троицкая, бутузува

угол α равен 45º, линия тени имеет общую точку с очерком
(рис. 47, б); если угол α больше 45º, линия тени одна и не дохо-
дит до очерка (рис. 47, в).
Характер		контура	собственной		α
тени на	скоции зависит		от угла на-			m2
клона касательной, проведенной через				а)	α<45	t2
кромку скоции.		Если угол α больше				α
45º, то контур собственной тени не
				б)		m2
доходит	до	оси	поверхности		α=45	t2
(рис. 48, а); если α равен 45º – то кон-						α
тур собственной тени начинается с
точки 12t, принадлежащей оси скоции				в)		m2
					α>45
(рис. 48, б). Скоция с углом наклона						t2
касательной к очерку, проведенной
через верхнюю кромку, равном 35º,						Рис. 47
называется предельной. У предельной
скоции контур собственной тени касается кромки в точке 22t
(рис. 48, в). Кромка предельной скоции не образует падающей
тени. Но если α меньше 35º, то кромка скоции образует падаю-
щую тень (рис. 48, г).

α>45

α=45 12t

22t α=35

α<35

а)

б)

в)

г)

β 12t

>45

22t	β=35	32t
β=45		42t	β<35

д)	е)	ж)	з)
		Рис. 48

41

	На поверхностях обратного профиля контур собственной
	тени не доходит до очерка, если угол в точке перегиба β больше
	45º (рис. 48, д). Если угол β равен 45º, то контур собственной
	тени имеет точку возврата первого рода 12t на оси поверхности
	вращения (рис. 48, е). Если угол в точке перегиба β равен 35º, то
	контур собственной тени распадается на две части, которые со-
	прикасаются в точке 22t (рис. 48, ж); а если β меньше 35º, то по-
	является падающая тень, представляющая собой две раздельные
	кривые, имеющие высшую и низшую точки в точках 32t, 42t
	(рис. 48, з).
	Тени элементов колонн. Рассмотрим			подробнее построе-
	ние типовых элементов колонн.
	45o	Конический переход между цилиндрами
		разного диаметра (рис. 49). Точки 1 и 2 опре-
	3
		деляют границы собственных теней цилинд-
	2	рических участков. Граница тени на конусе с
	Рис. 49	углом наклона 45º – точка 3 – лежит на правой
		очерковой	образующей	(см. рис. 22, а). Если
	I		угол	наклона образующих
			конуса увеличивать, справа
	A	3
			появится участок собствен-
	45o
	55o B		ной тени конуса. Но общих
		S1	точек с границами тени на
		S2	цилиндре не будет.
	Рис. 50		Выкружка прямая. На
			рис. 50 показано начало
	построения собственной и падающей тени выкружки. Точка 1
	лежит на касательной образующей вспомогательного конуса с
	углом наклона 45º, т.е. на очерке поверхности. Для точности
	точка 1 найдена с помощью радиуса, проведенного под углом
	45º. На той же параллели находится и точка 3.

42

Рассмотрим подробнее построение верхних точек собст-
венной и падающей теней. Собственную тень построим спосо-
бом касательных поверхностей. Проведем вспомогательный ко-
нус вершиной вниз с углом 35º, касательный к образующей тора
на уровне точки А. Вершина конуса – точка S1. Теоретически
светлая левая образующая с углом наклона 45º к основанию ко-
нуса определяет верхнюю точку собственной тени тора – точ-
ку 2.	Падающая тень образуется от нижнего основания цилинд-
ра. Через него проводим обратный конус с углом 35º в основа-
нии. Построена только левая образующая (I S2). Конус пересека-
ется с поверхностью тора по параллели, проходящей через точ-
ку В.	Проведя через вершину S2		светлую образующую под уг-
лом 45º, найдем верхнюю точку падающей тени – точку 6.
На рис. 51 показано по-
строение падающей тени от					K
нижнего основания выкруж-
ки на колонну с использова-			10	O	4
нием	биссекторного	экрана,	9	11
проведенного через ось. Тень			E		D
от окружности определяется
				S	12
радиусом ОК. Затем опреде-
ляем тень на экран от опор-				Рис. 51	Р
ных	образующих цилиндра.
Тень	от левой образующей
падает на средний радиус, где, пересекаясь с окружностью, дает
точку Е. Обратным лучом найдена точка 9 на левой образую-
щей. Тень от бликовой образующей проецируется на середину,
где на пересечении с окружностью получается точка S, и обрат-
ный луч показывает, что это тень от точки 10. Если продолжить
луч дальше, увидим точку на нижнем основании, конкурирую-
щую с точкой 10. На место среднего правого радиуса на бис-
секторной плоскости		попадает тень от передней (профильной)
		43

