Вопросы к экзамену.

3 Семестр

1. Случайные события, алгебра событий.

Основным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Алгебра событий.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событийназывается событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

2. Относительная частота, статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:

,

где m – число появлений события А, n – общее число испытаний.

Классическая вероятность вычисляется до опыта, а относительная частота – после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Таким образом, при достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

.

3. Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой:

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит 0<m/n<1, следовательно,

0<P(A)<1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0P(A)1

4. Геометрическое определение вероятности, задача о встрече.

Пусть пространство элементарных событий служит множество точек некоторой области G, имеющей площадь на плоскости. В качестве событий будем рассматривать площадь подмножества А, В, С, ... этой области. При этом вероятность любого события А (подмножества, имеющего площадь mes(A)), можно задать следующим образом:

.(- мера)

Например: Пусть отрезок длиной l включается в отрезок длиной L. Вероятность события А «наудачу брошенная точка попала на отрезок длиной l» определяется равенством

P(A)=	длина отрезка l
	длина отрезка L

Пусть плоская фигура площадью s включается в плоскую фигуру площадью S. Вероятность события А«наудачу брошенная точка попала на плоскую фигуру площадью s» определяется равенством

P(A)=	площадь s
	площадь S

Пусть пространственная фигура объемом v включается в пространственную фигуру объемом V. Вероятность события А «наудачу брошенная точка попала на пространственную фигуру объемом v» определяется равенством

P(A)=	объём v
	объём V

Задача о встрече. Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?

Решение: Используем геометрическое определение вероятности события A = (Встреча с другом состоится).

Обозначим за х и у время прихода, 0≤х,у≤60 (минут). В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть

y−x<5,y>x,

x−y<5,x>y.

Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, очерченной красным.

Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата, то есть

P(A)=SGSOABC=60⋅60−55⋅5560⋅60=23144=0,16.

Ответ: 0,16

5. Аксиоматическое определение вероятности

Будем считать, что относительно событий из рассматриваемого поля справедливы следующие высказывания:

Аксиома 1. Каждому случайному событию A ставится в соответствие неотрицательное число p, p=P(A), называемое вероятностью события A.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. P(D)=1.

Аксиома 3. (аксиома сложения). Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

P(A+A+ …+A)=P(A)+P(A)+…+P(A),если AA=Nпри всех ik.

Такое определение вероятности называется аксиоматическим. Из аксиоматического определения следуют следующие свойства вероятности: 1) P(N)=0; 2) P()=1-P(A); 3) 0P(A)1; 4)P(B)P(A), если AB; 5) P(A)=P(B), если A=B.

6. Формулы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий, в частности, методы решения комбинаторных задач, т. е. задач о подсчете числа различных комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества.

Пусть …,- элементы некоторого конечного множества. Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач.

Правило суммы. Если элемент может быть выбранспособами, элемент- другимиспособами,- отличными от первых двухспособами и т.д.,-способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов: или или…, илиможет быть осуществленспособами.

Правило произведения (основной принцип). Если элемент может быть выбранспособами, после каждого такого выбора элементможет быть выбранспособами и т.д., после каждого (k-1) выбора элемент может быть выбранспособами, то выбор всех элементов…,в указанном порядке может быть осуществленспособами.

Приведем некоторые понятия и формулы, которые лежат в основе комбинаторики.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов: …,. Из этого множества могут быть образованы комбинации (выборки) изm элементов (0<mn).

Размещениями из n элементов по m называются комбинации (выборки), состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим).

Число размещений из n элементов по m обозначается символом (“A из эн по эм”) и вычисляется по формуле

или , где; 1!=1; 0!=1.

Перестановками из n элементов называются комбинации (выборки), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом (“пэ из эн”) и вычисляется по формуле

Сочетаниями из n элементов по m (0<mn) называются комбинации (выборки), состоящие из m элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличающиеся только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом (“цэ из эн по эм”) и вычисляется по формуле:

или .

Так как по определению , то.

7. Теоремы сложения.

Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий определяется аксиомой 3 (аксиомой сложения вероятностей).

При решении ряда задач требуется найти вероятность суммы двух или нескольких совместных событий, т.е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий. В этом случае аксиома сложения вероятностей не применима.

Теорема (правило) сложения вероятностей. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т. е.

(8)

В случае трех и более совместных событий соответствующая формула для вероятности суммы событий весьма громоздка, проще перейти к противоположному событиюи затем воспользоваться равенством. Тогда

, (9)

т. е. вероятность суммы нескольких совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий.

Если при этом события независимые, то

(10)

8. Независимые события, теоремы умножения.

Условной вероятностью события A по отношению к событию B называется вероятность события A, найденная при условии, что событие B произошло. Обозначается символом .

События A и B называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого, т. е. если

, .

Теорема (правило) умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, т.е.

или (4)

Теорема умножения вероятностей для нескольких событий. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события произошли, т. е.

. (5)

Для независимых событий иправило умножения вероятностей принимает вид:

(6)

Эта формула часто используется в качестве определения независимых событий.

