Нерівності

	x 3,
			x 3,
10x > 14;
x −5,			x −5,
	x 1;		1 x < 3.
x < 3;
	-5		1	3	x

Відповідь: (− ∞; −5] [1; +∞).

Розв’язування Показникових нерівностей

В основі розв’язування показникових нерівностей лежить монотонність показникової функції, яка залежить від значенняоснови.Способирозв’язуванняаналогічніспособам розв’язування показникових рівнянь, але часто приводять до системи нерівностей, бо треба врахувати умову ax > 0.

Приклади

1) 4x −12 2x − 64 0.

Нехай 2x = y,		y > 0.
y2 −12y− 64 0		(y1 = 16; y2 = −4).
Дістанемо систему нерівностей:
y > 0,
y 16;
y −4.
		- 4	16
		0	x
y 16; 2x 16.
Показникова функція y = 2x			з основою 2 > 1 є зроста­

ючою на R. Отже, x 4.

Відповідь: [4; +∞).

175

Алгебра та елементарні функції

		1 x2 −4x−1			1 x2 −4x−1					1 −2x+2
2)				9x−1;								.
		3			3					3
							1			x			1
	Показниковафункція y =											зосновою 0 <		< 1	єспад­
ною на R, тому дістанемо:							3						3

x2 − 4x−1 −2x+ 2, x2 − 2x− 3 0,

−1 x 3.

Відповідь: [−1; 3].

Логарифмічні нерівності

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, спираються на такі твердження.

1.Якщо a >1,то нерівність loga f(x) > loga g(x) рівносильна підвійній нерівності f(x) > g(x) > 0.

Це твердження можна записати у вигляді:

f(x) > g(x),

loga f(x) > loga g(x) f(x) > 0,

g(x) > 0

f(x) > g(x),

або

g(x) > 0.

2. Якщо 0 < a <1, то нерівність loga f(x) > loga g(x) рівносильна подвійній нерівності 0 < f(x) < g(x).

Це твердження можна записати у вигляді:

f(x) < g(x),

loga f(x) > loga g(x) f(x) > 0,

g(x) > 0

f(x) < g(x),

або

f(x) > 0.

176

Нерівності

Зверніть увагу: при розв’язуванні логарифмічної нерівності немає сенсу окремо виписувати ОДЗ, оскільки все одно буде необхідно розв’язувати систему нерівностей, яка включає й ОДЗ.

Приклади

1) log1 (x+ 4) > log1 (x2 + 2x− 2).

6

6

1

Логарифмічна функція

y = log1 t

з

основою 0 <

< 1

6

6

спадна, отже, дана нерівність рівносильна системі

x+ 4

< x2 + 2x− 2,

x2

+ x− 6 > 0,

x > 2,

x < −3,

x+ 4

> 0;

x > −4;

x > −4.

- 3

2

- 4

x

Відповідь: −4 < x < −3; (або у вигляді (−4; −3) (2; +∞)).

x > 2;

2) log32 x− 2log3 x− 8 0.

Нехай log3 x = y.

y2 − 2y− 8 0,

y1 = 4, y2 = −2.

x > 0,

x > 0,

y 4,

x 81,

log3 x 4,

y −2;

1

log3 x − 2;

x

.

9

1

9

0

81

x

Відповідь:

1

0;

1

[81; +∞) або 0

< x

9

9

x 81.

177

Алгебра та елементарні функції

3) logx (x2 +3x−3) >1.

Розглянемо два випадки.

x >1,

x >1,

2

+3x−3

> x

2

+2x−3

x

x

> 0

x >1,

x >1, x > 1.

< −3;

x

<

<

< x <1,

0

x

1,

0

2

+3x−3

2

+2x−3

< 0,

x

< x, x

2

+3x−3

> 0;

2

+3x−3

> 0;

x

x

0 < x <1,

< x

<1,

−3

x >

21 −3

,

21 −3

< x <1.

2

2

−3−

21

<

x

2

;

Об’єднуючи ці проміжки, одержимо відповідь.

21 −3

(1; +∞).

Відповідь:

; 1

2

4) log

(x2 −8x+23) >

3

.

sinx

log2

sinx

sinx 1;основою логарифма може бути тільки додатне число, яке не дорівнює 1. Виходячи з цього, отримуємо, що дана нерівність рівносильна системі:

log		sinx	(x2	−8x+23) >3log	sinx	2,
							0 < x2 −8x+23 < 8,
x2 −8x+23 > 0,								πk
sinx ≠ 0,							x ≠		, k Z;
								2
sinx ≠ ±1

178