образующей, и обратным лучом – от левой образующей. Нахо-

дим

там точку D, затем по направлению лучей точки 11 и 12.

Точка 4 лежит на окружности радиуса (ОК). Соединив точки 9,

10, 11 и 12 плавной кривой, получим падающую тень.

I

T

На рис. 52 спо-

M

T

V

собом

обратных

35

o

45o

45o

лучей

построены

VI

8

4

X

точки 8

и 13.

Для

этого

вначале

по-

II

IX

IV

строены

падающие

VII

K

тени

от

оснований

R

VIII N

III

выкружки

и

ци-

O

P

линдрической

ко-

Рис. 52

Ри

лонны. От верхнего

основания

спосо-

бом выноса построен полуэллипс (I II III IV V). Точки I

и V тени

совпадают с крайними точками окружности. Затем из точки I

проведена очерковая образующая конуса с углом 35º

с верши-

ной в точке II.

На том же уровне лежит точка IV

от теневой

точки окружности Т. Она построена по выносу M. Тень от точ-

ки М, лежащей на профильной образующей,

определена по

выносу |MV|, равному радиусу. Так же построена тень от ниж-

ней окружности выкружки – полуэллипс (VI VII VIII IX X).

Из точки пересечения проведена вертикальная прямая, ко-

торая и является границей собственной тени цилиндра. Луч,

проведенный из той же точки до пересечения с основанием, по-

кажет начало падающей тени колонны. Тени от верхней и ниж-

ней окружностей пересеклись в точке К. Обратным лучом полу-

чим точку 8, где кончается линия падающей тени от верхнего

основания на поверхность тора. В точке N пересеклись тени от

цилиндра и нижней окружности. Проводим обратный луч и на-

ходим точку 13, где кончается падающая тень от нижнего осно-

44

вания на колонну. Начинается она в точке 5, где тень от верхней окружности пересеклась с левым очерком изображенной фигуры. На рис. 53 показано готовое изображение.

I

M

T

V

A

2

3

F

1

B

6

55

7

5

8

X

45

VI

4

C 9

10

S1=11

13

S2=II

IV

E

D

IX

S3=VII

K

12

VIII

N

III

Рис. 53

Выкружка обратная (рис. 54).

S

В точке 1 кончается граница соб-

ственной

тени

цилиндрической

5

части и начинается линия собст-

4

венной

тени

торового

участка.

