Топологический метод

Составим матрицу B по принципу:

Каждая строка соответствует одному контурному току, и если его направление совпадает с током в ветви, то пишем 1, если противоположно то -1, если ток в ветви не относится к данному контурному то 0.

B =

Составим диагональную матрицу из Zn (n=1..8):

Z =

Составим матрицу E, поставив значение En в строки, с их порядковым номером:

E =

И матрицу J:

J =

Теперь составим матричное уравнение:

Решив его при помощи Matlab получим:

I₁ = 0.0105 - 0.0471i

I₂ = 0.0891 + 0.0604i

I₃ = 0.3067 + 0.0285i

I₄ = 0.2149 - 0.0845i

I₅ = 0.2044 - 0.0375i

I₆ = 0.0996 + 0.0133i

I₇ = 0.3958 + 0.0889i

I₈ = 0.0918 + 0.1130i

В показательной форме значения токов имеют вид:

= 0.0482 arg(Z1) =-77.4325

I1 = 0.0482*

= 0.1076 arg(Z2) = 34.1329

I2 = 0.1076*

= 0.3080 arg(Z3) = 5.3084

I3 = 0.3080*

= 0.2309 arg(Z4) = -21.4650

I4 = 0.2309*

= 0.2078 arg(Z5) = -10.3960

I5 = 0.2078*

= 0.1004 arg(Z6) = 7.6059

I6 = 0.1004*

= 0.4056 arg(Z7)= 12.6590

I7 = 0.4056*

= 0.1455 arg(Z8 )= 50.9099

I8 = 0.1455*

Задание 4

Составить уравнения методом узловых потенциалов. Рассчет матриц выполнить по методу Крамера. Рассчитать токи и напряжения во всех ветвях. Сравнить полученные токи с токами, вычисленными по МКТ. Потенциалы и напряжения представить в полярной форме.

Заземлим узел E. Тогда ϕ_e = 0;

Вычислим проводимости в каждой ветви, как обратную величину к сопротивлению:

Y₁ = , Y₂ = , Y₃ = , Y₄ = , Y₅ = , Y₆ = , Y₇ = , Y₈ = .

Теперь составим систему уравнений для каждого из узлов (кроме Е):

А: (Y₁+Y₄+Y₅)∙φ_a - Y₁∙φ_b - 0∙φ_c - Y₄∙φ_d = J₉

B: -Y₁∙φ_a + (Y₁ + Y₂ + Y₆)∙φ_b - Y₂ ∙φ_c - 0∙φ_d = - J₉ + E₂Y₂

С: 0∙φ_a – Y₂∙φ_b + (Y₂ + Y₃ + Y₇)∙φ_c - Y₃∙φ_d = – E₃∙Y₃ – E₂∙Y₂

D: - Y₄∙φ_a – 0∙φ_b - Y₃∙φ_c + (Y₃ + Y₄ + Y₈ )∙φ_d = E₃∙Y₃

Из данной системы уравнений получим матричное уравнение:

∙=

Где

Y₁₁ = Y₁+Y₄+Y₅, Y₁₂ = Y₁, Y₁₄ = Y₄;

Y₂₁ = Y₁, Y₂₂ = Y₁+Y₂+Y₆, Y₂₃ = Y₂;

Y₃₂ =Y₂, Y₃₃ =Y₂+Y₃+Y₇, Y₃₄ = Y₃;

Y₄₁ = Y₄, Y₄₃ = Y₃, Y₄₄ = Y₃+Y₄+Y₈.

j₁₁ = J₉

j₂₂ = – J₉ + E₂*Y₂,

j₃₃ = – E₃∙Y₃ – E₂∙Y₂ ,

j₄₄ = E₃∙Y₃.

Расчёт напряжений проведем по формулам:

U_ba = φ_b - φ_a,

U_bc = φ_b - φ_c,

U_dc = φ_d - φ_c,

U_da = φ_d - φ_a,

U_ea = φ_e - φ_a,

U_eb = φ_e - φ_b,

U_ec = φ_e - φ_c,

U_ed = φ_e - φ_d.

Расчёт токов по формулам:

I₁ = ,

I₂ = ,

I₃ = ,

I₄ = ,

I₅ = ,

I₆ = ,

I₇ = ,

I₈ = .

φ_a = 7.6316 + 7.0543iВ

φ_b = 3.1861 + 6.5077iВ

φ_c = -30.8600 -26.3300iВ

φ_d = 10.2397 + 1.0644iВ

φ_e = 0

I₁ = 0.0105 - 0.0471i

I₂ = 0.0891 + 0.0604i

I₃ = 0.3067 + 0.0285i

I₄ = 0.2149 - 0.0845i

I₅ = 0.2044 - 0.0375i

I₆ = 0.0996 + 0.0133i

I₇ = 0.3958 + 0.0889i

I₈ = 0.0918 + 0.1130i

U_ba = 4.4455 + 0.5466i

U_bc = 34.0461 +32.8377i

U_dc = 41.0997 +27.3944i

U_da = 2.6081 - 5.9899i

U_ea = 7.6316 + 7.0543i

U_eb = 3.1861 + 6.5077i

U_ec = -30.8600 -26.3300i

U_ed = 10.2397 + 1.0644i

Теперь представим полученные значения в показательной форме:

φ_a = 10.393  *B

φ_b = 7.246 *B

φ_c = 40.566  *B

φ_d = 10.295  *B

φ_e = 0

I₁ = 0.0482*

I₂ = 0.1076*

I₃ = 0.3080*

I₄ = 0.2309*

I₅ = 0.2078*

I₆ = 0.1004*

I₇ = 0.4056*

I₈ = 0.1455*