2. Примеры решения задач

1. Классическое определение вероятности

Найти вероятность того, что в наудачу написанном двузначном числе обе цифры разные.

Решение

Всего исходов: N = 90 (всего двузначных чисел). Благоприятных исходов: M = 90 – 9 = 81.

(9 чисел с повторяющимися цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).

Вероятность: P = M = 81 = 0,9.

N 90

Ответ: 0,9.

2. Классическое определение вероятности (использование формул комбинаторики для вычисления количества элементарных исходов)

В группе 25 человек. На экзамене по математике было получено семь отличных оценок. Из списка студентов наугад выбираются пять человек. Какова вероятность того, что эти студенты получили отличные оценки?

Решение

Всего исходов:

N = C255

=

25!

.

5!×20!

7!

Благоприятных исходов:

M = C75 =

.

M

5!×2!

Вероятность: P =

=

7!

×

5!×20!

=

3 × 4 ×5 ×6 ×7

» 0,0004 .

25!

21× 22 × 23× 24 ×

N

5!×2!

25

Ответ: 0,0004

3. Сумма вероятностей.

В

лотерее

выпущено 10 000 билетов

и

разыгрывается: 10 автомобилей,

100 телевизоров

и 200 магнитофонов. Гражданин

купил

один

билет. Какова

вероятность того, что он выиграет телевизор или автомобиль?

Решение

Обозначим

за

событиеA «купленный

билет выиграет

телевизор», за

событие

B

«купленный

билет

выиграет

автомобиль». События A и B

несовместны,

так

как

куплен

только

один

билет, следовательно, искомая

вероятность выигрыша складывается из вероятности выигрыша телевизора и вероятности выигрыша автомобиля

P = P(A)+P(B).

13

Вычислим слагаемые суммы.

Для события A общее число исходов равно N = 10 000 (общее число билетов); благоприятных исходов MA = 100 (среди них 100 телевизоров).

P( A) =	M A	=		100	= 0,01..
	N		10 000

Для события B общее число исходов равно N = 10 000 (общее число билетов); благоприятных исходов MB = 10 (среди них 10 автомобилей).

P(B) =	M B	=		10	= 0,001.
	N		10 000

Тогда вероятность интересующего нас события

P = 0,01+0,001 = 0,011.

Ответ: 0,011.

4. Произведение вероятностей, «хотя бы один», «только один»

a. В ящике лежат 10 красных и 6 синих носков. Студент наудачу вынимает из ящика один за другим два носка. Какова вероятность, что оба носка окажутся синими и студент сможет поехать на занятия?

Решение

Событие С является произведением 2-х событий, А – первый носок синий, В – второй носок синий.

Вероятность того, что первый носок окажется синим (событие A)

P(A) = 6/(10 + 6) = 0,375.

Вероятность того, что второй носок окажется синим (событие B)

P(B|A) = 5/(10 + 5) = 1/3;

так как первый носок оказался синим, следовательно, на момент доставания второго носка синих носков в ящике уже не 6, а 5.

Тогда вероятность того, что студент достанет из ящика два синих носка

P(С) = P(A)·P(B|A) = 0,375×1/3 = 0,125.

Ответ: 0,125.

14

b. Бросаются одновременно две игральные кости. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы одна «шестерка»?

Решение

Событие A «выпадет хотя бы одна «шестерка» противоположно событию A «не выпадет ни одной«шестерки», которое состоит из произведения двух событий: B1 «не выпадет «шестерка» при первом броске» и B2 «не выпадет «шестерка» при втором броске»

P( A) = P(B1 ) × P(B2 ) .

События B1 и B2 независимы (так как результат первого броска игральной кости не влияет на результат второго броска) и равновероятны

P(B1) = P(B2) = 5/6.

Тогда

P( A) = (5 / 6)2 .

и, следовательно,

P( A) = 1 - P( A) =1 - (5 / 6)2 » 0,306 .

Ответ: 0,306.

c. В двух урнах лежат белые и черные шары: в первой – 3 белых и 5 черных, во второй – 4 белых и 2 черных. Из каждой урны одновременно вынимают по одному шару. Какова вероятность, что среди изъятых двух шаров только один белый?

Решение

Обозначим за A1 событие «из первой урны достали белый шар», а за A2 событие «из второй урны достали белый шар». Эти события независимы. Вероятности этих событий

P( A1 ) = 3/(3 + 5) = 0,375; P( A2 ) = 4 /(4 + 2) » 0,667.

