Задание №5.

Имеются данные по 25 предприятиям отрасли:

Таблица №7

№ предприятия	Продукция, тыс. шт	Потребление сырья, тыс. т	Объём электропотребления, кВт*ч
1	25,6	3,2	1,3
2	37,2	3,5	1,8
3	45,4	2,2	1,2
4	46,8	1,6	2,2
5	52,1	4,4	3,7
6	54,3	4,5	2,7
7	57,0	2,6	3,8
8	65,5	5,7	3,3
9	68,3	7,5	2,1
10	77,8	5,2	2,6
11	86,1	2,8	2,1
12	96,9	5,1	4,7
13	99,1	6,0	3,5
14	114,9	8,2	2,8
15	126,3	7,1	4,2
16	165,5	8,3	2,6
17	171,6	8,1	2,2
18	173,8	9,8	3,5
19	175,5	10,6	7,5
20	177,6	13,3	6,2
21	172,2	12,3	6,6
22	214,0	11,7	7,9
23	248,1	13,1	8,5
24	268,3	19,5	8,9
25	330,3	20,5	10,8

1. По данным таблицы №4 постройте уравнение корреляционной связи (связь линейная) между продукцией, потреблением сырья и объемом электроэнергии.

2. Вычислите коэффициенты эластичности, бета-коэффициенты, показатели тесноты корреляционной связи.

3. Оцените адекватность найденной модели.

4. Проведите анализ модели и сделайте заключение о пригодности полученной модели для анализа и прогноза.

Решение:

Для выполнения задания необходимо:

1. По данным таблицы №7 построю уравнение корреляционной связи (связь линейная) между продукцией, потреблением сырья и объемом электропотребления, которое будет иметь следующий вид:

у_{х1 х2} = а₀ + а ₁ х₁ + а ₂ х ₂ ,

где а₀ , а ₁ , а ₂ – параметры уравнения,

х₁ , х ₂ – факторные признаки.

Введу обозначения признаков:

У – продукция,

х₁ – потребление сырья,

х ₂ – объем электропотребления.

Произведу расчет параметров уравнения корреляционной связи.

Для этого предварительно вычислю:

_ _

σ _х1 = √ х₁² - ( х₁)² - дисперсия факторного признака х_1,

_ _

σ _х2 = √ х₂² - ( х₂)² - дисперсия факторного признака х_2,

_ _

σ _у = √ у² - ( у)² - дисперсия результативного признака.

_ _

σ _х1 = √ х₁² - ( х₁)² = √ 86,384 - (7,872) ² = √ 24,415 = 4,941

_ _

σ _х2 = √ х₂² - ( х₂)² = √ 25,021 - ( 4,268)² = √ 6,805 = 2,608

_ _

σ _у = √ у² - ( у)² = √ 22138,34 - (126,008)² = √ 6260,3239 = 79,122

2. Парные коэффициенты корреляции:

____ _ _

у * х₁ - х₁ * у

r_ух1 = --------------------- ,

σ _х1 * σ _у

____ _ _

у * х₂ - х₂ * у

r_ух2 = --------------------- ,

σ _х1 * σ _у

____ _ _

х₁ * х₂ - х₁ * х₂

r_{х1х 2} = --------------------- ,

σ _х1 * σ _х2

____ _ _

у * х₁ - х₁ * у 1361,272 – 7,872 * 126,008 369,337

r_ух1 = --------------------- = ------------------------------------- = ------------- = 0,94

σ _х1 * σ _у 4,941 * 79,122 390,941

____ _ _

у * х₂ - х₂ * у 717,414 – 4,268 * 126,008 179,61

r_ух2 = --------------------- = ------------------------------------- = ----------- = 0,87

σ _х2 * σ _у 2,608 * 79,122 206,350

____ _ _

х₁ * х₂ - х₁ * х₂ 44,88 – 7,872 * 4,268 11,282

r_{х1х 2} = --------------------- = ------------------------------- = ------------ = 0,87

σ _х1 * σ _х2 4,941 * 2,608 12,886

3. Вычислю параметры уравнения:

r_ух1 - r_ух2 * r_{х1х 2} σ _у 0,94 – 0,87 * 0,87 0,1831

а₁ = --------------------- * ------ = ------------------------ = ------------ = 0,7531

