Практическая часть
1) Для исследования влияния некоторых факторов вакуумной сушки на усадку платы по площади y (% полученной площади образца после сушки от первоначальной) были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23. В качестве факторов, влияющих на эту величину, бы- ли выбраны следующие:
Требуется построить уравнение регрессии, учитывая взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию.
Исходная матрица планирования ПФЭ 23
|
№ экспери- мента |
Изучаемые факторы |
Результаты опытов | |||||
|
z1 |
z2 |
z3 |
y1
|
y2 |
y3 | ||
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
– + – + – + – + |
– – + + – – + + |
– – – – + + + + |
1,23 1,24 1,25 0,803 0,802 0,805 0,98 0,99 0,97 0,474 0,476 0,475 0,27 0,28 0,26 0,926 0,926 0,918 0,49 0,49 0,49 0,694 0,692 0,696 | |||
Решение
Таблица 1. Исходная матрица планирования ПФЭ 23:
|
Номер опыта |
z1 |
z2 |
z3 |
y1 |
y2 |
y3 |
|
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1,23 |
1,24 |
1,25 |
|
2 |
1 |
-1 |
-1 |
0,803 |
0,802 |
0,805 |
|
3 |
-1 |
1 |
-1 |
0,98 |
0,99 |
0,97 |
|
4 |
1 |
1 |
-1 |
0,474 |
0,476 |
0,475 |
|
5 |
-1 |
-1 |
1 |
0,27 |
0,28 |
0,26 |
|
6 |
1 |
-1 |
1 |
0,926 |
0,926 |
0,918 |
|
7 |
-1 |
1 |
1 |
0,49 |
0,49 |
0,49 |
|
8 |
1 |
1 |
1 |
0,694 |
0,692 |
0,696 |
1)Центр интервала варьирования факторов и зависимость кодированной переменной Хi от натуральной Zi найдем по формуле:
Хi = (Zi - Zi0) / λi , где:
Zi0 – центр плана;
λi – интервал варьирования.
Таблица 2. Кодирование (нормирование) факторов:
|
Фактор |
Верхний |
Нижний |
Центр |
Интервал |
Зависимость кодированной |
|
|
уровень Zi+ |
уровень Zi- |
плана Zi0 |
вар-я λi |
переменной от натуральной |
|
z1 |
9 |
4 |
6,5 |
2,5 |
x1=(z1+6,5)/2,5 |
|
z2 |
9 |
7 |
8 |
1 |
x2=z2-8 |
|
z3 |
10 |
7 |
8,5 |
1,5 |
x3=(z3-8,5)/1,5 |
2) Достроим матрицу планирования в кодированных переменных с учетом парных взаимодействий и дополним столбцом средних значений отклика:
m – число повторений опыта.
m = 3
Среднее
значение отклика Yсрi
=
;j
= 1..8.
Общий вид уравнения регрессии:
Таблица 3. Матрица планирования для обработки результатов:
|
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
y2 |
y3 |
yср |
|
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1,23 |
1,24 |
1,25 |
1,24 |
|
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
0,803 |
0,802 |
0,805 |
0,8033 |
|
3 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
0,98 |
0,99 |
0,97 |
0,98 |
|
4 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0,474 |
0,476 |
0,475 |
0,475 |
|
5 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
0,27 |
0,28 |
0,26 |
0,27 |
|
6 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
0,926 |
0,926 |
0,918 |
0,9233 |
|
7 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
0,49 |
0,49 |
0,49 |
0,49 |
|
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,694 |
0,692 |
0,696 |
0,694 |
3) Вычислим коэффициенты уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов:
Рассчиатем коэффициенты уравнения регрессии:
i = 1..k, k = 3 – количество факторов
r < p, r = 1..k, p = 1..k
l = 1..k
Таблица 4. Коэффициенты уравнения регрессии:
|
b0 |
b1 |
b2 |
b3 |
b12 |
b13 |
b23 |
b123 |
|
0,73445 |
-0,01055 |
-0,0747 |
-0,140125 |
-0,0677 |
0,224875 |
0,072375 |
-0,047625 |
4) Проверяем эти коэффициенты на значимость, предварительно определив дисперсию воспроизведения, и получаем уравнение регрессии в кодированных переменных.
Дисперсия воспроизводимости:
Sj2 – выборочные дисперсии результатов опытов для j – го эксперимента.
