- •Введение
- •Моделирование квазипериодической структуры пьезокомпозита
- •2. Квазипериодическая структура композита с ориентированными пластинчатыми включениями
- •2.1. Коэффициент периодичности
- •2.2. Расчет коэффициента периодичности для двух случаев выполнения пересечений включений в ячейке квазипериодичности
- •2.3. Результат расчета и построение графика коэффициента периодичности
- •Корреляционная функция структуры композита с пластинчатыми включениями
- •3.1. Расчет корреляционной функции
- •Заключение
- •Список литературы
2.1. Коэффициент периодичности
Существуют множество различных квазипериодических структур пьезокомпозита, например, сферокомпозит, волокнистый композит, композит с ориентированными пластинчатыми включениями (см. рис.1), композит с эллипсоидальными включениями, и др.
а б в
Рис.1. Квазипериодические структуры сферокомпозита (а), однонаправленного волокнистого композита в гексагональной ячейке (б) и композита с ориентированными пластинчатыми включениями (в).
В курсовой работе рассматривается более подробно квазипериодическая модель композита с ориентированными пластинчатыми включениями (рис. 1, в), когда форма и размер однородных включений детерминированы, а их случайные положения заданы вероятностным законом для вектора а случайных отклонений центров включений, ориентированных вдоль оси r3, от узлов заданной периодической решетки. Свойство квазипериодичности структуры и независимость случайных отклонений а для различных ячеек позволяет перейти к рассмотрению одиночной ячейки квазипериодичности на рис.2.
L
a
h
Н
а б
Рис. 2. Фрагмент сетки (а), одиночная ячейка (б) композита с пластинчатыми включениями.
Согласно рис. 2, б : Н – высота ячейки квазипериодичности; h – толщина включения; L – длина ячейки и включения; а – вектор смещений (отклонений) включения.
Пусть вектор отклонений а ориентированных пластинчатых включений лежит на оси r3, тогда его координата а3 распределена по равномерному закону на отрезке [0;∆] , тогда а1 = а2 = 0.
, (1)
где k принадлежит отрезку [0;1] – степень разупорядоченности пластинчатых включений, ∆max - максимальное значение вектора смещений.
(2) значение ∆max задано на основании того, что включение не должно выходить из ячейки, тогда
(1.1)
Как известно, коэффициент периодичности p находится по формуле [1]
, (3)
где – относительное объемное содержание включений в ячейке, V11 – относительное объемное содержание пересечений включений в ячейке.
Коэффициент периодичности характеризует степень разупорядоченности, зависящей от относительного объемного содержания включений в ячейке и их пересечений. V11 в свою очередь характеризует упорядоченность квазипериодической структуры, ее геометрический смысл: при мысленном наложении квазипериодической структуры на периодическую [1, 2]. Задача вычисления коэффициента периодичности p сведена к расчету характеристики упорядоченности V11.
- есть отношение толщины включения к высоте ячейки квазипериодичности, принадлежит промежутку [0;1].
- есть отношение осредненного значения площади пересечения включений к площади ячейки (для плоских моделей). Таким образом, задача нахождения V11 сводится к задаче осреднения S11. Представим S11 в виде функции зависимости от вектора смещений а, S11 = S11(a).
Осредненное значение <S11> находится по следующей формуле, выведенной ранее [1] (4)
Пусть закон разупорядоченности, т.е. функция плотности вероятностей f(a) будет задана по равномерному закону на отрезке [0;∆], (рис. 3.).
f(a)
0 ∆ a
Рис. 3. Графическое представление равномерного закона функции плотности вероятностей f(a).
Таким образом, подставив значение функции плотности вероятностей f(a) в формулу (4), получим:
(4.1)