2

Точка 1

не

является

точкой со-

2

O

R

45

пряжения для этих линий. Закан-

чивается граница собственной те-

1

45

ни в точке 3,

которая найдена

с

1

O

2

3

помощью касательного

конуса

с

1

R

O

4

углом 45º. Для точности построена

45 A

C

промежуточная точка 2. Для этого

Рис. 54

B

построен

вспомогательный

каса-

R

тельный конус с вершиной S. Ос-

Рис. 54

нование конуса – параллель на уровне точки 2. Граница падаю-

щей тени от цилиндра на тор тоже начинается в точке 1. Для

построения точки 4 построена окружность радиуса R. Через точ-

45

ку В проведена касательная под углом 45º до точки С. (На плане
это соответствует точке пересечения луча с горизонтальной
проекцией очерковой образующей тора). Проведем из точки С
вертикальную линию, получим точку 4 на границе видимости.
Соединяем точки 1 и 4 плавной кривой. В точке 1 кривая каса-
ется прямой, собственной тени цилиндра.
Тень тороида (скоции). На рис. 55 скоция примыкает мери-
диональной поверхностью к некоторой фронтальной плоскости.
						Собственная тень
45o	2					построена как на
35o					V	полной	фигуре.
I A		3
						Точки 1 и 3 най-
C 9	10		11			дены с помощью
		1
O	8	3 S				обратного конуса
		S=II		13	IV	с углом 45º, каса-
						тельного	к	по-
		7			B	верхности торои-
				6		да, точки 5 и 7 –
						с помощью		пря-
					45o
						мого. Верхняя и
	Рис. 55					нижняя	точки
						определены		с
использованиемконусов с углом 35º. Левый очерк касается								об-
разующей конуса в точке А. Через нее проходит общая парал-
лель тороида и конуса. Через вершину конуса						S1 проведена об-
разующая под углом 45º до пересечения с этой параллелью в
точке 2. Точки 4 и 8 построены с использованием касательного
цилиндра, проведенного через горло тороида. Для построения
точки 9 падающей тени использован обратный конус с углом
45º, основание которого совпадает с верхним основанием фигу-
ры. Через точку I проведена под углом 45º линия до пересечения
с очерком в точке 9. На том же уровне на профильном очерке
лежит точка 11. Далее на верхнем основании фигуры построен

46

обратный конус с углом 35º с вершиной S3. Левая образующая
дала точку С. На параллели, проведенной через точку С, с по-
мощью луча, проведенного под углом 45º из вершины S3, найде-
на верхняя точка падающей тени –10. Для нахождения точки 12
удобнее вначале построить падающую тень от верхнего основа-
ния на фронтальную плоскость – полуэллипс							(I II III IV V). Эта
кривая пересекается с очерком фигуры в точке 12. Соединив
точки 9, 10, 11 и 12 плавной кривой, получим контур падающей
тени. В точке 14 он пересекается с контуром собственной тени.
Значит, участок собственной тени (14						5) будет давать падаю-
щую тень. Для ее построения через точку 14 проведем световой
луч до пересечения с тенью от верхнего основания в точке 13.
Точки 5 и 13 соединим плавной кривой. Тень от нижнего осно-
вания строится аналогично.
Тень от валика на цилиндр.				На рис. 56 половина изобра-
женной фигуры примыкает к фронтальной плоскости.
Вначале	строим собст-						X	X
венную тень валика. Точки 1,								5=5t=V
3 и 5 построены при помощи
							4
касательных конусов с углом
			I=1=1t 2			3
45º, точка 2 – конуса с углом
			A
35º, точка3 – цилиндра.			B	7	2	o			o
					t	5 8	6		5
Затем	построим	па-			35o	4		4
									IV
дающую тень от валика на						II
								VI
фронтальную	плоскость	–				O
							R	III D
это тень от	построенной				РисPuc.45. 56			45o
кривой (1 2 3 4 5). Тень от						Р	C
нижней точки 2 попадает на						Рис. 56
переднюю	(профильную)
образующую. Ее проекция лежит на оси – точка II. Тень от точ-
ки 3 – III построена по выносу, который равен половине радиуса
параллели на уровне точки 3. Тень от точки 4 построена по выно-
су X. Тени отточек 1 и 5 совпадают с самими точками 1 = I, 5 = V.
			47

Треугольник OCD с дугой окружности можно рассматривать как план цилиндра, где CD – проекция светового луча. В последнюю очередь построена падающая тень от валика на цилиндр. Точка 7 лежит на пересечении падающей тени валика с левой образующей цилиндра. На той же параллели на профильном очерке лежит точка 8 (совпадает с осью). Точка 6 лежит на обратном луче из точки VI пересечения падающих теней цилиндра и валика. Тень от точки 2 – 2t построена с помощью того же вспомогательного обратного конуса с углом наклона 35º, что и сама точка 2. Основание конуса – параллель на уровне точки А. На ней лежит точка 2. Линия пересечения конуса с колонной – параллель на уровне точки В, на ней лежит точка 2t.