События называютсянезависимыми (или независимыми в совокупности), если вероятность любого из них не меняется от того, что произошло одно или несколько других событий, т. е.

, где.

В случае n независимых событий имеем

, (7)

т.е. вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

События называютсяпопарно - независимыми, если любые два события и() из этого набора независимы.

Независимые события являются попарно – независимыми. Обратное, вообще говоря, неверно.

9. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие A с одной и той же вероятностью P(A)=p или произойти противоположное событие с вероятностью(такого рода схема испытаний называетсясхемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие A наступит в этих n испытаниях ровно m раз находится по формуле Бернулли

,m = 0,1,2,…,n, где (13)

Формула (13) выражает так называемое биномиальное распределение.

Из формулы Бернулли, в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие A наступит не менее раз, равнаили.

Вероятность наступления события A хотя бы один раз в n испытаниях равна

. (14)

Число () называетсянаивероятнейшим числом наступлений события A в схеме Бернулли, если для всехm=0,1,2,…,n. Если вероятности p и q отличны от нуля, то число определяется из двойного неравенства

. (15)

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение.

Если же - целое число, то имеютсядва наивероятнейших значения: и.

10. Наивероятнейшее число событий.

11. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Вероятность P(B) появления события B, которое может произойти только совместно с одним из событий, образующих полную группу попарно несовместных событий, т. е.и, вычисляется поформуле полной вероятности

где . (11)

При этом события обычно называютгипотезами, а числа -вероятностями гипотез.

Условная вероятность гипотезыв предположении, что событиеB уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:

, () (12)

Вероятности , вычисленные по формуле Бейеса, часто называютвероятностями гипотез.

12. Случайные величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет случайно одно и только одно значение из множества возможных значений.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

13. Функция распределения (интегральный закон распределения).

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция , которая для любого числаравна вероятности события, состоящего в том, что случайная величинапримет значение, меньшее, чем, т. е..

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее данной точки x (рис. 2).

Рис. 2

Функция F(x) существует как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. ;

2. - неубывающая функция, т. е., если;

3.,;

4. - непрерывна слева в любой точкеx, т. е. ,;

5. .

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

,

где суммирование ведется по всем индексам , для которых. Для дискретной случайной величины функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

14. Плотность распределения (дифференциальный закон распределения).

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: . Поэтому для непрерывной случайной величиныX имеем

. (*)

Для непрерывных случайных величин кроме функции распределения существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности.

Пусть функция распределения данной непрерывной случайной величиныX непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция .

Функцию называют такжедифференциальной функцией распределения.

Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. ; обладает свойством нормированности:

; .

График функции называетсякривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

(1)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток определяется равенством:

. (2)

15. Математическое ожидание, его свойства.

Математическим ожиданием (или средним значением) (или ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.

Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений , то ее математическое ожиданиенаходится по формуле

(3)

Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, то

, (4)

при этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности , находится по формуле

, (5)

при этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл ).

16. Дисперсия, ее свойства, среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

17. Мода и медиана.

Модой дискретной случайной величиныX называется ее наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение , при котором плотность распределенияимеет максимум, т. е..

На рис. 3 и 4 показана мода для дискретной и непрерывной случайной величины.

Рис. 3 Рис. 4

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Иногда встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимум. Такие распределения называются антимодальными.

Медианой непрерывной случайной величины X (обозначение:) называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величинаменьшеили больше, т. е.

. (9)

Геометрически вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 5). Каждая из этих площадей равна, т. к. площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице. Поэтому функция распределения в точкеравна, т. е..

Рис. 5

Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.

18. Моменты случайных величин.

При обработке данных используют такие характеристики случайной величины Х как моменты порядка q, т.е. математические ожидания случайной величины Xq, q = 1, 2, … Так, само математическое ожидание – это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка q может быть рассчитан как

Для непрерывной случайной величины

Моменты порядка q называют также начальными моментами порядка q, в отличие от родственных характеристик – центральных моментов порядка q, задаваемых формулой

Так, дисперсия – это центральный момент порядка 2.

19. Производящая функция.

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений.

Пусть есть случайная величинасраспределением. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

,

то есть производящая функция моментов - это двустороннее преобразование Лапласараспределения случайной величины (с точностью до отражения).

Если случайная величина дискретна, то есть, то

.

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функцийв силу похожести их определений.

• Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и. Тогда. В частности, если обе величиныабсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величиныдискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.

• Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:

• .

• Производящая функция моментов суммы независимыхслучайных величин равна произведению их производящих функций моментов.

20. Асимметрия и эксцесс.

Асимметрия – это показатель симметричности / скошенности кривой распределения, а эксцесс определяет ее островершинность. При левостронней асимметрии ее показатель является положительным и в распределении преобладают более низкие значения признака. При правостронней – показатель положительный и преобладают более высокие значения. У всех симметричных распеделений (в том числе и у нормального распределения) величина асимметрии равна нулю. Формула показателя асимметрии является следующей: Если в распределении преобладают значения близкие к среднему арифметическому, то формируется островершинное распределение. В этом случае показатель эксцесса стремится к положительной величине. У нормального распределения эксцесс равен нулю. Если у распределения 2 вершины (бимодальное распределение), то тогда эксцесс стремится к отрицательной величине. Показатель эксцесса определяется по формуле: Распределение оценивается как предположительно близкое к нормальному, если установлено, что от 50 до 80 % всех значений располагаются в пределах одного стандартного отклонения от среднего арифметического, и коэффициент эксцесса по абсолютной величине не превышает значения равного двум. Распределение считается достоверно нормальным если абсолютная величина показателей асимметрии и эксцесса меньше их ошибок репрезентативности в 3 и более раз.

