§ 6.4. Частотный метод синтеза корректирующих устройств

Наиболее распространен частотный метод синтеза корректирующих устройств с помощью логарифмических частотных характеристик. Он проводится следующим образом. Строится желаемая логарифмическая амплитуд­ная частотная характеристика, исходя из требуемой точ­ности системы и требуемого качества переходного про­цесса. Эта желаемая характеристика сравнивается с той, которую данная система имеет без коррекции. Определя­ется передаточная функция корректирующего устройства так, чтобы при его включении в систему, в последней получилась бы желаемая форма логарифмической ампли­тудной характеристики. Затем строится фазовая частот­ная характеристика и оценивается получающаяся при этом величина запаса устойчивости системы и другие качественные показатели.

Рассмотрим формирование желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики, исходя из задан­ных требований к системе по точности и качеству пере­ходного процесса.

Требования точности системы.

Они формулируются по-разному.

1. Пусть даны «рабочие» частота ω_р и амплитуда a_p, т. е. основные значения частоты и амплитуды задающего воздействия g(t), которые будут иметь место при работе данной системы; задана также допустимая ошибка A_ε = ε_доп (амплитуда ошибки).

Для области низких частот, где |W( jω)| >> 1 можно записать

Следовательно, аналогично формуле (3.24) здесь мож­но записать

2. Пусть даны требуемые характеристики задающего воздействия: и , а также ε_{доп .}

Для использования частотных характеристик полагаем

где индексом р обозначены «рабочие» амплитуды и ча­стота, при которых будут иметь место заданные скорость и ускорение .

Тогда, пользуясь формулами (3.23), вычисляем

Заметим, что если g(t) является угловой величиной, то обычно пользуются следующими обозначениями:

Тогда вычисляются

и желаемое значение |W(jω_p)| — по формуле (6.17).

3. Пусть в астатической системе требуется обеспечить слежение за сигналом g =

Имеем выражения

Коэффициенты ошибок

Установившаяся ошибка представляется в виде

или в других обозначениях

Отсюда находим желаемое значение

По этим данным, отражающим требования точности системы, строим низкочастотную часть желаемой лога­рифмической амплитудной частотной характеристики, как показано на рис. 6.15.

Начальный наклон характе­ристики —20 дБ/дек (астатизм 1-го порядка). Точка излома и дальнейший наклон пока еще не определены.

Требования качества пе­реходного процесса.

Пусть заданы допустимое перерегулирование σ и время зату­хания переходного процесса t_п.

Воспользуемся графиком рис. 6.16, взятым из § 5.2.

По этому графику, отложив заданную величину σ (на­пример, 20%), определяем величину t_п (как показано стрелками на рис. 6.16), например

Но поскольку желаемое значение t_п нам задано, то можно вычислить необходимую частоту среза

Наносим найденное значение ω_с на график искомой желаемой ЛАХ (рис. 6.17) и проводим через точку ω_с прямую с наклоном —20 дБ/дек. Это реко­мендуется (см. § 5.2) для обеспечения хоро­шего качества переход­ного процесса.

Затем из предыдуще­го расчета берем низко­частотную часть харак­теристики и указанные части характеристики сопрягаем наклонной прямой с наклоном

—40 или —60 дБ/дек (рис. 6.17), как удоб­нее.

Высокочастотная часть заметной роли не играет. Поэтому ее берем такой, какая в данной системе имеется. Проверяем наличие не­обходимого запаса устойчивости по амплитуде ΔLm и по фазе Δφ (рис. 6.17).

Рассмотрим сначала синтез последовательного коррек­тирующего устройства, а затем параллельного.

Задана передаточная функция разомкнутой цепи си­стемы без коррекции W₀(s) (рис. 6.18). Соответствую­щая ей частотная характеристика отличается от желае­мой. Введем последовательное корректирующее устрой­ство с искомой передаточной функцией k_пП(s) (рис. 6.18).

