КУРС сопромата с примерами

3. НАПРЯЖЕННО–ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения, вызывающие линейные и угловые деформации.

3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Напряженное состояние – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку.

Напряжение – величина, характеризующая интенсивность внутренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий, то есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в окрестности рассматриваемой точки.

Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагрузку. На-

пряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие: по нормали к сечению σ и в плоскости сечения τ, причем p2 = σ2 + τ2.

Напряжение нормальное σ – перпендикулярное к сечению.

		y	σy		Напряжение касательное τ – дейст-
	τyz		τyx		вующее в плоскости к сечению.
				τxy	Обозначение индексов при напряже-
	dy τzy
					ниях: первый соответствует площадке, нор-
	σz			σx	маль к которой совпадает с направлением
		τzx	τxz		оси (адрес площадки); второй указывает на-
	z			x	правление напряжений. Нормальные на-
					пряжения имеют только первый индекс.
	dx			dz	Правила знаков
	Рис. 3.1. Нормальные и каса-
					Нормальные напряжения вызывают уд-
	тельные напряжения, дейст-
	вующие по граням элементар-				линение или укорочение граней параллеле-

ного параллелепипеда	пипеда. Растягиваю-	+σ		+σ
щие напряжения считают положительными.
Касательные напряжения вызывают смещение
граней, их сдвиг, изменение углов прямых на тупые и
острые. Касательное напряжение положительно, ес-		τ
ли изображающий его вектор стремится вращать		+		+τ

грань по ходу часовой стрелки.

Напряженное состояние характеризуют тензором напряжений. Тензор (от лат. tensus напряженный, натянутый) – величина особого

рода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц.

30

В первой строке тензора ставят напряже-			σ			τ			τ
ния на первой площадке (х); во второй – на					x		xy			xz
	T		τ						τ
площадке у; в последней строке – на площадке		=		yx		σ		y		yz
z. Тензор содержит девять компонентов.	σ
Параллелепипед, выделенный в окрестно-			τzx			τzy
									σz
сти рассматриваемой точки, должен находиться

в равновесии при действии сил, приложенных к его граням. Нормальные силы, приложенные к граням параллелепипеда, взаимно уравновешены и, следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z, можно получить следующие три равенства:

τxy = τyx ; τyz = τzy ; τxz = τzx .

Эти равенства называют законом парности касательных напря-

жений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку.

Вследствие закона парности касательных			σ			τ			τ
напряжений тензор становится симметричным					x		xy			xz
	T		τ						τ
относительно главной диагонали. Вместо девя-		=		xy		σ		y		yz
ти компонентов независимыми оказываются	σ
только шесть.			τxz			τyz			σz
С изменением ориентации параллелепи-

педа в пространстве выделенного объема напряженного тела соотношение между нормальными и касательными напряжениями будет изменяться. Следовательно, и запись тензора для одного и того же напряженного со-

стояния будет различной.

n

ℓ

Примером сказанного могут служить разные

варианты описания одного и того же вектора R на

p

R o

плоскости в зависимости от выбранной системы

координат (рис. 3.3). В системе

k, ℓ: R(3, 4); в сис-

теме m, n: R(4, 3); в системе o, p: R(5, 0). Очевидно,

m

последний вариант описания более удобен, по-

k

скольку одна из проекций вектора равна его длине,

а другая – равна нулю.

Рис. 3.2. Варианты опи-

сания вектора R в раз-

Поэтому необходимо найти такое положение

ных системах коор-

элементарного объема, чтобы количество дейст-

динат

вующих по его граням напря-

σ1

0

0

жений было минимальным. Можно найти такую ори-

T

ентацию параллелепипеда, при которой по его граням

=

0

σ

2

0

σ

действуют только нормальные напряжения (рис. 3.3).

0

0

σ3

Количество независимых компонент тензора в этом случае уменьшается до трех.

31

Главные площадки – площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют.

Главные напряжения – нормальные напряжения, действующие по главным площадкам.

Главные напряжения –					нормальные
напряжения,		принимающие экстремальные
значения.
		σ2		σ2
	σ1			σ1		σ1
				σ3
а			б		в

Рис. 3.4. Виды напряженного состояния: а – линейное (одноосное); б – плоское (двухосное); в – объемное (трехосное)

y

σ2

x

z

σ3 σ1

Рис. 3.3. Ориентация элементарного параллелепипеда, при которой по граням действуют только нормальныенапряжения

Главные напряжения нумеруют в порядке убывания σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 .

3.2. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Рассмотрим простейший случай нагружения – растяжение (рис. 3.5, а). Площадь Аα наклонного сечения (рис. 3.5, в) больше площади А поперечного сечения (рис. 3.5, б):

Aα = cosAα .

