

Этот пример показывает, что обыкновенное дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

275

5354.ru

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Как видно из формулы (3), обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка записываются так: F(x, y, y ) 0. В дальнейшем будем рассматривать решение этого уравнения в случае, когда его можно представить в виде

				y	f x, y ,	(5)
где правая часть f		x, y	– известное выражение, содержащее x, y,			т. е. функ-
ция с аргументами		x, y.	Пусть y x – ре-
шение уравнения (5). Этой функции на плос-
кости Oxy отвечает кривая – график этой
функции (рис. 167).
Иногда	ищут	такое решение		y x
уравнения (5), график которого проходит че-
рез заданную точку (x0 , y0 ), т. е. выполняется
равенство	y0 (x0 ). Это		условие	называют	Рис. 167
начальным условием, которому удовлетворяет

решение y x уравнения (5). Обычно начальное условие записывают в виде

y		x x	y0 .	(6)
			0

Задача об отыскании решения уравнения первого порядка, удовлетворяющего условию (6), называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности решения дифференциаль-

ного уравнения первого порядка). Если в дифференциальном уравнении y f x, y правая часть f x, y и её производная f x, y y непрерывны в не-

которой области D плоскости Oxy, причём эта область содержит внутри

себя точку	x0 , y0 , то в достаточно малом интервале			(x0 h, x0 h)	суще-
ствует единственное решение		y x	этого уравнения,	удовлетворяющее
начальному	условию y |x x0 y0	(график	которого проходит через		точку
(x0 , y0 )).

Из этой теоремы сразу вытекает, что дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число решений. В самом деле, в области D

276

5354.ru

возьмём точку x0 , y1 . Так как эта точка имеет ту же абсциссу, что и исходная, и лежит в области D, то, согласно теореме, существует единственное решение дифференциального уравнения – функция y 1 x , график которой проходит через точку (x0 , y1 ). Таким образом получаем ещё одно решение дифференциального уравнения. Изменяя значения ординаты y, получим бесконечное число решений рассматриваемого дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (5) называется функция y x,C , содержащая произвольную постоянную C, если:

эта функция при любых значениях постоянной C удовлетворяет уравнению (5);

для любого начального условия y x x0 y0 можно найти такое значение

постоянной C C0 , при котором y (x,C0 ) будет удовлетворять этому начальному условию (здесь мы предполагаем, что точка x0 , y0 лежит в области D, указанной в условии теоремы).

Иногда общее решение уравнения (5) получается в форме, не разрешённой относительно y, т. е. в виде x, y,C 0 Это соотношение называют об-

щим интегралом уравнения (5).

Частным решением уравнения (5) называется решение y x,C0 получаемое из общего решения y x,C при конкретном значении C C0 . Соотношение x, y,C0 0 называется частным интегралом уравнения (5).

График частного решения на плоскости Oxy называется интегральной кривой для дифференциального уравнения (5). Общему решению y x,C этого уравнения на плоскости Oxy отвечает семейство интегральных кривых, так как при разных значениях постоянной C получаем разные кривые на плоскости Oxy. В качестве примера возьмём уравнение y x / y. В дальнейшем покажем (см. § 5 настоящей главы), что это уравнение имеет общий интеграл x2 y2 C2 . Последнее соотношение при каждом конкретном значении C определяет на плоскости Oxy окружность с центром в начале координат и радиусом r | C | . Изменяя значенияC , получим семейство концентрических окружностей, представляющих собой интегральные кривые для дифференциального уравнения.

277

5354.ru

§ 3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка

Дано уравнение первого порядка

								y f x, y ,	(7)
	где	f x,	y – заданная функция от аргументов x, y. Для простоты будем счи-
	тать, что эта функция определена на всей
	плоскости Oxy.
	Возьмем на плоскости произвольную
	точку x, y с известными координатами
	x, y	и вычислим в ней значение заданной
	функции		f x,	y . По этому числу найдем
	угол	,	для	которого tg		f x, y		y .
	Иначе говоря,			зная tg , вычислим угол					Рис. 168
	в точке		x, y	и в этой точке проведём
	направление, образующее с осью Ox						угол (рис. 168). Это построение мо-

жем выполнить с помощью уравнения (7) в любой точке x, y плоскости Oxy. Таким образом, по дифференциальному уравнению (7) на плоскости Oxy для каждой её точки определим некоторое направление. В таком случае говорят, что дифференциальному уравнению на плоскости Oxy отвечает поле направ-

лений.

