Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика»

Л. Э. Гончарь Г. А. Тимофеева

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Екатеринбург

2011

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика»

Л. Э. Гончарь Г. А. Тимофеева

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебно-методическое пособие для студентов 2-го курса всех специальностей

дневной формы обучения

Екатеринбург

2011

УДК 519.2 Г65

Гончарь, Л. Э.

Г65 Типовой расчет по теории вероятностей : учеб.-метод. пособие / Л. Э. Гончарь, Г. А. Тимофеева. – Екатеринбург : УрГУПС, 2010. – 64 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов.

Представленные в пособии материалы могут также использоваться и при подготовке и проведении практических занятий по разделу «теория вероятностей» курса «математика».

Содержит краткие теоретические сведения, примеры решения задач и варианты домашних заданий. Материал пособия охватывает основные темы раздела«теория вероятностей» и соответствует государственным стандартам изучения этого раздела в курсе «математика» для технических и экономических специальностей.

Пособие может использоваться студентами специальностей«мехатроника», «прикладная информатика» при изучении курса «теория вероятностей и математическая статистика».

УДК 519.2

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры«Высшая математика», протокол № 3 от 16.10.2011г.

Авторы: Л. Э. Гончарь, доцент кафедры «Высшая математика», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС

Г. А. Тимофеева, профессор кафедры «Высшая математика», д-р физ.-мат. наук, УрГУПС

Рецензент: Б. М. Готлиб, профессор кафедры «Мехатроника», д-р техн. наук, УрГУПС

Ó Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2011

Оглавление
1. Основные теоретические сведения .....................................................................	4
1.1. Случайные события. Классическая формула вероятности .............................	4

1.2.Действия с событиями. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность……………………………………………………………………...5

1.3.Схема независимых испытаний (схема Бернулли). Приближения в схеме Бернулли…………………………………………………………………………7

1.4. Дискретные случайные величины ....................................................................		8
1.5. Непрерывные случайные величины .................................................................		9
1.6. Основные виды непрерывных распределений ..............................................		10
2.	Примеры решения задач ....................................................................................	13
3.	Варианты типового расчета ...............................................................................	24
Библиографический список...................................................................................		62
Приложение ............................................................................................................		63

3

1.Основные теоретические сведения

1.1.Случайные события. Классическая формула вероятности

Случайным событием называется событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате испытания(опыта). При большом числе однотипных опытов частота появления случайного события приближается к его вероятности.

Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами: A, B, C, а их вероятности через P (A), P (B), P (C).

Событие называют достоверным, если известно, что оно обязательно наступит.

Событие называют невозможным, если известно, что оно не наступит. Свойства вероятности:

1.Вероятность достоверного события равна единице.

2.Вероятность невозможного события равна нулю.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пусть результат некоторого опыта (испытания) заранее непредсказуем, но можно перечислить все возможные следствия (исходы) процесса (испытания), и эти исходы равновозможны. Исходы называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Вероятность	события		A	равна	отношению		количест
благоприятствующих исходов (M),			к общему числу возможных исходов (N)
			P(A) = M/N.
Исходом, благоприятствующим				событию A,	называется	исход,	при
котором это событие происходит.
Для вычисления		количества		исходов может применяться как метод
перебора (перечисления) всех				возможных	благоприятствующих			и
неблагоприятствующих		событию		исходов, так	использование		формул
комбинаторики.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же
элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество
перестановок n элементов
			P(n) = n!
Размещениями	называют		комбинации, составленные из n			различных

4

элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Количество размещений (без повторений) из n элементов по k

Ak	=		n!		.
n			(n - k )!
Сочетаниями называют комбинации,				составленные из n различных
элементов по k элементов, которые	отличаются хотя бы одним элементом.
Количество сочетаний (без повторений) из n элементов по k
Cnk	=		n!			.
		k!(n - k )!

1.2. Действия с событиями. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность

События	называются независимыми, если			появление	одного из	них не
меняет вероятность появления остальных.
Событие, заключающееся в том, что произойдут оба события – и A,						и B –
называется произведением событий.
Для независимых событий
		P (A·B) = P(A)·P(B).
События,	которые	не	могут	появиться	, называютсявместе
несовместными. Для несовместных событий

P(A·B) = 0.

Событие, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий

– A или B – называется суммой событий

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A·B).

Если события A и B несовместны, то

P(A+B) = P(A) + P(B).

Событие, заключающееся в том, что событие A не произойдет, называется

противоположным к A и обозначается `A.

5

P( A) =1 - P( A).

Условной вероятностью называют вероятность событияA, вычисленную в предположении, что событие B уже наступило

P( A | B) = P( A × B) .

P(B)

Если события независимы, то

P(A|B) = P(A).

Пусть события H1, H2,...,Hn несовместны и одно из них обязательно произойдет, т. е.

P(H1) + P(H2) +… + P(Hn) = 1

и

P(Hi)·P(Hj) = 0, если i≠j,

тогда они образуют полную группу событий.

Пусть некоторое событиеB может произойти как следствие одного из событий Hi, образующих полную группу. В этом случае события Hi называются гипотезами и имеет место соотношение, называемое формулой полной вероятности.

Пусть события H1, H2, ..., Hn образуют полную группу, тогда

P(B) = P(B|H1 )P(H1 ) + P(B|H 2 )P(H 2 ) + ... + P(B|H n )P(Hn ) =

n

=åP(B|H i )P(Hi ).

i=1

Если же необходимо выяснить, какова вероятность, что уже наступившее событие B произошло вследствие одной из гипотез, например Hk, используется

формула Байеса

P(Hk | B) =	P(B | Hk )P(Hk )
	n

åP(B | Hi )P(Hi )

i=1

= P(B | Hk )P(Hk ) .

P(B)

6

1.3. Схема независимых испытаний (схема Бернулли). Приближения в схеме Бернулли

Пусть производится несколько испытаний(n), в каждом из которых событие A может произойти (успех) или не произойти (неудача) с одинаковой вероятностью p, которая не зависит от исхода других испытаний. Вероятность неудачи в каждом испытанииq = 1 – p. Тогда вероятность того, что успех случится ровно в k испытаниях, а в n – k испытаниях произойдет неудача, равна:

Pn (k )= Cnk pk qn-k .

Эту формулу называют формулой Бернулли.

При больших n формулу Бернулли трудно применять из-за возведения в большие степени и вычисления факториалов больших , чиселпоэтому в некоторых случаях можно использовать приближенные формулы.

1. Локальная теорема Лапласа(используется для n >20). Вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно k раз, примерно равна

P (k) »

1

j(x), j(x) =

1

e-x2 / 2 , x =

k

- np

.

n

npq

2π

npq

2. Интегральная

теорема

Лапласа(n >20). Вероятность того, что в n

испытаниях событие A появится от k1 до k2 раз, равна

P

(k

;k

)»

1

x2

e-z 2 / 2dz, x =

k1

- np

, x

=

k2

- np

,

2p xò

2

n

1

2

1

npq

npq

1

или

P(k1; k2 )= F(x2 ) - F(x1 ),

где F(x) – функция Лапласа. Значения функции Лапласа см. в Приложении. 3. Формула Пуассона (n >50, p < 0,1) для вероятностей массовых и редких событий

Pk (k ) » λk e-λ , λ = np. k!

7