Тени схематизированной капители (рис. 57). Для построе-

ния теней капители использованы способы касательных конусов, вспомогательных экранов и обратных лучей. Собственные тени построены так же, как на рис. 56.

(1 2 3 4) – собственная тень эхина. На полуцилиндрическую колонну могут попасть тени от квадратной плиты и эхина. Построим вначале тень от валика. Для этого построена мнимая тень на биссекторную плоскость – от линии (1 2 3 4) – кривая (N F S G 4) и от характерных образующих цилиндра. Полученные линии пересеклись в точках M, S и N.

Проведем теперь обратные лучи на характерные образующие цилиндра и получим точки 5, 6, 7 и 8. Соединив их плавной кривой, получим тень от валика на цилиндр. В точке 9 кривая пересеклась с границей собственной тени цилиндра (точка исчезновения тени). Затем построена тень от квадратной плиты на цилиндр – окружность радиуса R с центром в точке D. Эта окружность пересеклась с тенью от валика в точке 10. Слева тень ограничена лучевой плоскостью, проходящей через точку С, на которой лежат точки 14 (пересечение с тенью от передней грани) и 15 (пересечение с тенью от эхина). Таким образом, граница падающей тени на колонне является составной частью теней разных линий (5, 15, 14, 10, 7, 9).

48

Для построения падающей тени от плиты на эхин построим мнимую тень от плиты на горизонтально-проецирующую биссекторную плоскость. Это квадрат с диагоналями, которые равны стороне квадрата (CDE). С тенью от валика на ту же плоскость он пересекается в точках Н и K. С помощью обратных лучей определяются точки 11 и 13. Точка 12 симметрична точке 13. Точка 14 лежит на одной параллели с точкой L на профильной образующей (на обратном конусе с углом 45º). Соединим плавной кривой точки 11, 12, 14, 13 и получим участок падающей тени передней кромки плиты.

C	55o	Z
	N O		E
L		14
	O1
I=1A
	6
	B 5	К
	F	G	IV
		O2
	M	N 9
		H
	R	D	VI
		V	III
			Ри
		Рис. 57

Тень от плиты построена способом выноса. Точка 13 получается обратным лучом из точки VI. Точка 12 симметрична ей. Так же можно найти точку 9. Для этого проведен обратный луч из точки V, в которой пересекаются тени от цилиндра и валика. Падающая тень от конструкции ограничена участками теней от разных элементов. Определитьихможнотакжеспомощьюобратныхлучей.

49

Р А З Д Е Л 2

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ РАВНОЙ ОСВЕЩЕННОСТИ

2.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Изображение светотени включает не только построение контуров собственной и падающей тени, но и выявление и передачу градаций освещенности как в освещенных частях объекта, так и в зоне собственной и падающей тени с учетом физических закономерностей и «воздушной» перспективы.

Степень освещенности поверхности предмета зависит от интенсивности света, величины угла падения лучей света, фактуры поверхности, ее окраски и других факторов.

При параллельных лучах света освещенность в данной точке поверхности прямо пропорциональна косинусу угла наклона луча к

нормали поверхности в этой точке

(рис. 58). При α = 0о освещенность

1

максимальная; при α = 90о – мини-

N

мальная.

α

При распределении светотени

на поверхностях и геометрических 0

C

телах можно установить линии, где

Рис. 58

лучи света падают под одинаковым

углом; такие линии называются линиями равной освещенности, или изофотами. Изофоты проходят через точки поверхности, нормали которых расположены под одинаковыми углами к направлению лучей. Они разделяют тональные зоны на поверхности и представляют собой основу правильного тонового изо-

50