троицкая, бутузува

	Освещенность проекций плоской фигуры, расположенной
под углом к плоскостям проекций, определяют, исследуя взаим-
ное расположения				световых лучей			относительно плоскости
данной фигуры.
	Тень	окружности.
Тенью от		горизонтальной				22=8232=7242=62			52
окружности на фронталь-						12	72t
							82t	62t
ной	плоскости		проекций
							12t			52t
является эллипс,			который
									22t	42t C
строится		обычно	с	помо-
щью построения тени опи-								B2t		2t
										32t
санного		квадрата.		Тень		A1	81 71	D1
описанного квадрата пред-						11		61	51
ставляет собой параллело-
грамм. Его стороны и диа-							21
гонали – это тени прямых						B1	31	C1		Рис. 13
										РисРис..1414
частного		положения.			В			Рис. 13
параллелограмм			вписыва-
ется эллипс по восьми точкам (рис. 13).
	В процессе графических построений (рис. 14) бывает необ-
ходимо строить проекции точек окружности								(точка 4), которые
лежат на диагоналях описанного квадрата (точка 3), без по-
строения самой окружности. На рис. 14, а видно, что точка 4
лежит на вертикальной прямой, которая проходит через две точ-
ки окружности, лежащие на диагонали квадрата (обозначена
одна точка 3). На рис.14, б показан тот элемент построения, ко-
торый обычно выполняется на чертежах.										сos 45o =
	При	единичном радиусе				расстояние /1 4/			=

=2 / 2 = 0,707.

Расстояние /4 2/ = 1 – 0,707 = 0,293.

Упрощенно можно считать /1 4/ : /4 2/ = 0,7: 0,3.

11

Для получение отрезка

/1 5/

= 1,4R (см. рис 14,

б) через

точку 3 проведен луч до пересечения с продолжением радиуса в

точке 5. Отрезок /1 5/ является гипотенузой равнобедренного

прямоугольного треугольника (1 3 5).

(1 5) = R2+R2 = R

2

≈ 1,4R.

3

3

90

31

31

1

4

2

45

45

R

2

4

2

1

4

1

0.7

0.3

5

0.7

0.3

R

(0.707)

(0.293)

R

1,4R

а)

б)

в)

Рис. 14

Рис. 14

Чаще используется способ, изображенный на рис. 14, в. Из

концов радиуса проводят под углом 45º прямые до пересечения

в точке 31. В полученном прямоугольном треугольнике (1 31 2)

катет /1 31/ =

2 / 2

≈ 0,7.

Проведем радиусом (1 31) дугу до

пересечения с прямой (1 2) в точке 4.

При построении теней архитектурных деталей, состоящих

12=12t

22

X

X

из

поверхностей

вращения,

часто применяется построение

32

42

52=52t

45

45

45

падающей тени на фасаде от

горизонтальной полуокружно-

A

42t

сти без применения горизон-

22t

32t

тальной проекции. На рис.

15

Рис. 15

изображена фронтальная про-

Рис. 15

екция горизонтальной полуок-

ружности, примыкающей к некоторой вертикальной плоскости.

Проводя

через точки 12 и 32 прямые под углом 45º, найдем точ-

12

ку А. (Это построение можно было бы выполнить и над задан-

ной проекцией). Затем радиусом (32А) проведем полуокруж-

ность, с помощью которой получим точки 22 и 42 (фронтальные

проекции точек окружности, лежащих на диагоналях квадрата).

Тень точки 2 находится на пересечении окружности с верти-

кальной осью (32 22t). Тень точки 4 – 42t находится на той же го-

ризонтали,

и

расстояние

2R

│22t 42t│

равно

расстоянию

32=A2=B2=A2t

│22 42│,

на чертеже

это рас-

22=42

22t

стояние

равно X+X.

X равен

55o

выносу и Y точки 4. Тени то-

1 =5

32t

=1

2t

чек 1 и 5 совпадают с самими

2

2

точками (12=12t, 52=52t). Со-

62=82

единив плавной кривой точки

82t

O2t

12t , 22t , 32t , 42t , и52t, получим поло-

C2=D2=D2t=72

4t

B2t

вину эллипса – тень от полуок-

ружности.