Полное напряжение pα в наклонном сечении (рис. 3.5, в) меньше нормального напряжения σ в поперечном сече-

нии (рис. 3.5, б):

pα =	N	;	σ =	N .
	Aα			A

Полное напряжение pα раскладывают на проекции (которые всегда меньше) σα

иτα (рис. 3.5, г)

σα = pα cos α =

τα = pα sin α =

	m		n
F			F	а
m	m	n	n	n
						σα
	N α		pα N		α
σ				α		pα
A		Aα			n	τα
б m		в	n	г

Рис. 3.5. Примерлинейногонапряженногосостояния

	N		cos α =	N cos2	α = σ cos2 α;
	A
				A
	α
	N	sin α =		N cos α sin α =		σsin 2α.
A				A		2
	α

32

	Таким образом	σα = σ cos2 α,		(3.1)
		τα =	σsin 2α.	(3.2)
			2

Выводы:

а) любое из значений напряжений на наклонных площадках pα, σα, τα меньше напряжения σ в поперечном сечении, следовательно, не столь опасны;

б) напряжения на наклонных площадках pα, σα, τα зависят от угла α наклона площадки, а таких площадок в нагруженном теле можно выделить бесчисленное множество, значит, и вариантов описания одного и того же напряженного состояния множество.

Для практики интересны площадки, на которых возникают экстремальные значения напряжений. Для их отыскания приравнивают нулю первую производную нормального напряжения по углу α.

Экстремальные нормальные напряжения

d σα
d α	= −2σ cos α sin α = −σ sin 2α;
d σα		α = 0.
d α	= 0 при sin 2α = 0; sin α = 0;

На этой площадке τα=0 = 0; σmax= σ. Следовательно, эта площадка являет-

ся главной.

Экстремальные касательные напряжения

d τα	=	σ	cos 2α;
d α		2
d τα				D		D
	=	0 при cos 2α = 0; 2α = 90			;	α = 45 .
d α

На площадке под углом α = 45° τmax= σ/2. Полученным соотношением объясняется связь между допускаемыми напряжениями: [τ]= 0,5[σ], которую используют в расчетах при кручении и сдвиге.

σ1		σ1		0	0		τ			σ3		0		0	0		τ
	Тσ =		0	0	0			σ			Тσ =		0	0	0		σ
			0	0	0		σ1						0	0	−σ3		σ3

Рис. 3.6. Изображение одноосного растяжения (слева), сжатия (справа) и соответствующие им тензоры напряженийи круги Мора

33

		3.3. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
			σ2					Если к выделенному эле-
σ2					σα			менту приложено только σ1,	то
		σ1				α		напряжение на наклонной пло-
	σ1
					τα			щадке
								σ′α = σ1 cos2 α.
					α+90°			Если действует только σ2, то
								σ′α′ = σ2 cos2 (α+90D )= σ2 sin2 α.
Рис. 3.7. Нормальные и касательные напря-
жения при плоском напряженном состоянии								В случае, когда действуют	оба

главных напряжения σ1 и σ2, то, пользуясь принципом суперпозиций, получим

σ	α	= σ cos2 α+σ				2	sin2	α.	(3.3)
		1
Для касательных напряжений только от σ1 или только от σ2,
τ′α = σ21 sin 2α;				τ′α′ = σ22 sin 2(α+90D).
В случае действия обоих главных напряжений
		τα	=	σ1 −σ2	sin 2α.				(3.4)
			2

Экстремальные значения нормальных и касательных напряжений находят, приравнивая к нулю первые производные напряжений по углу

	dσα	= 0 и	dτα	= 0 .
	d α		d α

Получают σmax = σ1 при α = 0, τ = 0. Это – главная площадка.

	τmax =	σ1 −σ2	при α = 45D .
		2

Площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные значения, называют площадками сдвига.

3.4. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

β

Свойство суммы нормальных напряжений

σβ

Для площадки, ориентированной под углом

σα

β = α + 90°

α

σ

β

= σ cos2

β+ σ

2

sin2

β;

1

(α+90D).

σ1

σ

β

= σ cos2

(α+90D)+ σ

2

sin2

1

σ2

σ

β

= σ sin2

α+ σ

2

cos2 α.

(3.5)

1

34

Сложив σα и σβ

= σ cos2 α+σ

sin2 α+σ sin2

cos2 α

σ

α

+σ

β

2

α+σ

2

1

1

и преобразовав, получим: σα +σβ = σ1 +σ2 = const .

(3.6)

Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно

перпен-дикулярным площадкам, инвариантна по отношению к наклону

этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Свойство второе

τβ = σ1 −σ2 sin 2β;

τβ =

σ1 −σ2 sin 2(α+90D);

τβ = − σ1 −σ2 sin 2α = −τα .

2

2

2

Получен закон парности касательных напряжений (см. 3.1)

τβ = −τα.

(3.7)

3.5. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ. КРУГ МОРА

D

Известны значения

главных

напря-

τ

жений σ1 и σ2,

требуется найти напряжения

α

на

наклонных

площадках.

В

системе

τ

А

α

C

координат σ – τ построен круг диаметром

E

0

2α

В σ

АВ, равным разности главных напряжений

σ2

АВ = 0B – 0A = σ1 – σ2 (рис. 3.8). Из левой

σβ

F

точки (А) пересечения круга с осью

σα

абсцисс

проведен

луч

под

углом

α.

