Стереометрія

Аксіоми стереометрії

I.Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

Через будь-які дві точки можна провести пряму, й тіль-

ки одну.

II.Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.

III. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

V.Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180° . Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розби-

вається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжи­ ­ни, й тільки один.

VII. Від півпрямої на площині, що містить її, можна відкласти в задану півплощину кут із даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.

VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині в заданому розміщені відносно даної півпрямої у цій площині.

IX. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній.

До цих аксіом додаються три аксіоми групи­ С.

C1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.

C2 . Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

C3 . Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, й до того ж тільки одну. Теорема  1.  Через пряму і точку, яка не лежить на ній,

можна провести площину, й до того ж тільки одну.

291

Геометрія

Теорема  2.  Через пряму можна провести дві різні площини (див. рисунок).

β

a

α

Теорема 3. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

Отже, можливі три варіанти взаємного розміщення прямої і площини в просторі.

1.Пряма лежить у площині (рисунок зліва).

2.Пряма перетинає площину в даній точці (рисунок справа).

a

a	A
α	α

3. Пряма не перетинає площину (див. рисунок). У даному випадку п р я м а а називається п а р а л е л ьн о ю п л о щ и н і.

a

α

292

Стереометрія

Теорема 4. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, й до того ж тільки одну.

Для розв’язання задач можуть бути корисними такі твердження.

1.Якщо дві різні прямі перетинаються у деякій точці (рисунок нижче зліва), то всі прямі, які перетинають обидві дані прямі й не проходять через цю точку, лежать в одній площині.

2.Усі прямі, які перетинають дану пряму й проходять через дану точку поза прямою, лежать в одній площині (рисунок справа).

b

a

a

A

A

Паралельність прямих і площини

Дві прямі в просторі називаються п а р а л е л ьн и м и, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, якінележатьводнійплощині,називаютьсям и м о б і ж н­ и м и.

Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах α і β (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.

αa

b

β

293

Геометрія

Для мимобіжних прямих (див. рисунок справа) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.

a

b

Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.

Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Ознака паралельності прямих

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні.

Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать

в одній площині).
	B
A1	B
	1
A	C

D1	C
	1
	D

Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

294

Стереометрія

Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.

Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.

a

c

b

α

На рисунку:

a α; b α ; c α ; a і b — мимобіжні; a c.

Теорема  3.  Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).

Теорема  4.  Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).

На рисунку a b.

a b

α

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

295