На рис. 16 построена тень

72t

52t

на фронтальную плоскость от

62t

профильной окружности, при-

мыкающей

к

фронтальной

C2t

плоскости в точке 1. Вначале

Рис. 16

построена тень от описанного

квадрата – параллелограмм

(A2t B2t C2t

D2t). Одна из горизон-

талей ВD дает тень по горизонтали (B2t D2t), тень второй диаго-

нали – (A2t C2t). Профильные проекции точек

2, 4, 6

и 8, лежа-

щих на диагоналях квадрата, определены делением радиуса в

отношении 0,7 : 0,3 (см. рис. 14, в). Проведенные через них

профильные проекции лучей дают тени 22t , 42t , 62t

и 82t. Затем

можно определить тени точек, лежащих на центровых линиях

окружности, – 12t, 32t, 52t и 72t.

13

1.4. ТЕНИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

412

								4	1
	1	t=	1	22	32	42			2t
							5	=52t
			2
							2
					22t			42t
							32t

	11					51
	21					41
		31				Рис. 17
					Рис.16
		Рис. 17
	821	721				1,4 D
				5	1
		6	1	2
		2
					5	1
					2t
				8	1	1
	D				2t	62t
							1
						5
							2t	1
							4
x12								2t
	82	42
	1
81=81				1
				61
	11			51=511
	21	31	41			Рис. 18

Рис. 18

14

Тень цилиндра. На рис. 17 изображен вертикальный полуцилиндр, прикрепленный срезом к вертикальной плоскости. К теням от основания добавляются тени от цилиндрической поверхности. Световой луч, который проходит через точку 2 (бликовая точка), показывает положение блика на цилиндре. Лучевая плоскость, проходящая через точку 4, касается цилиндра по образующей (4 41), которая является границей собственной тени. Тень от нее на фронтальную плоскость

(42t 42t1) является касательной к теням от оснований цилиндра и отстоит от осевой линии полуцилиндра на расстояние, равное

1,4R.

Цилиндр на рис. 18 стоит на горизонтальной плоскости проекций. Крайние лучевые плоскости касаются образующих (4 41) и

(8 81), которые являются границами собственной тени, 4-41 – ви-
димая, 8-81		– невидимая. На горизонтальной проекции видно,
что	верхняя	граница			собственной		тени	проходит по			дуге
(41 51 61 71 81). Строим тень окружности на фронтальную плос-
кость (кривая 42t1 52t1 62t1 72t1 82t1). Тени от вертикальных обра-
зующих на горизонтальную плоскость совпадают с направлени-
ем	горизонтальных проекций луча. На фронтальной плоскости
проекций тени располагаются вертикально.									Ширина тени при
этом равна 1,4 диаметра цилиндра.
	Тени конуса. Тени конуса легче								S2
всего начинать строить с падающих
теней (рис.		19). Для			этого	вначале				N2
строим тень от вершины конуса -
									12
точка S1t. Затем через построенную							X12	22
тень вершины проводим касательные									O2		S1t
к основанию конуса. Для точного
построения		точек		касания		строим		21		N1
окружность на			отрезке (О1			S1t), как
на	диаметре.		Для		этого	вначале		S1= O1
отрезок делим пополам точкой N1.										11
Известно, что плоский прямой угол										Рис.18
опирается на диаметр окружности.									Рис. 19
Построенная окружность пересекает основание конуса в точках 11
и 21. Углы О1 11 S1t				и	O1 21 S1t – прямые. Отрезки (S1t 11) и(S1t 21)
являются контуром падающей тени, а							образующие S 1 и S 2 –
границы собственной тени. На фронтальной проекции
образующая (S1) видима, а (S2) – невидима. Границы
собственной тени конуса используют для построения
собственных теней на сложных телах вращения.
	На рис. 20, а рассмотрен способ построения собственных
теней на фронтальной проекции вертикального										конуса	без
иcпользования горизонтальной проекции. Вначале строим полу-

15

окружность с центром в точке О2 диаметром, равным основанию

конуса (аналог горизонтальной проекции).

