2 Разработка математической модели собственных колебаний кузова вагона на рессорном подвешивании

2.1 Выбор и обоснование расчетной схемы

Математическая модель колебаний кузова на пружинах рессорного подвешивания относится к задачам динамики твердых тел.

При составлении расчетной схемы образуются следующие допущения:

- кузов рассматривается как абсолютно твердое тело;

- масса навесного оборудования на кузове равномерно распределяется по длине вагона

- внутреннее трение в материале пружин не учитываем;

- считаем, что гасители колебаний сухого трения в работе конструкции отсутствуют;

- сопротивление внешней среды не учитываем;

- в расчетной модели эксплуатационные зазоры, износы вследствие трения не учитываются, т.е. тележка представлена как одно абсолютно твердое тело с центром масс, расположенные по оси шкворневого сечения;

- жесткость пути много больше жесткости рессорного подвешивания С_п>> С_р.п., поэтому путь считается абсолютно жестким;

- при свободных колебаниях не происходит отрыва колеса от рельса;

- принимаем, что между вагоном и ходовой частью отсутствует односторонняя связь.[конспект лекций]

По выше сказанным допущениям расчетной схемой будет являться твердое тело масса которого будет равна массе кузова, которая приложена в геометрическом центре масс, а рессорное подвешивание представим упругий элемент жесткость которого равна сумме жесткости рессорного подвешивания тележки. Расчетная схема представлена на рисунке 2.

С – жесткость рессорного комплекта; М_куз g – вес кузова;

М_грg – вес груза; q – перемещение, R - реакция упругих элементов.

Рисунок 2 – Расчетная схема

2.2 Вывод уравнений математической модели

Математическая модель в динамике твердых тел представляет собой систему, в которую входят начальные условия и уравнение движения. Для получения уравнения движения математической модели воспользуемся принципом Д’Аламбера. Сущность выше указанного принципа заключается в следующем:

- непрерывный процесс колебаний делим на равные временные интервалы и рассматриваем поведение системы именно в этих точках;

- поскольку тело находится в движении, всегда присутствует сила инерции, приложенная к центру масс;

- для каждого временного интервала составляем уравнение равновесия.

Согласно вышеуказанному принципу, вырезаем твердое тело, в данном случае это будет котел цистерны, реакциями упругих элементов будет действие отброшенных связей, приложим к твердому телу все внешние силы и силы инерции в центре масс. Сила инерции направлена в сторону, противоположную направлению движения q. Основная система изображена на рисунке 3 [8].

Рисунок 3 – Основная система

где q– обобщенная координата. Физический смысл обобщенной координаты заключается в перемещение центра тяжести при колебаниях;

R–реакция упругих элементов.

Для записи уравнения равновесия введем ось движения ,,. Спроецируем все силы, действующие на кузов, на ось движения, и получим уравнение движения (9):

, (9)

где – ускорение перемещения кузова;

R– реакция рессорного подвешивания;

M– масса кузова.

Ноль в правой части уравнения говорит о том, что колебания являются собственными (свободными), что соответствует условию задачи. Полученные уравнения движения имеют две вариативных формы записи (10):

(10)

Для нахождения начальных условий воспользуемся первой формой записи уравнения из формулы (10). Поскольку после установки груза в кузов тело находится в состоянии покоя (отсутствуют перемещения), то ,= 0, тогда получим (11), (12):

(11)

(12)

Итак получили математическую модель собственных колебаний кузова на рессорном подвешивании, которая включает в себя уравнение движения и начальные условия (13):

(13)

Определим начальное перемещение при максимальной и минимальной жесткости рессорного подвешивания из уравнения (12) с каждым значением массы кузова. Так как по заданию дано для одной пружины, в одном рессорном комплекте их 5 то уравнение (12) получим в следующем виде

1 При массе кузова М=13400 кг:

(м)

(м)

(м)

(м)

(м)

2 При массе кузова М = 14740 кг:

(м)

(м)

(м)

(м)

(м)

3 При массе кузова М = 16080 кг:

(м)

(м)

(м)

(м)

(м)

Сделаем вывод, что при увеличении жесткости пружин начальное перемещение от состояния равновесия уменьшается, а при увеличении массы кузова оно возрастает.

3 ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