Вероятности противоположных событий («вынут черный шар» из первой или второй урны соответственно) равны

P( A1 ) =1 - P( A1 ) = 0,625; P( A2 ) =1 - P( A2 ) » 0,333.

Событие «из двух шаров только один белый» состоит из суммы двух

15

несовместных событий: «из первой урны достали белый шар, из второй– черный» ( A1 A2 ) или «из первой урны достали черный шар, из второй – белый» ( A1 A2 ). Тогда вероятность искомого события равна

P( A1 A2 + A1 A2 ) = P( A1 A2 ) + P( A1 A2 ) = P( A1 )P( A2 ) + P( A1 )P( A2 ) = = 0,375×0,333 + 0,625 ×0,667 » 0,542.

Ответ: 0,542.

5. Формула полной вероятности, формула Байеса

Три фирмы представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая – 10 счетов, вторая – 20, третья – 10. Вероятность ошибки в счетах этих фирм соответственно0,1; 0,15; 0,2. Среди правильных счетов больше из первой или из второй фирмы?

Решение

Гипотезы – H1: счет принадлежит первой фирме; H2: счет принадлежит второй фирме; H3: счет принадлежит третьей фирме.

Вероятности осуществление гипотез

P(H1) = 10/(10 + 20 + 10) = 0,25;

P(H2) = 20/(10 + 20 + 10) = 0,5;

P(H3) = 10/(10 + 20 + 10) = 0,25.

Обозначим за A событие «обнаружен счет без ошибок(правильный)». Условные вероятности обнаружить счет без ошибки для первой фирмы

P(A|H1) = 1 – 0,1 = 0,9;

для второй фирмы

P(A|H2) = 1 – 0,15 = 0,85;

для третьей фирмы

P(A|H3) = 1 – 0,2 = 0,8.

Вероятность обнаружить правильный счет, если неизвестно из какой он фирмы, находится по формуле полной вероятности

16

P(A) = P(A|H1)·P(H1) + P(A|H2)·P(H2) + P(A|H3)·P(H3) = = 0,9×0,25 + 0,85×0,5 + 0,8×0,25 = 0,85.

Вероятность того, что правильный счет обнаружен у первой фирмы

P(H1|A) = P(A|H1)·P(H1)/P(A) = 0,9×0,25/0,85 = 0,26.

Вероятность того, что правильный счет обнаружен у второй фирмы

P(H2|A) = P(A|H2)·P(H2)/P(A) = 0,85×0,5/0,85 = 0,5.

Ответ: среди правильных счетов больше счетов второй фирмы.

6. Формула Бернулли

Вероятность продажи акций с прибылью через год после покупки равна 0,8. Независимо было продано 5 акций. Найти вероятность того, что прибыль будет получена ровно с двух из них.

Решение

Обозначим p = 0,8 – вероятность выгодной продажи одной акции, q =

1 – p = 0,2 – вероятность невыгодной продажи одной акции через год после покупки. Тогда вероятность выгодной продажи ровно двух акций

P (2 )= C 2 p2q5-2		=	5!	0,820,23 = 0,0512.
5	5	2!×3!

Ответ: 0,0512

7. Приближения в схеме Бернулли

a. Вероятность того, что учебник неправильно переплетен, равна 0,002. В библиотеку поступило 500 учебников. Какова вероятность того, что среди поступивших учебников более 2 неправильно переплетенных.

Решение

Использовать формулу Бернулли невозможно из-за большого количества испытаний. Поскольку количество испытаний велико(500 учебников > 50), а успех редкий (0,002 < 0,1), можно использовать формулу Пуассона для оценки вероятности события.

Обозначим событие «среди поступивших учебников более 2 неправильно

переплетенных» как A. Тогда					событие, противоположное A (`A) – «среди
поступивших учебников не более2 неправильно переплетенных», является
суммой	событий B0			«среди	поступивших	учебников	нет	неправильно
переплетенных»,		B1	«среди		поступивших	учебников одиннеправильно
переплетенный»		и	B2	«среди	поступивших	учебников	два	неправильно

17

переплетены». Эти события несовместны, следовательно, выполняется соотношение

P( A) = P(B0 ) + P(B1 ) + P(B2 ) .

Вероятности событий P(B0), P(B1), P(B2) могут быть вычислены по формуле Пуассона

λ = 500×0,002 = 1

P(B0) = P500(0) = 10e–1/0! » 0,369; P(B1) = P500(1) = 11e–1/1! » 0,369; P(B2) = P500(2) = 12e–1/2! » 0,185.