1 - r²_{х1х 2} σ _х1 1 – 0,87² 0,2431

r_ух2 - r_ух1 * r_{х1х 2} σ _у 0,87 – 0,94 * 0,87 0,0522

а₂ = --------------------- * ------ = ------------------------ = ----------- = 0,2147

1 - r²_{х1х 2} σ _х1 1 – 0,87² 0,2431

_ _ _

а₀ = у - а ₁ х₁ - а ₂ х ₂

а₀ = 126,008 - 0,7531 * 7,872 – 0,2147 * 4,268 = 119,164

Сделаю вывод: Параметр а₁ показывает, что с увеличением потребления сырья на 1000 тыс. тонн выработка продукции увеличивается на 753,1 тыс. шт. Параметр а₂ показывает, что с увеличением электропотребления на 1 кВт/час выработка продукции увеличивается на 214,7 тыс. шт.

4. Вычислю коэффициент эластичности Э _1, Э ₂ по формуле

_

х _i

Э _i = а _i --------- ,

_

у

где Э _i - коэффициент эластичности,

а _i - параметр при признаке фактора,

_

х _i - среднее значение факторного признака,

_

у - среднее значение результативного признака.

_

х _i 7,872

Э ₁ = а ₁ --------- = 0,7531 --------- = 0,04704

_ 126,01

у

_

х _i 4,268

Э ₂ = а ₂ --------- = 0,2147 ---------- = 0,0072

_ 126,01

у

5. Вычислю бета-коэффициетны β₁, β₂ по формуле:

σ _х1

β _i = а _i --------- ,

σ _у

где β _i - бета-коэффициент,

а _i - параметр при признаке фактора,

σ _х1 - дисперсия факторного признака,

σ _у - дисперсия результативного признака.

σ _х1 4,941

β ₁ = а ₁ --------- = 0,7531 ----------- = 0,0470

σ _у 79,122

σ _х1 4,941

β ₂ = а ₂ --------- = 0,2147 ----------- = 0,0134

σ _у 79,122

6. Определю множественный коэффициент корреляции по формуле:

r²_ух1 + r²_{ух 2} - 2r_ух1 * r_{ух 2} * r_{х1х 2}

R_ух1х2 = √ ----------------------------------------- ;

1 - r²_{х1х 2}

r²_ух1 + r²_{ух 2} - 2r_ух1 * r_{ух 2} * r_{х1х 2} 0,94² + 0,87² – 2*0,94*0,87*0,87

R_ух1х2 = √ -----------------------------------------= √ ----------------------------------------=

1 - r²_{х1х 2} 1 – 0,87²

0,8836 + 0,7569 – 1,4229 0,2176

= --------------------------------- = ------------- = 0,8951

1 – 0,7569 0,2431

7. Определю совокупный индекс корреляции по формуле:

∑ (у-у _{х1 х2} ) ²

R = √ 1 - ------------------- ;

_

∑ (у-у) ²

∑ (у-у _{х1 х2} ) ² 141117,88

R = √ 1 - ------------------- = ----------------- = 0,90

_ 156508,10

∑ (у-у) ²

8. Сделаем вывод.

А) Коэффициент эластичности Э₁ показывает, что с увеличением потреблений сырья на 1% выработка продукции увеличивается на 4,7% Коэффициент эластичности Э ₂ показывает, что с увеличением объемов электропотребления на 1% выработка продукции увеличивается на 0,72%.

Б) Анализ бета-коэффициентов показывает. Что наиболее сильное влияние на производительность труда оказывает потребление сырья 4,71%.

В) Анализ коэффициентов корреляции показывает, что между выработкой продукции, потреблением сырья и объемом электропотребления существует тесная (т.к. r > 0,7), прямая (т.к. r >0) корреляционная связь. Значение множественного коэффициента корреляции свидетельствует о наличии тесной корреляционной связи между признаками, а несовпадение значений на 0,01 подтверждает гипотезу о линейной форме связи.

