Слабый закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность (последовательное перечисление) одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . То есть их ковариация . Пусть . Обозначим выборочное среднее первых членов:

.

Тогда .

То есть для всякого положительного ,

Усиленный закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве. Пусть. Обозначимвыборочное среднее первыхчленов:

.

Тогда почти всегда.

То есть

39. Предельные теоремы.

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел, а другая —центральной предельной теоремы.

Рассмотрим теоремы, относящих к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определённых условий к некоторым постоянным значениям.

Неравенство Чебышева

Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа справедливо неравенство

(9.1)

то есть вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит и больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату .

Запишем вероятность события , то есть события, противоположного событию . Очевидно, что

(9.2)

Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину больше . Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности также уменьшается, и значения случайной величины с небольшой дисперсией сосредотачиваются около её математического ожидания.

Теорема Чебышева

При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единицы, можно утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величины и математическим ожиданием этой величины по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа при условии, что случайная величина имеет конечную дисперсию, то есть

где — положительное число, близкое к единице.

Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получаем

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или, наоборот, по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если проведено достаточно большое количество измерений определённого параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.