konspekt_lektsy_biblioteka_2

Полусферическую поверхность разделим меридиональными плоскостями на дольки

(на 12 частей). По высоте сферу делим на несколько частей параллелями. Возьмем одну дольку, ось которой параллельна фронтальной проекции и развернем ее в плоскую фигуру,

ось которой будет равна ¼ длиныокружности (рисунок 10.5).

Через точки 1,2,3,4 проводим перпендикуляры к оси дольки и на них откладываем от оси в обе стороны половину ширины каждой дольки измеренную на горизонтальной проек-

ции. Полная развертка составит двенадцать таких долек.
Если развертывающаяся долька начинается с экватора, то на
развертке линия экватора изобразится прямой (рисунок 10.5). Если
же долька начинается какой-то параллелью, то на развертке эта па-
раллель изобразится окружностью. Например, параллель, проходя-
щая через точку 3. Для нахождения радиуса этой окружности на
фронтальной проекции необходимо провести касательную прямую в
точке 3, к окружности до пересечения с осью сферы (S232). И при по-
строении дольки через точку 3 проводим дугу радиуса R=32S2 (рису-
нок 10.6).	Рисунок 10.6

Решение задач

Задача 1. Построить развертку усеченного прямого кругового цилиндра (рисунок

10.7а)

Рисунок 10.7

70

Развертка боковой поверхности цилиндра строится фактически методом нормально-

го сечения, т.к. основание цилиндра перпендикулярно оси. Окружность основания развер-

тывается в прямую линию равную длине окружности (πD). Можно ее построить, отложив размер хорд, соединяющих точки основания. Конечно, длина будет тем точнее, чем на большее число частей разбита окружность. Кривая сечения на развертке изобразится сину-

соидой (рисунок 10.7б) Для построения полной развертки необходимо к развертке боковой поверхности добавить основание и натуральную величину сечения.

Задача 2. Построить развертку усеченного прямого кругового конуса (рисунок

10.8а).

Так как в прямом круговом конусе все образующие одинаковой длины, развертка представляет собой сектор окружности с радиусом равным длине образующей конуса ℓ, а

длина дуги равная длине окружности основания конуса (рисунок 10.8б). Поэтому, разделив окружность основания на 12 частей и затем, отложив на дуге сектора таких же 12 частей,

получим развертку.

Рисунок 10.8

Угол α также можно определить по формуле:

α =d×180°/ L

где d – диаметр основания .

71

Лекция 11. Собственные тени поверхностей вращения

∙Тени основных геометрических форм цилиндра и конуса.

∙Тени поверхностей вращения. Способ касательных конусов и цилиндров.

∙Тени форм, применяемых в архитектурном проектировании:

-тени сферы

-тора (валика)

-тороида (скоции)

Тени основных геометрических форм – цилиндра и конуса

Мы уже рассматривали построение собственных теней простейших геометрических поверхностей – цилиндра и конуса. Для цилиндра теневые образующие определяются двумя лучевыми плоскостями касательными к поверхности цилиндра. Для конуса теневые образу-

ющие определяются после построения падающей тени на плоскость основания.

В данной лекции рассмотрены рациональные приемы определения границ собствен-

ной тени прямого кругового цилиндра (рисунок 11.1) и кругового конуса (рисунок 11.2).

Тень цилиндра может быть построена без плана, т.е.

без горизонтальной проекции, что очень удобно в архитектур-

ном проектировании. Теневые образующие проходят через точки А2, В2 отстоящие от оси цилиндра на 0,707 его радиуса

(рисунок 11.1)

Рациональный прием построения собственной тени

кругового конуса приведен на рисунке 11.2.

Для прямого конуса выполняются следующие постро-

Рисунок 11.1

ения (рисунок 11.2а). На основании конуса как на диаметре строится половина окружности. Из нижней точки окружности 1 проводится прямая 1,2 па-

раллельная левой контурной образующей конуса. Из полученной точки 2 проводится прямые под углом 45º к основанию конуса до пересечения с окружностью в точках А и В. Спроеци-

ровав точки А и В на основание конуса, определим границы собственной тени А2 S2 , В2 S2.

Для перевернутого конуса, обратного, построения аналогичны предыдущему (рисунок

11.2б). Отличаются тем, что из точки 1 проводится прямая 1,2 параллельная правой образу-

ющей конуса.