Затем через вершину

и центр основания проводим под

углами 45º две линии

до

S2

1

пересечения

в точке

12

O2

22

С2 (середина

прове-

5

4

денного из вершины

45

2

C2

2

луча, см. точка N на

рис. 19). Из точки С2,

45

C2

как из центра,

про-

водим дугу радиусом

4

5

22

12

(С2 О2) – (проекция

O2

1

S2

сферы) до пересече-

а)

а

Рис. 20

б)

б

ния с первой окруж-

Рис. 20

ностью в точках 1 и

2. Точки 1 и 2 - вер-

шины прямых углов, опирающихся на диаметр построенной

сферы.

Из них проводим вертикальные линии до пересечения с

основанием конуса и получаем точки 12 и 22, которые являются

началом образующих (S2 12)

и (S2 22). На рис. 20, б изображена

фронтальная проекция конуса вершиной вниз. Построение

ана-

логичное, но повернуто на 180º.

На рис. 21 показан еще один способ построения собствен-

S 2

ных

теней для фронтальной проекции

вертикального конуса. Вначале из

цен-

тра

О2

проведена

окружность,

равная

2

диаметру основания конуса. Затем через

нижнюю точку окружности проведена

1 2

касательная

прямая до пересечения с

2 2

O 2

продолжением правой очерковой обра-

1

зующей в точке А. Через точку А прове-

5

A

дена

под

углом 45º прямая, которая

4

Рис. 21

пересекает окружность вточках 1 и 2. Из

Рис.20

16

точек 1 и 2 проведены вертикальные прямые до пересечения с основанием конуса в точках 12 и 22. (S2 12) – видимая граница собственной тени, а (S2 22) – невидимая.

Особый интерес представляют конусы с углами наклона образующих 45º и 35º. На рис. 22, а показаны конусы (прямой – вер-

шиной вверх и обратный				32	42			22
– вершиной вниз)			с уг-	A			A
лом	45º в	основании.			S2		Б	5	Б
									S
								3	2
Границы собственной и					22	12
				5
				4
падающей теней (на го-				A-A	21	St	Б-Б		11 St
ризонтальную			плос-
кость) создают квадрат				3		1			S1
со стороной,		равной ра-		1	S1	1
								21
диусу основания конуса.
					а41				бб)
Освещены три четверти							Рис. 22
поверхности,		в	тени	а)
							Рис. 22
находится		одна	чет-
верть	(1 S 2). Видимая точка собственной тени 1 лежит на пра-

вой образующей (фронтальном очерке конуса), невидимая точка – 2 – на задней образующей. У обратного конуса освещена одна передняя левая четверть 3 S 4, а три остальные четверти расположены в тени. Ввиду того что точки собственных теней лежат на очерковых образующих, вспомогательные касатель-

ные конусы с углом наклона 45º применяются для нахождения точек тени, лежащих на очерке поверхности вращения.

На рис. 22, б прямой конус с углом 35º освещен полностью, а обратный весь в тени. По построению видно, что тень отвершины лежит на основании конуса 11 = St, следовательно, каса-

тельные к основанию вырождаются в точку. Световой	луч сов-
падает с образующей (S 1) и является теоретической	линией

собственной тени прямого конуса, а образующая обратного конуса (S 2) – теоретической линией света. Теоретическая линия

17

тени прямого конуса лежит на невидимой стороне конуса. Тео-

ретическая линия света обратного конуса лежит на левой види-

мой стороне.

Конус

с меньшим углом наклона уже не имеет

даже теоретических границ, он освещен полностью. При исполь-

зовании касательных конусов с углом наклона 35º находят выс-

шую и низшую точки собственной тени.

S4

Тень сферы. Обёр-

x

o

h

0

тывающий лучевой ци-

5

2

3

4

4

O4

0

C

D

линдр

касается

сферы

,

5

4

4

7

d

14t

o

K

по окружности.