Таблица 5. Выборочные дисперсии:
|
Номер опыта |
y1 |
y2 |
y3 |
yср |
(y1- yср)2 |
(y2- yср)2 |
(y3- yср)2 |
S2 |
|
1 |
1,23 |
1,24 |
1,25 |
1,24 |
0,0001 |
0 |
0,0001 |
0,0001 |
|
2 |
0,803 |
0,802 |
0,805 |
0,8033 |
9*10-8 |
1,69*10-6 |
2,89*10-6 |
2,335*10-6 |
|
3 |
0,98 |
0,99 |
0,97 |
0,98 |
0 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
|
4 |
0,474 |
0,476 |
0,475 |
0,475 |
10-6 |
10-6 |
0 |
10-6 |
|
5 |
0,27 |
0,28 |
0,26 |
0,27 |
0 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
|
6 |
0,926 |
0,926 |
0,918 |
0,9233 |
7,29*10-6 |
7,29*10-6 |
2,809*10-5 |
21,335*10-6 |
|
7 |
0,49 |
0,49 |
0,49 |
0,49 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
0,694 |
0,692 |
0,696 |
0,694 |
0 |
4*10-6 |
4*10-6 |
4*10-6 |
Дисперсия воспроизводимости:
328,67*10-6/8
= 41,08*10-6
Среднеквадратичное отклонение коэффициентов:
Число степеней свободы:
n*(m-1) = 8*(3 -1) = 16
Уровень значимости примем:
α = 0.05
то есть событие с вероятностью 0.05 считается невозможным.
Из таблицы Стьюдента определяем коэффициент критических точек:
tкр = 2.12
Тогда критерий воспроизводимости:
Так
как bi>
,
то все коэффициенты уравнения регрессии
значимые.
Уравнение регрессии примет вид:
5) Проверим уравнение регрессии на адекватность по критерию Фишера:
Подставим в формулу
полученные значения и сравним с
экспериментальным значением
.
Вычислим параметры остаточной дисперсии (дисперсии отклонения теоретических результатов от экспериментальных).
Остаточная дисперсия – общая сумма квадратных отклонений от фактических значений. Объем остаточных вариаций, деленный на число наблюдений.
Таблица 6.
|
Отклонения от фактических значений | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,237 |
0,8063 |
0,983 |
0,472 |
0,267 |
0,9263 |
0,493 |
0,691 |
Тогда остаточная дисперсия:
Найдем расчетное значение критерия Фишера:
k1 = 1 – число отброшенных коэффициентов.
k2 = 16 – степень свободы.
Найдем по таблице соответствующий коэффициент Фишера:
Так
как
, следовательно, уравнение регрессии
адекватно.
7) Выпишем уравнение регрессии в натуральных величинах:
Из таблицы 2:
|
Зависимость кодированной |
|
переменной от натуральной |
|
x1=(z1+6,5)/2,5 |
|
x2=z2-8 |
|
x3=(z3-8,5)/1,5 |
Получаем:
2) С помощью кода Хемминга проверить обнаружить и скорректировать одиночную ошибку в двоичном коде числа.
Количество информационных разрядов m=7, контролирующих кодов k=4.
Исходное слово: 00101102
Пусть был передан код с ошибкой в 3 разряде.
Для проверки используется также 1 контролирующий разряд, тогда количество разрядов (m+ k+1). Этот разряд считает количество единиц в отправленном слове. Если их четное количество, то он равен 0, если нечетное – то 1.
Решение:
Таблица 7.
|
№ |
0001 |
0010 |
0011 |
0100 |
0101 |
0110 |
0111 |
1000 |
1001 |
1010 |
1011 |
Second Parity |
|
Распределение контрольных и информационных разрядов |
Р1 |
Р2 |
d1 |
Р3 |
d2 |
d3 |
d4 |
Р4 |
d5 |
d6 |
d7 |
|
|
Информационное кодовое слово |
|
|
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
Р1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
Р2 |
|
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
Р3 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Р4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
Кодовое слово с контрольными разрядами |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
Приняли |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
Р1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
P0 |
|
Р2 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
F1 |
|
Р3 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
F1 |
|
Р4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
P0 |
Получено слово: 10001000101(1)
По контрольным разрядам:
|
P1x1 |
P2x2 |
P3x4 |
P4x8 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
Очевидно, что ошибка произошла в 6-м разряде кодового слова (0110), который соответствует разряду с именем d3.
Выводы
В процессе выполнения курсовой работы были изучены особенности обработки данных полного факторного эксперимента, было построено уравнение регрессии, учитывающая взаимодействие всех трех факторов эксперимента, при том все значения коэффициентов удовлетворяли требованиям значимости, а само полученное уравнение регрессии успешно прошло проверку на адекватность по критерию Фишера.
Во второй части работы была произведена ручная проверка функционирования помехозащищенного кода Хемминга и доказана его эффективность в обнаружении и самостоятельном исправлении единичных ошибок в передаваемом слове.