Следует обратить внимание на величину части поверхности, находящейся в собствен-

ной тени: для прямого конуса она меньше половины, для обратного – больше .

72

Рисунок 11.2

Круговые конусы с наклоном образующих под углом 45º и 35º имеют важное значе-

ние при построении собственных теней поверхностей вращения.

Построение теней конуса с углом наклона образующей 45º приведено на рисунке

11.3.

а) прямой

б) обратный

Рисунок 11.3

При построении падающей тени на плоскость основания фронтальная проекция луча совпадает на фронтальной проекции с контурной образующей конуса.

Для дальнейшего использования необходимо запомнить, что тень занимает: у прямого конуса – четверть поверхности, у обратного – три четверти поверхности.

73

Рисунок 11.4

Построение теней конуса с углом наклона образующей

35º приведено нарисунке 11.5.

На рисунке 11.4 показано построение угла 35º.

ABCD – квадрат. Строим прямоугольник со стороной рав-

ной диагонали квадрата. Диагональ этого прямоугольника накло-

нена к горизонтали под углом 35º.

Из построения тени конуса с углом наклона образующей 35º видно, что границей тени будет служить одна образующая SA (теоретически), располагающаяся на фронтальной про-

екции под углом 45º. Практически прямой конус будет полностью освещен, а обратный – весь в тени. Образующая SA называется бликовой образующей. Положение образующих – границы тени таких двух конусов надо твердо усвоить, т.к. они будут часто встречаться в по-

следующем, в качестве вспомогательных операций при построении теней.

а) прямой б) обратный

Рисунок 11.5

Тени поверхностей вращения

Способ касательных конусов и цилиндров

Построение контура собственной тени поверхностей вращения осуществляется при помощи способа касательных конусов и цилиндров. Этот способ заключается в следующем:

берется конус или цилиндр касательный к поверхности вращения (т.е. описанный или впи-

санный в данную поверхность); на окружности касания отмечаются точки границы соб-

74

ственных теней касательных поверхностей; эти точки будут принадлежать и границе соб-

ственной тени заданной поверхности на той же окружности прикосновения, т.е. на той же параллели. Используя, таким образом, несколько конусов и цилиндров, определяется необ-

ходимое количество точек контура собственной тени.

Для поверхностей второго порядка достаточно восьми точек, используя один цилиндр

(2 точки), прямой и обратный конус с образующей под углом 45º (4 точки), прямой и обрат-

ный конус с углом наклона образующей 35º (2 точки)

Рисунок 11.6

На рисунке 11.6 построения контура собственной тени выполнены следующим обра-

зом. Точки 1 и 2 получены как на цилиндре. Точки 3 и 4 найдены как на касательном конусе с углом наклона образующей 45º. Точку касания 3 точно можно определить, проведя нор-

маль (радиус) из центра дуги очерка поверхности под углом 45º.Точка 4 лежит на одной го-

ризонтали с точкой 3. Точка 5 найдена как на касательном конусе с углом наклона образую-

щей 35º.Для ее построения из центра дуги очерка поверхности проводим прямую под углом

35ºк оси поверхности вращения. Точка пересечения с очерком даст точку А – точку касания конуса с образующей под углом 35º.Проводим из точки касания эту образующую перпенди-

кулярно радиусу до пересечения с осью поверхности вращения в точке S. Из точки S прово-

дим прямую под углом 45º до пересечения с основанием конуса (горизонталь проведенная через точку А2).

75

Промежуточные точки 6 и 7 найдены на линии касания конуса произвольного угла наклона образующей. Построение выполнено аналогично рисунку 11.2а.

Тени форм, применяемых в архитектурном проектировании

Тени сферы (рисунок 11.7)

Рисунок 11.7

Собственная тень проецируется на плоскость П2 и П1 одинаковыми эллипсами. На ри-

сунке 11.7 показано построение эллипса на фронтальной проекции. Точки 1 и 2 находятся как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 – как на прямом и обратном конусе с углом образующей

45º, причем диаметр 5,3 является большой ось эллипса. Точки 7 и 8 определяются на каса-

тельном конусе с углом образующей 35º. Точки 9 и 10 строятся симметрично 7 и 8 относи-

тельно большой оси. Точки 11 и 12 принадлежат малой оси эллипса, которая перпендику-

лярна большой оси 5,3. Построение точек осуществляется следующим образом. Из точки 5

проводим дугу радиусом сферы до пересечения с контуром. Полученные точки соединяем с точкой 3. Эти прямые пересекут малую ось в точках 11 и 12.

