Границя

Формула суми нескінченної геометричної прогресії:

q		<1;  S =		b1	.
		1		−q

Для розв’язання більшості задач на арифметичну й геометричну прогресії, а також комбінованих задач на прогресії зручно діяти так: усі дані задачі на арифметичну прогресію виразити через a1 і d (на геометричну — через b1 і q) і скласти рівняння або систему рівнянь за умовою задачі (або використовуючи властивості (*) і (**)).

Границя

Границя числової послідовності

Число a називається г р анице ю п о ­с лі до вн о с т і y1, y2, ..., yn, ..., якщо для будь-якого додатного числа ε існує таке натуральне число N = N(ε), що для всіх n > N виконується нерівність

yn −a <ε.

Позначеня: limyn = a або yn → a			n→∞ .
n→∞
Послідовність	(yn ), n = 1, 2, ... називається н е с к ін -
ч е нн о ма л о ю,	якщо для будь-якого додатного числа ε

існує натуральне число N таке, що для всіх n > N викону-

ється нерівність		yn		< ε.
Зверніть увагу: членами нескінченно малої послідов-
ності можуть бути дуже великі числа.
						100
Наприклад,		послідовність			100	n	є нескінченно ма-
					n2	+1

лою, але перші її члени є досить великими числами:

y =	100100	;	y =	2 100100	і т. д.
1	2		2	5

185

елементи математичного аналізу

		Теорема. Якщо limy		= a,то послідовність (α		) = (y −a)
		n→∞	n		n	n
є нескінченно малою			і	навпаки: якщо послідовність
(α		) = (y −a) є нескінченно малою, то limy = a.
	n	n		n→∞ n

Такимчином,дістанемоеквівалентнеозначенняграниці числової послідовності: число a називається границею числової послідовності (yn ), якщо послідовність (αn ) = (yn −a) є нескінченно малою послідовністю.

Властивості нескінченно малих послідовностей

Теорема 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Послідовність (yn ) називається о б м е ж е н о ю, якщо існує таке число M > 0, що для всіх значень n = 1,2, ... виконується нерівність yn M.

Теорема 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності та обмеженої послідовності є нескінченно малою послідовністю.

Послідовність (yn ) називається	н е с к інч е нн о ве -
лико ю, якщо, яке б не було число	M > 0, існує таке чис-

	ло			N = N(M),	що для всіх n > N виконується нерівність
		yn		> M.
				Позначення: lim(yn ) = ∞.
					n→∞
				Теорема 3. Якщо (yn ) є нескінченно великою числовою
							1
	послідовністю,				то послідовність (	αn ) =		є нескінченно
							yn

малою, і навпаки: якщо послідовність (αn ) є нескінченно малою числовою послідовністю і αn ≠ 0 для всіх натураль-

			1
	них n, то послідовність (y	) =			є нескінченно великою.
	n		αn

186

Границя

Основні теореми про границі числової послідовності

Теорема 1. Нехай послідовності (xn ) і (yn ) мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність (xn + yn ) має границю a+ b.

lim(xn	+ yn ) = lim(xn ) + lim(yn ) = a+ b.
n→∞	n→∞	n→∞

Теорема 2. Нехай послідовності (xn ) і (yn ) мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність (xnyn ) має границю, яка дорівнює ab:

lim(xnyn ) = lim(xn ) lim(yn ) = a b.
n→∞	n→∞	n→∞

Наслідки

1) Сталиймножникможнавиноситизазнакграниці.Якщо

С — сonst і (xn )

має границю, то limCxn = Clim(xn ).

n→∞

n→∞

2) Якщо

lim(xn ) = a, а k — натуральне

число, то

n→∞

lim(xk ) = (limx

)k = ak.

n→∞

n

n→∞ n

Теорема 3. Нехай послідовності (xn ) і (yn ) мають

скінченні границі, які відповідно дорівнюють

lim(xn ) = a,

n→∞

lim(yn ) = b, причому b ≠ 0. Тоді послідовність

xn

має скін-

n→∞

a

yn

ченну границю, яка дорівнює

:

b

xn

=

limxn

=

a

lim

n→∞

.

n→∞

y

limy

b

n

n→∞ n

Послідовність називається

н е с па д н о ю

(н е зр о с-

таю ч о ю), якщо для будь-якого n   N виконується нерівність yn+1 yn   (yn+1 yn ).

Неспадні та незростаючі послідовності називають м о -

н ото нними.

187

елементи математичного аналізу

Якщо значення членів монотонної послідовності (yn )

для будь-якого n   N задовольняють	строгу нерівність
yn+1 > yn (yn+1 < yn ), то послідовність (yn )	називають з р о с-

таю ч о ю (с па дн о ю). Зростаючі та спадні послідовності називають також с т р о го м о н ото нними.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність (xn ) має границю, то ця границя єдина.

Приклади границь послідовностей

1

−3+

44

n −3n2 + 44

1) lim

= lim

n

n2

=

3 7

n→∞ 6n2 −3n +7

n→∞

6 −

+

n

n2

lim

1

−3+

44

n2

−3

=

n→∞

n

=

= −

1

.

3

7

6

2

lim

6 −

+

n2

n→∞

n

2) lim

1+2+…+ n

= lim

(n +1)n

= lim

n +1

=

2 n2

n→∞

n2

n→∞

n→∞ 2n

1

1

1

1

1

= lim

+

= lim

+ lim

=

.

n→∞ 2

2n

n→∞ 2

n→∞

2n 2

Зверніть увагу на таку границю:

1 n

= e.

lim

1+

n→∞

n

Число еєосновою натуральногологарифма.Позначення: loge a = lna. Число е є ірраціональним, його наближене значення e ≈ 2,7.

Показникова функція з основою е (y = ex ) називається

е кс п о н е н то ю.

188