Согласно описанной выше методике, строим желае­мую логарифмическую амплитудную частотную характе­ристику (рис. 6.17). Пусть коэффициент усиления же­лаемой системы K_ж. отличается от имеющегося К₀. Тогда нужно поднять характеристику W₀(jω) (рис. 6.19) так, чтобы на ней получился желаемый коэффициент усиления. Получаем новую характеристику

Расстояние между w₀^` и W₀ по вертикали в логариф­мическом масштабе и дает нам искомую величину

20 1gk_п , т. е. искомый коэффициент усиления корректи­рующего устройства

Теперь надо найти передаточную функцию корректи­рующего устройства П(s). Для этого совмещаем на один

график логарифмические амплитудные частотные харак­теристики для W_ж и W₀^`. Они отличаются на участке от точки 1/T₁ до точки 1/Т₄ (рис. 6.20).

Поскольку требуется

то можно записать (после подстановки s = jω) следую­щее:

Следовательно, чтобы найти характеристику Lm(ω) для П(s), нужно вычесть характеристику Lm(ω) для

w₀^` из W_ж . Результат вычитания показан штрих пунктирной линией на рис. 6.20. Отсюда очевидна искомая пере­даточная функция последовательного корректирующего устройства

В заключение нужно построить фазовую характери­стику φ(ω) для W_ж и оценить запасы устойчивости (рис. 6.20).

По найденной передаточной функции можно соста­вить электрическую схему корректирующего устройства (см., например, [45]).

Перейдем к синтезу параллельного корректирующего устройства в виде дополнитель­ной обратной связи.

Задана передаточная функ­ция разомкнутой цепи W₀(s). Требуется ввести корректирую­щую обратную связь Z(s) так, чтобы система в целом (рис. 6.21) обладала желаемой частотной ха­рактеристикой.

Передаточная функция разомкнутой цепи с коррек­цией равна

Чтобы избавиться от суммы под знаком логарифма, запишем приближенно

Построим заданную логарифмическую характеристи­ку W₀ с желаемым коэффициентом усиления и желае­мую характеристику W_ж (рис. 6.22).

В качестве искомой характеристики 1/Z примем ха­рактеристику, обозначенную на рис. 6.22 точечным пунк­тиром и совпадающую в средней части с W_ж. Вычтем 1/Z из характеристики W₀. Получим

Этот результат показан на рис. 6.22 штрих пунктирной линией. Из графика видно, что на участке CD характе­ристика |ZW₀| > 1, а до точки С и после точки D харак­теристика |ZW₀|<1, так как ось абсцисс соответствует значению амплитуды, равному 1 (20 1gA = 0).

Следовательно, при принятом очертании искомой ха­рактеристики 1/Z удовлетворяются написанные выше приближенные равенства (6.23).

Таким образом, найдено параллельное корректирую­щее устройство в виде обратной связи, которое создает для системы в целом близкую к желаемой частотную ха­рактеристику. Согласно рис. 6.22 логарифмическая ха­рактеристика Z получит вид, представленный на рис. 6.23, что соответствует следующей передаточной функции ис­комой корректирующей обратной связи:

Это есть инерционная гибкая обратная связь с двой­ным дифференцированием (т. е. обратная связь по угло­вому ускорению исполнительного привода следящей си­стемы).

В заключение, ввиду использования здесь приближен­ных равенств, необходимо уточнить получившуюся фак­тически характеристику

оцепить ее близость к желаемой, а затем изобразить фа­зовую характеристику φ(ω) (рис. 6.22) и оценить запасы

устойчивости и качество процес­сов, которые будут иметь место фактически.

Поскольку данное построение требует соблюдения «минимально-фазовости» системы, то надо проверить также устойчивость внутреннего контура системы (рис. 6.21) с передаточной функ­цией

Амплитудная частотная харак­теристика для него имеется на рис. 6.22. Нужно только по­строить фазовую частотную характеристику φ_вн(ω) и убе­диться в соблюдении частотного критерия устойчивости. Существует развитие этого метода применительно к синтезу совместно вводимых корректирующих устройств (последовательного и параллельного). Разработаны так­же и иные варианты частотных методов синтеза.