Пусть y x есть решение уравнения (7), график которого (интеграль-

ная кривая уравнения) проходит через точку x, y .		Мы знаем, что значение
производной y x , вычисленное для значения x		(абсциссы точки x, y ),
равно tg	– тангенсу угла , образованного с осью Ox касательной к кривой
y x в	её точке x, y с абсциссой x. Но функция y x есть решение

уравнения (7), т. е. она вместе со своей производной удовлетворяет уравне-

нию (7). Таким образом, y x равно y f x, y ,	то есть
		tg tg	и ,
поэтому направление касательной к кривой y x	в её точке x, y		совпада-

ет с направлением поля в этой точке, определенным по дифференциальному уравнению (7).

278

5354.ru

Итак, в любой точке интегральной кривой направление касательной к ней совпадает с направлением поля в этой точке. Это свойство используется для приближенного решения уравнения (7).

§ 4. Приближённое решение дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка (7), для кото-

рого функция f x, y и её частная производная fy x, y				непрерывны в любой
конечной части плоскости Oxy. Требуется найти решение y x уравнения
(7), удовлетворяющее начальному условию y			x x0 y0 ,	в интервале x0 x b,
где x0 , y0	, b – заданные числа. Согласно теореме из § 2, такое решение суще-
ствует и	единственно.

Выбрав по нашему усмотрению целое число n 0, разобьём интервалx0 , b на n частичных интервалов x0 , x1 , x1, x2 , ... , xn 1, xn , где xn b, задав точки деления x1, x2 , ... , xn 1. Искомая интегральная кривая проходит через точку x0 , y0 , угловой коэффициент касательной к ней в этой точке вычисляется

по формуле	f x0	, y0 yx			x x tg ,	поэтому уравнение касательной имеет вид
y y0 f x0 ,	y0 x x0 .				0
			На этой касательной возьмем точку (x1, y1 ), у которой
ордината равна		y1 y0	f x0 , y0 x1			x0 . Далее найдём число	f x1, y1 tg 1,

определяющее направление поля в точке (x1, y1 ). Взяв это число в качестве углового коэффициента, запишем уравнение прямой, проходящей через точку

x1, y1 :

y y1 f x1, y1 x x1 .

(8)

Если число x1 близко к x0 , то точка x1, y1 мало отличается от точкиx1, y1 искомой интегральной кривой, и угловой коэффициент прямой (8) ма-

ло отличается от
	f x1, y1 – углового коэффициента касательной к интеграль-
ной кривой в точке x1, y1 .
На прямой	(8) возьмем	точку с абсциссой x2 .	Её ордината равна
y2 y1 f x1, y1 x2 x1 . Далее		вычислим в точке	x2 , y2	значение

279

5354.ru

f x2 , y2 tg 2 – число, определяющее направление поля в ней, и т. д. Продолжив процесс, по формуле

yi yi 1 f xi 1, yi 1 xi xi 1 , i 1, 2, ... , n,

найдём числа y1, y2 , ... , yn 1, yn и определим точки x0 , y0 , x1, y1 , …, xn 1, yn 1 ,xn , yn . Соединив каждые две соседние точки прямолинейным отрезком, по-

лучим ломаную, которой приближенно можно заменить искомую интегральную кривую. Без доказательства отметим, что при n , когда длины всех частичных интервалов xi 1, xi i 1, ... , n стремятся к нулю, вышеуказанная

ломаная по форме стремится к искомой интегральной кривой. Изложенный здесь метод называется методом Эйлера.

§5. Дифференциальные уравнения с разделенными

иразделяющимися переменными

Возьмём соотношение

	M x dx N y dy 0,	(9)
где y x – искомая функция от x,	M x , N y – заданные непрерывные

функции аргументов соответственно x, y. Кроме того, dx – дифференциал аргумента x, dy – дифференциал искомой функции. По определению дифференциал искомой функции

dy yx' dx.

(10)

Выражение для дифференциала dy подставим в (9) и полученное соотношение поделим на dx. Будем иметь

M x N y yx 0.

(11)

Но соотношение (11) есть дифференциальное уравнение первого порядка, поэтому равносильное ему соотношение (9) также является дифференциальным уравнением первого порядка. Его называют уравнением с разделёнными переменными. Чтобы его решить, перейдем с помощью формулы (10) к соотношению (11), в котором левая часть есть функция от x, так как y есть искомая функция от x. Учитывая это, от обеих частей соотношения (11) возьмём неопределённый интеграл по x, принимая во внимание, что интеграл от левой части будет равен сумме интегралов слагаемых, поэтому

280

5354.ru