9.3. Производная по направлению, градиент

Частные производные иявляются «скоростями» изменения функциив направлении осей координат. Можно вычислить «скорость» изменения функциив направлении произвольного единичного вектора

,

где и– углы между вектороми осями координат.

Для этого надо использовать формулу производной функции по заданному направлению:

.

Вектор называется градиентом функциидвух аргументов.

Для функции градиент имеет три координаты, и он равен, а производная по направлению вычисляется по формуле:

,

где ,– единичный вектор направления.

По формуле скалярного произведения векторов имеем:

.

из этого следует, что градиент по величине и направлению совпадает с наибольшей скоростью изменения функции.

Например, найти производную функции

по направлению из точки (1; 1; 1) к точке(3; 3; 2).

Находим частные производные:

;

;

.

Находим градиент:

.

Находим единичный вектор направления:

.

Находим производную по направлению:

.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение функции нескольких переменных.

2. Какие существуют способы задания функций нескольких переменных?

3. Что такое линия уровня функции двух переменных?

4. Как находятся частные производные первого и второго порядков функции двух аргументов?

5. Запишите полный дифференциал первого и второго порядка для функции двух аргументов.

6. Что такое производная по направлению?

7. Что такое градиент функции нескольких переменных?

8. Куда направлен градиент функции нескольких переменных?

Тема 10. Экстремум функции двух аргументов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных

10.1. Максимум и минимум функции двух аргументов

Функция имеет максимум (минимум) в точке, если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точкенекоторой окрестности точки. На рисунке в точкефункция имеет максимум, а в точке– минимум.

Максимум или минимум функции двух переменных называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума функции двух аргументов выражает следующая теорема.

Теорема. Пусть точкаесть точка экстремума дифференцируемой функции. Тогда частные производныеив этой точке равны нулю.

Следующая теорема выражает достаточное условие экстремума функции двух аргументов.

Теорема. Пусть функцияопределена в некоторой окрестности критической точки, в которойиимеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка; значения которых в точкеследующие... Тогда, если, функцияимеет экстремум, причем если– максимум, если– минимум. В случае если, функцияэкстремума не имеет. Если, то ответа не получаем.

Обратим внимание на локальный характер экстремума функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении функции лишь в достаточно малой окрестности точки

10.2. Алгоритм нахождения экстремума функции двух аргументов

Исследование функции двух переменных на экстремум можно проводить по следующему алгоритму:

1) найти частные производные и;

2) решить систему уравнений

и найти критические точки функции ;

3) найти частные производные второго порядка ,,. Вычислить значения этих частных производных в критической точке, то есть,,и. Сделать вывод о наличии экстремумов. Если, то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум прии минимум при. Если, то в точкеэкстремума нет.

4) найти экстремумы функции, подставив координаты точки экстремума в выражение для функции.

Например, найти экстремум функции . Согласно указанной схеме, имеем:

,.

Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений

Решениями системы являются следующие значения,. Следовательно,– точка возможного экстремума.

Затем найдем вторые частные производные и значение для выражения :

.

Так как Δ=3>0 и =2>0, то в точкеданная функция имеет минимум. Вычисляем минимальное значение функциив точке. Получаем:

.

Рассмотрим пример задачи нахождения экстремума функции двух аргументов, возникающих в экономике.

Пример. Фирмой производится два вида товаров в количествеи. Стоимость единицы каждого товара равна соответственно 8 и 10 (усл. ден. ед.), а функция затрат имеет вид. Определить максимальную прибыль фирмы.

Решение. Функция прибыли является функцией двух аргументовии имеет вид:

.

Исследуем эту функцию двух аргументов на экстремум. Имеем:

и.

Решением системы уравнений

будет точка с координатами .

Найдем вторые частные производные функции прибыли и значение для выражения :,... Так как, а, то точка с координатамиопределяет локальный максимум функции прибыли. Найдем эту прибыль

(усл. ден. ед.).