9. Для оценки адекватности найденной модели использую оценку с помощью F_э критерия Фишера по формуле:

σ²_{ух1х 2} n – m

F_э = --------- * -------- ,

σ²_{у - ух1х 2} m - 1

где n – количество единиц совокупности;

m – количество признаков;

σ²_{ух1х 2} = σ²_у - σ²_{у - ух1х 2,}

_

∑ (у - у ) ²

σ²_у = -------------,

n

∑ (у - у _{х1х 2}) ²

σ²_{у - ух1х 2} = --------------------- .

n

_

∑ (у - у ) ² 156508,10

σ²_у = ------------- = ---------------- = 6260,32

n 25

∑ (у - у _{х1х 2}) ² 141117,88

σ²_{у - ух1х 2} = ------------------- = ----------------- = 5644,71

n 25

σ²_{ух1х 2} = σ²_у - σ²_{у - ух1х 2} = 6260,32 – 5644,71 = 615,60

σ²_{ух1х 2} n – m 615,60 25 - 2

F_э = --------- * -------- = -------------- * --------- = 0,11 * 23 = 2,53

σ²_{у - ух1х 2} m - 1 5644,71 2 – 1

11. Оценю значимость параметров уравнения корреляционной связи при помощи t – критерия Стьюдента по формулам:

a₁ σ_х1 √1 - r²_х1х2 √ n – m – 1

t _а1 = ----------------------------------------- ,

σ_у √1 - R²_{ух1х 2}

a₂ σ_х2 √1 - r²_х1х2 √ n – m – 1

t _а2 = ----------------------------------------- ,

σ_у √1 - R²_{ух1х 2}

где n – количество единиц совокупности;

m – количество признаков;

a₁ σ_х1 √1 - r²_х1х2 √ n – m – 1 0,7531 * 4,941 √ 1 – 0,87² √ 25 – 2 – 1

t _а1 = -------------------------------------- = ----------------------------------------------- =

σ_у √1 - R²_{ух1х 2} 79,122 √ 1 – 0,8951²

3,7210 √ 0,2431 √ 22 3,7210 * 0,4930 * 4,6904 8,604

= --------------------------- = ----------------------------------- = ------------ = 0,2439

79,122 √ 0,1987 79,122* 0,4457 35,269

a₂ σ_х2 √1 - r²_х1х2 √ n – m – 1 0,2147* 2,608 √ 1 – 0,87² √ 25 – 2 – 1

t _а2 = ---------------------------------- = ------------------------------------------------- =

σ_у √1 - R²_{ух1х 2} 79,122√ 1 – 0,8951²

0,5599 √ 0,2431 √ 22 0,5599* 0,4930 * 4,6904 1,294

= ----------------------------- = -------------------------------- = -------------- = 0,0366

79,122√ 0,1988 79,122* 0,4458 35,278

Сделаю вывод о значимости параметров уравнения корреляционной связи.

12. Оценю значимость коэффициента множественной корреляции по формуле:

R²_ух1х2 √ n – m – 1

t _{R ух1х 2} = -------------------------- ,

1 - R²_{ух1х 2}

R²_ух1х2 √ n – m – 1 0,8951² √ 25 – 2 - 1 0,8012 * 4,69

t _{R ух1х 2} = -------------------------- = ------------------------------ = ---------------- =

1 - R²_{ух1х 2} 1 – 0,8951² 1 – 0,8012

3,75

= --------- = 18,86

0,1988

13. Определим ошибку аппроксимации по формуле:

_ ∑ / у - у _{х1х 2}/

∑ = ------------------ ;

∑ у

_ ∑ / у - у _{х1х 2} / /-0,02/

∑ = ------------------ = ---------------- = 0,0000063

∑ у 3150,20

14. Вычислим коэффициент детерминации по формуле:

k = ŋ²,

σ²_{ух1х 2}

где ŋ = √ ---------- ;

σ²_у

σ²_{ух1х 2} 615,60

ŋ = √ --------- = √----------- = √ 0,0983 = 0,3135

σ²_у 6260,32

k = 0,098 или 9,8 % .

Коэффициент детерминации означает, что вариация результирующего признака на 9,8% обусловлена влиянием факторного признака.

Сделаю вывод: коэффициент детерминации 9,8 показывает, что вариация выработки продукции на 9,8% объясняется вариацией потребления сырья и объема электропотребления на 90,2% прочими факторами.

Сделаем вывод о пригодности полученной модели для анализа и прогноза. Так как параметры уравнения корреляционной связи значимы. Показатели тесноты корреляционной связи значимы. Коэффициент детерминации равен 9,8 Ошибка аппроксимации равна 1,0. Построенная модель может быть использована для анализа и прогноза.