76

Тени тора (валика) (рисунок 11.8).

Построение контура собственной тени на торе осуществляется по восьми точкам.

Рисунок 11.8

Точки 1 и 2 определяются как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 определяются как на прямом и обратном конусе с углом наклона образующей 45º. Точки 7 и 8 получены на каса-

тельном прямом и обратном конусе с углом наклона образующей 35º. Необходимо помнить,

что вершина конуса всегда лежит на оси поверхности вращения.

Тени тороида (скоции) (рисунок 11.9).

Построение контура собствен-

ной тени скоции осуществляется так-

же по восьми точкам. Только каса-

тельные конусы и цилиндр являются вписанными в данную поверхность.

Точки 1 и 2 находятся как на цилин-

дре. Точки 3 и 4, 5 и 6 как на обратном и прямом конусе, соответственно, с

углом наклона образующей 45º. Выс-

Рисунок 11.9

шая и низшая точки 7 и 8 определяют-

ся с использованием касательных конусов с углом наклона образующей под углом 35º.

77

Лекция 12. Построение падающих теней на комбинированных поверхностях вращения

Метод фронтального и биссекторного экрана

∙Метод фронтального осевого экрана.

∙Метод биссекторного экрана.

∙Тень от квадратной плиты на колону.

Метод фронтального осевого экрана

Рассмотрим построение теней на комбинированной поверхности вращения типа «Ва-

за» (рисунок 12.1). Комбинированная поверхность состоит из тора, цилиндров, сферы, ско-

ции. Для того, чтобы построить, падающие тени, прежде всего необходимо построить соб-

ственные тени, так как контур падающей тени, есть тень от контура собственной тени. По-

строение собственных теней элементов поверхности вазы были рассмотрены в предыдущей лекции №11: тор (рисунок 11.8), цилиндр (рисунок 11.1), сфера (рисунок 11.7), скоция (ри-

сунок 11.9).

Необходимо отметить некоторые закономерности контуров собственных теней:

- на линии касания двух разных поверхностей контуры собственных теней этих по-

верхностей имеют точки перелома (точки 62 и 62' на линии касания цилиндра и сферы). Ли-

ния падающей тени при этом будет плавной; - когда две соосные поверхности имеют общую линию пересечения, то контуры соб-

ственных теней не будут иметь общей точки (точки D2 и 122 на линии пересечения сферы и цилиндра).

Далее приступаем к построению падающих теней. Тень от контура собственной тени тора 12 52 42 32 22 падает на освещенную поверхность цилиндра. Для ее построения использу-

ется метод вспомогательного осевого экрана. При этом точки 12 и 22 лежат на осевом экране.

Точка 52, лежащая в лучевой плоскости, отбросит тень на ось (5t). Тень 4t и 3t от точек 42 и 32

строится методом выноса. Контур 12 5t 4t 3t 22 – контур тени падающей на фронтальный экран. Пересекая левую образующую цилиндра он дает точку А2t. На одной горизонтали с А2t

находим В2t на оси. Высшая точка падающей тени 52t определяется следующим образом.

Находится горизонталь пересечения конуса с углом образующей 35º с цилиндром. Луч про-

веденный из точки 52 под углом 45º с этой горизонталью и дает точку 52t. Точку С2t – точку исчезновения тени – определяем обратным лучом, построив тень от образующей цилиндра на фронтальный экран. При этом нужно иметь ввиду, что линия контура падающей тени в

78

точке исчезновения (С2t) должна быть касательна к проекции луча.

Рисунок 12.1

Далее строим тень, падающую от сферы на цилиндр. Тень начинается из точек E2 и

D2. Строим тень от сферы на фронтальный экран. Контур тени, пересекая образующую ци-

линдра, дает точку N2t. Точку M2t находим на оси на одной горизонтали с N2t. Точку L2t опре-

деляем обратным лучом, построив тень образующей цилиндра на фронтальный экран. Нуж-

79