Тогда

P( A) = 0,923 и P( A) =1 - 0,923 = 0,087 .

Ответ: 0,087.

b. Вероятность продажи акций по выгодной цене через год после покупки равна 0,8. Независимо было продано50 акций. Найти вероятность того, что прибыль будет получена i) ровно с 10 из них; ii) с 20 до 45 из них.

Решение

Использовать формулу Бернулли невозможно из-за большого количества испытаний. Поскольку количество испытаний велико(50), но успех не редкий (0,8 > 0,1), для расчета вероятности можно использовать локальную(i) и интегральную (ii) теорему Лапласа, где p = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2

i)

1

P50 (10) » j(x) » 0,0003;

50 ×0,8 ×0,2

j(x) =

1

e-x2 / 2

=

1

e-5,625

» 0,0007;

2π

2π

x =

10 - 50 ×0,8

»

- 30

»10,60.

ii)

50 ×0,8 ×0,2

2,83

k1

- np

20 - 50 ×0,8

x =

=

» -7,07;

1

npq

50 ×0,8 ×0,2

x2

=

k2

- np

=

45 - 50 ×0,8

» -1,77.

npq

50 ×0,8 ×0,2

18

Используя таблицу значений функции Лапласа (таблица в Приложении) и свойства функции Лапласа, получаем

P(20; 30)= F(x2 ) - F(x1 ) » F(-1,77) - F(7,07) = -0,4608 + 0,5 = 0,0392.

Ответ: i) 0,0003; ii) 0,0392.

8. Закон распределения дискретной случайной величины

Студент знает 15 из 20 вопросов зачета. В билете 3 вопроса. Найти закон распределения случайной величиныX – количества вопросов из билета, которые студент знает.

Решение

Перечислим возможные значения случайной величиныX : 0 (не знает ни один вопрос), 1, 2, 3 (знает все вопросы). Вычислим вероятности появления этих возможных значений:

P0

=

C 0

×C 3

=

15!

×

5!

×

3!17!

=

3 × 4 ×5

» 0,0088

15

5

;

C203

3!2!

20!

18 ×19 ×

20

0!15!

P =

C1

×C 2

=

15!

×

5!

×

3!17!

=

15 ×3 × 4

×5

» 0,1316

15

5

;

1

C203

1!14!

3!2!

20!

18 ×19 × 20

P2

=

C 2

×C1

=

15!

×

5!

×

3!17!

=

14 ×15 ×3×5

» 0,4605

15

5

;

C203

20!

18 ×19 × 20

2!13! 1!4!

P =

C 3

×C 0

=

15!

×

5!

×

3!17!

=

13×14 ×15

» 0,3991

15

5

3

C203

3!12!

0!5!

20!

18 ×19 ×

20

.

Проверим, что события образуют полную группу(т. е., учтены все возможные значения случайной величиныX – количества вопросов из билета, которые студент знает)

P0+ P1+ P2+ P3 = 1.

Составим закон распределения вероятностей в виде таблицы:

X	0	1	2	3
P	0,0088	0,1316	0,4601	0,3991

Эта таблица является ответом.

9. Произвольный закон распределения непрерывной случайной величины

a. Функция распределения непрерывной случайной величины задается формулой

19

ì0, x £ 0;

	ïx2
	F (x) = í		, 0 < x £ 2;
		4
	ï		1, x > 2.
	ï
	î

Найти плотность распределения непрерывной случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение

Функция распределения непрерывной случайной величины и е плотность распределения связаны соотношением: f(x) = F'(x). Тогда

	ì		0, x £ 0;
	ïx		, 0 < x £ 2;
	f (x) = F '(x) = í
		2
	ï		0, x > 2.
	î

Математическое ожидание вычисляется как

¥	0	2	x	¥	x3			2
M ( X ) = òxf (x)dx = òx ×0dx + òx ×				dx + òx ×0dx =
			2		6
-¥	-¥	0		2				0

а дисперсия непрерывной случайной величины

¥

¥

=4 ,

3

D( X ) = ò(x - M ( X ))2 f (x)dx = òx2 f (x)dx - M ( X )2 =

		-¥						-¥
0	2	2	2		x	¥	2	æ	4 ö2			x4			2
= òx		×0dx + òx		×		dx + òx		×0dx - ç		÷	=
					2				3			8
-¥		0				2		è		ø					0

-16 = 2 .