Значит,

35

A2

для построения

собст-

S2

C2

венной

тени

необхо-

12t

O2

34t =44t

f

0

h2

o

димо построить

проек-

2

5

3

D

42t

ции этой окружности на

x12

45o

B2

2

24t

45o

чертеже,

т.е. эллипс. На

d

32t

рис. 23

показаны гори-

O1

22t

зонтальная и фронталь-

S1

d

ная проекции

сферы.

h10

h1

Окружность, по которой

обертывающий

лучевой

Рис. 23

цилиндр

касается сфе-

ры, можно получить как результат пересечения сферы плоско-

стью, проходящей через центр

и

перпендикулярной лучу. За-

менимплоскость π1 на π4, параллельную лучу. Проекция луча S4

показывает действительное направление луча к плоскости про-

екций – 35º. (C4 D4) – проекция окружности, которая спроеци-

ровалась в линию, перпендикулярную лучу. На фронтальной

проекции эллипс построен по двум осям. Большая ось (А2 В2)

равна диаметру

d и является фронталью плоскости,

проходя-

щей

через центр перпендикулярно лучу. Малая

ось

(С2 D2) =

= cos 55о d =

0,57d. Видимая часть собственной тени лежит ни-

же участка

эллипса (А2 D2 B2). Горизонтальная проекция собст-

18

венной тени будет таким же эллипсом, но большая ось его будет горизонталью той же плоскости, а малая совпадет с горизонтальной проекцией луча.

Падающая тень в системе π1/π4 изображается отрезком |14t 24t|. Из прямоугольного треугольника (14t K 24t) заключаем, что |14t 24t | = d : sin350 = 1,7d. Этот отрезок равен большой оси эллипса на горизонтальной проекции, малая ось которого равна диаметру d. При построении тени на горизонтальную плоскость получим аналогичный эллипс, большая ось которого совпадает с направлением горизонтальной проекции луча, а малая – с горизонтальной проекцией горизонтали.

Построение теней полусферы по одной проекции показано на рис. 24. Полусфера радиуса R примыкает к фронтальной плоскости. Для построения границы собственной тени через центр окружности перпендикулярно направлению луча проведена большая ось эллипса (12 22). Теперь построим равносто-

ронний треугольник (12 С Е). Сторона (СЕ) = R 3 = 1,73R ≈ ≈ 1,7R. Проведенная через центр О2 линия (72 82), пересекаясь со сторонами треугольника, определяет малую ось эллипса.

(72 82) = 2/3 · (С Е) = 1,7R · 2/3 ≈ 1,13R ≈ 0,57d.

Малая ось эллипса падающей тени совпадает с большой осью собственной тени (12 22).

Для построения большой оси проведем из точек 12 и 22 дуги радиусом, равным диаметру сферы d, до пересечения в точке 72t. Получим равносторонний треугольник (12 22 72t), высота которого

	82		12
			1
	0		,
E			7
	5		R
	,
	7
	d	O2
	R
1		7	2
,
7			Dd
R

22

C

Рис. 24. 72t

Рис. 24

19

(О2 72t) является большой полуосью. Из тригонометрической

формулы (h = a/2					3 ) определим			высоту этого треугольника.
│О2	7 │ = d/2 ·				= R	3 ≈1,7R. 7		– теньточки 7 (72).
	2t			√312=12t		01	2t	Из построений видно, что
	82						точка 72 делит отрезок │82 72t│
							пополам. Это позволяет упро-
							стить построение, заменив эл-
							липс овалом (рис. 25).
	2 =2	2t		R	72			На отрезке (72 72t), как на
	2						диаметре, построим окружность
						B
	0						(достаточно построить четверть
	2					0	окружности (А 72t В).		Продол-
	Рис.25					72t
							жим вертикальную и		горизон-
Рис. 25			Рис. 25			A
							тальную центровые линии до

пересечения с малой осью овала в точках 12 и 22, которые будут центрами больших дуг.

1.5. С П О С О Б Ы П О С Т Р О Е Н И Я Т Е Н Е Й

		A
		12			B
32
	4	2
22
			1	2t
			22t
	Лучевая			α
	плоскость				1
				π

Для построения теней на сложных объектах применяются различные способы: лучевых сечений, касательных поверхностей, выноса, зеркального луча, обратных лучей, вспомогательных плоскостейпосредников. Выбор способа зависит от формы и положения объекта. Выбранный

Aспособ должен давать наиболее быстрое и точное построение с минимальным коли-

	11 41	B
3	21
	1

Рис. 26

чеством графических операций. В практической работе перечисленные способы обычно применяют комбинированно.

20