14

3.3.Решение системы линейных уравнений

3.3.1.Условие задания № 3

Используя коэффициенты полученной матрицы D, решить систему уравнений. Обратить внимание, что для формирования системы линейных уравнений, подлежащей решению, коэффициенты матрицы D использованы в порядке, отличающемся от их записи непосредственно в матрице D.

3.3.2. Пример решения задания № 3

Например, решим следующую систему линейных уравнений:

D1,4 x1 + D1,1 x2 + D1,3 x3 = D1,2 ;

D2,4 x1 + D2,1 x2 + D2,3 x3 = D2,2 ;

D3,4 x1 + D3,1 x2 + D3,3 x3 = D3,2 .

1.Запишем систему уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы:

51x1 +30x2 + 29x3 =11;5x1 −31x2 +3x3 = 65;4x1 −14x2 +62x3 = −97.

2.Решим полученную систему уравнений в Excel с применением последовательности операций линейной алгебры, а именно – с применением обратной матрицы (рис. 11). В результате получим вектор решения:

			2,555862243
X		=	−1,8932729	.
			−2,156923703

Рис. 11. Решение системы линейных уравнений с помощью Excel

15

Еще один пример приведен на рис. 12

Рис. 12. Решение системы линейных алгебраических уравнений с проверками выполнения отдельных шагов

Здесь реализованы несколько проверок: проверка существования решения (вычисление определителя (детерминанта матрицы А); проверка правильности получения обратной матрицы (перемножение исходной матрицы на обратную должно давать единичную матрицу); проверка правильности вычисления искомого вектора (перемножение исходной матрицы на искомый вектор должно давать вектор правых частей). Предпочтительно выполнение задания с матрицей D именно в таком (более полном) объеме со всеми перечисленными проверками.

Реализованная последовательность решения системы уравнений относится к прямым методам, таким как метод Гаусса. Но системы линейных алгебраических уравнений можно решать и

16

итерационными методами, в которых должно быть задано начальное приближение искомого вектора, а процедура решения является уточнением значений коэффициентов этого вектора. Такой метод решения системы уравнения реализован в надстройке «Поиск решения». В этом случае каждое уравнение должно быть записано в одной из ячеек как формула для вычисления правой части. Одна из таких ячеек используется как целевая ячейка (требуем установить в ней истинное значение правой части за счет подбора значений искомого вектора), а другие ячейки с формулами используются как ограничения (требуем установить в них тоже истинные значения правых частей). Пример такого решения приведен на рис. 13.

Рис. 13. Пример решения системы линейных алгебраических уравнений итерационным методом с применением надстройки «Поиск решения»