- •3 Семестр
- •Экспоненциальное распределение играет важную роль в задачах телекоммуникации, так как позволяет моделировать интервалы времени между наступлением событий.
- •2 Типа взаимосвязей между х и у:
- •Слабый закон больших чисел
- •Усиленный закон больших чисел
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •Теорема Бернулли
- •Теорема Ляпунова
- •Доказательство
Теорема Бернулли
Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.
При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между относительной частой появления события в этих испытаниях е го вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа , если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна .
Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства
(9.3) |
где — любые сколь угодно малые положительные числа.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также неравенство Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде
(9.4) |
При решение практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от её ожидаемого значения. В этом случае случайной величиной является число появления события в независимых испытаниях. Имеем
Используя неравенство Чебышева, получаем
Теорема Ляпунова
Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема. Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.
Закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении , если выполняются следующие условия:
1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:
где .
2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных:
При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются перечисленные два условия):
если случайная величина имеет конечные математическое ожидания и дисперсию , то распределение средней арифметической , вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины в независимых испытаниях, при приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , то есть
Поэтому вероятность того, что заключена в интервале , можно вычислить по формуле(9.5) |
Используя функцию Лапласа формулу (9.5) можно записать в удобном для расчётов виде:
где
Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный.
Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то
где , c > 0, c - постоянная.
Приближённую формулу
рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.