9 9

	ì		0, x £ 0;
	ïx		, 0 < x £ 2;
	Ответ: f (x) = í
		2
	ï		0, x > 2.
	î

M(X) = 4/3; D(X) = 2/9.

20

b. Плотность распределения непрерывной случайной величины задается функцией

	ì	0, x £ -1;
f (x) =	ïC(1- x2 ), -1 < x <1;
	í
	ï	0, x ³1.
	î
Найти постоянную C, функцию		распределения случайной величины,

вероятность попадания в интервал (–3; 0,5).

Решение

Для нахождения постояннойC воспользуемся условием нормировки плотности распределения непрерывной случайной величины:

¥

ò f (x)dx =1.

-¥

Тогда

¥

-1

1

2

¥

æ

x3 ö

1

4C

ò

f (x)dx =

ò

0dx +

ò

C(1 - x

)dx +

ò

0dx = C

ç

÷

=

=1 Þ

ç x -

÷

-¥

-¥

-1

1

è

3 ø

-1

3

C =

3

.

4

Плотность

распределения

непрерывной

случайной

величины и ее

функция распределения связаны соотношением

x

F (x) = ò f (x)dx .

-¥

x

1) пусть x ≤ –1. Тогда F (x) = ò0dx = 0 ;

-¥

1

3 x

(1- x

2

)dx =

3

æ

x3

2

ö

2) пусть –1 < x < 1. Тогда

F(x) =

ò

0dx+

ò

çx -

+

÷

;

4

4

ç

3

3

÷

-¥

-1

è

ø

	1	3	1	+¥
	3) пусть x ³ 1. Тогда F (x) = ò0dx +		ò	(1- x2 )dx + ò0dx =1.
		4
	-¥		-1	1

21

Вероятность попадания в заданный интервал вычисляется как

0,

5

-1

0,5

3

P(-3 < X < 0,5) = ò f (x)dx = ò0dx + ò

(1 - x2 )dx =

4

-3

-3

-1

3

æ

x3 ö

0,5

27

=

ç x -

÷

=

.

4

ç

3

÷

32

è

ø

-1

Ответ: C = 3/4; P(–3 < X < 0,5) = 27/32;

ì

0, x £ -1;

ï

3

æ

x

3

2

ö

ï

ç

÷

F (x) = í

+

4

ç x -

3

3

÷, -1 < x < 1;

ï

è

ø

ï

1, x ³ 1.

î

10. Равномерное распределение случайной величины

Случайная величина X распределена

равномерно на отрезке[–1; 4].

Записать ее функцию распределения, найти M(X) и D(X).

Решение

Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

ì0, x < a;

ï
ïx - a		, a
F (x) = í
ïb - a

ïî1, x > b.

ì0, x < -1;

ï
ïx +1
£ x £ b; = í			, -1	£ x £ 4;
	5
ï

ïî1, x > 4.

Математическое	ожидание	равномерно	распределенной	случайной
величины

M(X) = (b + a)/2 = (4 – 1)/2 = 1,5.

Дисперсия равномерно распределенной случайной величины

D(X) = (b – a)2/12 = (4 + 1)2/12 = 25/12.

22

ì0, x < -1
ï
ïx +1		, -1	£ x £ 4 ; M(X) = 1,5; D(X) = 25/12.
Ответ: F (x) = í	5
ï

ïî1, x > 4

11. Нормальное распределение случайной величины

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание и дисперсия, соответственно, равны: M(X) = 10, D(X) = 16. Найти вероятность попадания X в интервал (2;13).

Решение

Вероятность попадания в интервал (α; β) нормально распределенной случайной величины

	æb - a ö			æ a - a ö
	P(a < x < b) = Fç		÷	- Fç		÷,
		s			s
	è		ø	è		ø

де M(X) = a, D(X) = s2, F(x) – функция Лапласа (см. таблицу значений функции Лапласа в Приложении). Тогда

æ

13 -10 ö

æ

2 -10

ö

P(2 < x <13) = Fç

÷

- Fç

÷

=

16

16

è

ø

è

ø

= F(0,75) + F(2) » 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.

Ответ: » 0,75.

12. Показательное распределение случайной величины

Случайная непрерывная величинаX распределена по показательному закону с λ = 0,2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение больше 2.

Решение

Вероятность попадания в интервал(α; β) (α, β>0) показательно распределенной случайной величины

P(α < x < β) = e-λα - e-λβ .

Тогда

P(x > α) = lim(e-λα - e-λβ )= e-λα , P(x > 2) = e-0, 2×2 » 0,67 .

⮥

Ответ: » 0,67.

23