21. Биномиальное распределение.

Случайная величина В = X₁ + X₂ +…+ X_k называется биномиальной. Ясно, что 0<B<k при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р(В = а) при а = 0, 1, …, k, достаточно знать р– вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие В = а осуществляется тогда и только тогда, когда событие А наступает ровно при а испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в а опытах события А и в k-а опытах противоположного ему – это вероятность произведения k независимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей, т.е. р^а(1 - р)^k-a. Сколькими способами можно задать номера а испытаний из k? Это - число сочетаний изk элементов по а, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно,

где символом k! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до k, т.е. (дополнительно принимают, что 0! = 1). Из сказанного следует, что биномиальное распределение, т.е. распределение биномиальной случайной величины, имеет вид

Название «биномиальное распределение» основано на том, что Р(В = а) является членом с номером (а+1) в разложении по биному Ньютона

если положить А = 1 – р, С = р. Тогда при j = a получим

Для числа сочетаний из k элементов по а, кроме , используют более распространенное в отечественной литературе обозначение.

Для случайной величины В, имеющей биномиальное распределение, математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами

22. Геометрическое распределение.

Пусть проводятся независимые испытания, каждое испытание может иметь два исхода: удача с вероятностью p и неудача с вероятностьюq = 1 - p. Введем в рассмотрение случайную величину X — число испытаний до первого появления удачи. Эта случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Когда говорят, что случайная величина X имеет значение k, то это означает, что первые k - 1 испытание закончились неудачей, а k-ое испытание стало удачным. Вероятность того, что в серии независимых испытаний будет вначале k - 1 неудач, а в k-ое испытание — удача, равна . Таким образом мы получили закон распределения случайной величины X: значению k случайной величины соответствует вероятность . Этот закон распределения и называется геометрическим распределением. Название происходит из того, что величина представляет собой геометрическую прогрессию, с первым членом p и знаменателем q.Изучим теперь свойства этого распределения. С ростом k вероятности убывают. Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можем записать:,то есть условие, что сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице, выполнено. Вычислим теперь математическое ожидание и дисперсию. По определению математического ожидания имеем:.Для вычисления суммы воспользуемся следующим приемом — заменим на и вынесем производную за знак суммы, в итоге получим:.Оставшаяся сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и равна . Вычисляя производную, запишем:.Аналогично можно получить выражение для :.Заменяя сумму на ее значение , вычисляем:.Таким образом, имеем выражение для дисперсии:.Если вероятность удачи равна единице, то математическое ожидание числа испытаний до первой удачи равно 1, а дисперсия — 0. Если, наоборот, вероятность удачи равна нулю, то математическое ожидание — бесконечность (то есть нужно произвести бесконечное число испытаний до появления удачи).

23. Распределение Пуассона.

Если число испытаний n  и p  0 так, что np   ,  > 0, то

при любых k = 0, 1, 2, … .

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой

.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np(1-p) < 9.

24. Гипергеометрическое распределение.

Пусть имеется N предметов, из них M — помеченных. Наудачу вытаскивают n предметов. Какова вероятность, что среди вытащенных nпредметов будет m помеченных? Разумеется . Для решения задачи посчитаем общее число элементарных исходов, каким можно вытащить n предметов из N, и число благоприятных исходов, то есть когда среди n вытащенных предметов окажется m помеченных. Согласно формулам комбинаторики (см. квант 7) общее число элементарных исходов есть . Составить комбинацию m помеченных предметов, когда всего их M, можно способами. При этом на каждый способ составить комбинацию m помеченных предметов из M есть способов взять оставшиеся n - m предметов из N - Mне помеченных. Таким образом, число благоприятных элементарных исходов есть . Согласно классическому определению вероятности получаем ответ к задаче:.Если значения N, M и n заданы, то полученная вероятность, рассматриваемая как функция m, представляет собой закон распределения случайной величины — числа помеченных предметов m в выборке n. Этот закон распределения называется гипергеометрическим распределением

25. Равномерное распределение.

Пусть производится n независимых испытаний. Случайная дискретная величина X имеет равномерное распределение, если она принимает значения х_i

(i= 1, n ) с одинаковыми вероятностями

p(xi)=	1
	n

Случайная непрерывная величина X на промежутке (а,b) имеет равномерное распределение, если плотность распределение

p(x)=	1
	b-a

на заданном промежутке, а вне его р(х)=0.

Функция распределения в этом случае имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия случайной непрерывной величины X вычисляется следующим образом:

M(X)=	a+b
	2

D(X)=	^(b-a)2
	12

26. Показательное распределение.