Закон сохранения и превращения энергии

при любых физических взаимодействиях энергия превращается из одной формы в другую.

Иногда угол между силой трения F_tr и элементарным перемещением Δr равен нулю и работа силы трения положительна:

 Atr=Ftr⋅s12 ,

Пример 1. Пусть, внешняя сила F действует на брусок В, который может скользить по тележке D (рис. 5). Если тележка перемещается вправо, то работа силы трения скольжения F_tr2, действующей на тележку со стороны бруска, положительна:

Рис. 5

Пример 2. При качении колеса его сила трения качения направлена вдоль движения, так как точка соприкосновения колеса с горизонтальной поверхностью двигается в направлении, противоположном направлению движения колеса, и работа силы трения положительна (рис. 6):

Рис. 6

13) Кинет. Энерг. Системы материальных точек. Теорема о кинет. Энергии. Кинетическая энергия

Напишем уравнение движения материальной точки (частицы) массы m, движущейся под действием сил, результирующая которых равна :.

Умножим скалярно правую и левую часть этого равенства на элементарное перемещение точки, тогда

. (1)

Так как , то легко показать, чтоИспользуя последнее равенство и то обстоятельство, что масса материальной точки постоянная величина, преобразуем (1) к виду.

Проинтегрировав части этого равенства вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2, имеем:

.

Согласно определению первообразной и формуле (4.3) для работы переменной силы, получим соотношение: .

Величина

 (2)

называется кинетической энергией материальной точки.

Таким образом мы приходим к формуле

, (3)

из которой следует, что работа результирующей всех сил, действующих на материальную точку, расходуется на приращение кинетической энергии этой частицы.

Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить: .

Напишем соотношение (3) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получим формулу, аналогичную (3), но для системы материальных точек.

, (4)

где и- кинетические энергии системы, а поднеобходимо понимать сумму работ всех сил, действующих на материальные точки системы.

Таким образом мы доказали теорему (4): работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.

Теорема о кинетической энергии

A=Ek2−Ek1 . (3)

работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Так как изменение кинетической энергии равно работе силы (3), кинетическая энергия тела выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.

Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ, то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:

 A=Ek2−Ek1=m⋅υ22−0=m⋅υ22 . (4)

Теорема о кинетической энергии.

 

Пусть в выбранной ИСО частица массы m движется под действием силы F. определим элементарную работу силы на элементарное перемещение частицы dr. Учитывая, что

 

,                                               (7.1)

 

Получим

 

.                                          (7.2)

 

Так как проекция вектора на направлениеравна приращению модуля вектора скорости, то

 

.                                            (7.3)

 

Элементарная работа равнодействующей силы равна приращению величины

 

,                                                       (7.4)

 

которая называется кинетической энергией. Значит, работа равнодействующей силы на элементарное перемещение частицы ведет к приращению ее кинетической энергии (теорема о кинетической энергии):

 

.                                                       (7.5)

 

В случае конечного перемещения частицы, будем иметь

 

,                                                      (7.6)

 

то есть работа равнодействующей силы, действующей на частицу, независимо от природы этой силы, равна приращению кинетической энергии частицы. Если работа положительна, то кинетическая энергия частицы возрастает. Силы сопротивления уменьшают кинетическую энергию частицы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n частиц, которые имеют кинетические энергии . Согласно (7.5), приращение кинетической энергииi-той частицы равно работе равнодействующей силы, действующей на эту частицу: . Полная работа сил, действующих на систему, будет

 

,                                  (7.7)

 

где величина

 

                                               (7.8)

 

есть сумма кинетических энергий составляющих систему частиц, и называется кинетической энергией системы. Следовательно, кинетическая энергия – величина аддитивная.

Полученный результат (7.8) – полная работа сил, действующих в системе, равна приращению ее кинетической энергии – известна как теорема о кинетической энергии.

Так как кинетическая энергия – квадратичная функция скорости, то ее значение зависит от выбранной системы отсчета. Получим закон преобразования кинетической энергии при переходе от одной системы отсчета к другой. Для этого рассмотрим кинетическую энергию системы в ИСО К и :

 

.                                    (7.9)

 

Если движется относительно К со скоростью u , то согласно преобразованиям Галилеяv_i = v_i^´+ u, так что

 

                             (7.10)

 

Здесь – полная масса системы, а– полный импульс в, который можно представить через скорость центра инерции:

 

.                                    (7.11)

 

Если центр инерции системы в неподвижен, т.е.является С системой (движется со скоростью), то в этом случаеи из (7.11) получим

 

.                                                (7.12)

 

Это теорема Кенига. Первый член правой части (7.12) – это кинетическая энергия в С системе. Значит, (7.12) представляет собой формулу перехода из лабораторной СО в систему С, а (7.11) – из К в произвольную систему .