Абсциссой точки D пересечения

луча

с

σ1

кругом определяется нормальное напря-

Рис. 3.8. Круг Мора для опреде-

жение σα на наклонной площадке,

ления напряжений на наклон-

ординатой точки D – касательное τ .

ных площадках

Напряженное

состояние

α

перпенди-

кулярной площадки определяется координатами точки F(σβ, –τα). Радиус

круга равен полуразности главных напряжений

CD = CB = σ1 −σ2 .

2

Абсцисса центра круга – среднее арифметическое главных напряжений

0C =

σ1 + σ2 .

2

Нормальное напряжение σα на наклонной площадке равно сумме отрезков

σα = 0E = 0C + CE = 0C + CD cos2α = σ1 + σ2 +

σ1 − σ2 cos2α;

σ1

σ1 cos2α +

σ2

σ2 cos2α;

2

2

σα

=

+

−

2

2

2

2

σα

=

σ1

(1 + cos2α)+

σ2

(1 − cos2α).

2

2

2 cos2α

2 sin2α

35

σα = σ1 cos2 α+σ2 sin2 α.

(3.3)

Касательное напряжение на наклонной площадке τα = DE = CD·sin 2α

	τα =	σ1 −σ2	sin 2α.	(3.4)
		2

Приведенные формулы по виду и нумерации совпадают формулами в §3.3. На практике нахождение напряжений на наклонных площадках иногда называют прямой задачей.

200

B 400

C α

n

Пример 3.1

Известны два главных напряжения (МПа), приложенных к элементарному параллелепипеду. Требуется найти нормальные и касательные напряжения, действующие на площадке, наклоненной под заданным углом α = –30°.

Решение аналитическое

Руководствуясь соотношением σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, присваиваем индексы главным напряжениям: σ1 = 200 МПа, σ2 = 0, σ3 = –400 МПа.

σα = σ1 cos2 α+σ2 sin2 α = 200 cos2 (−30D)+(−400) sin2 (−30D)= 50 МПа.

σ −σ		200 −(−400)		sin 2(−30D)= −260 МПа.
τα = 1 2	2 sin 2α =
		2

Решение графическое

В координатных осях σ – τ откладываем напряженное состояние площадок В и С, выраженное парой координат (σ,

ττ): В(–400; 0); С(200; 0). Эти точки принадлежат

						диаметру круга. Из левой точки пересечения круга
В	0			С		с осью абсцисс проводим луч под углом α = –30°.
						Координаты точки пересечения луча с кругом –
	α				σ
				τ		искомые напряжения σα и τα.
				α
						Вывод. Аналитическим и графическим
				σα		способами найдены нормальные и касательные
						напряжения, действующие на наклонной площадке.

Результаты решений совпали.

3.6. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

По сравнению с материалом, изложенным в § 3.5, такую задачу иногда называют обратной, поскольку на практике чаще встречается ситуация, при которой напряжения на наклонных площадках известны (например, по результатам тензометрических испытаний), а главные напряжения требуется найти. Напряженное состояние грани D (рис. 3.9, а) характеризуется парой координат в системе σ – τ (рис. 3.9, б): D (σx, τxy). Аналогично для грани F (σy, τyx).

36

Прямая DF – диаметр круга с центром в точке С. Круг отсекает на оси абсцисс максимальное σ1 и минимальное σ2 напряжения:

σ1 = 0С +СВ; σ2 = 0С − АС.

σy

D σx

F τxy

τyx

а

τyx

τ	σ2		D
0 А		C	E
			2α

F

σy Р σx

σ1

σ1

τxy

В σ

σ2

б

Рис. 3.9. Напряженное состояние на произвольно выделенных площадках (а) и построение круга Мора (б) для определения величины главных напряжений и положения главных площадок

Расстояние до центра круга

0С =

σx +σy

.

2

Радиус круга СA =CB = CD =

CE2 + DE2 .

Катеты треугольника CDE: CE =

σx − σy

;

DE = τxy .

2

Радиус круга – гипотенуза треугольника CDE

σ

x

− σ

y

2

2

CA = CB =

2

+ τxy .

Таким образом, величина главных напряжений

σ

x

+

σ

y

σ

x

−

σ

2

2

σmax,min =

±

y

(3.7)

+ τxy .

2

2

Положение главных площадок находим с использованием полюса Р. Через точку D на круге проводим вертикальную линию (штриховка), соответствующую вертикальному положению грани D (рис. 3.9, а). Для грани F, ориентированной горизонтально, проводим горизонтальную линию до пересечения с кругом. Точка пересечения этих линий является полюсом Р. Соединив полюс Р с точкой В, найдем положение главной площадки σ1, а с точкой А – главной площадки σ2.

Направление главного напряжения определяют тангенсом угла 2α

	tg 2α =	DE	=			τxy				.
		CE			σ	x	−σ	y
							2
			37

Для рассматриваемого случая главное напряжение σ1 повернуто по

ходу часовой стрелки относительно большего алгебраически напряжения

σх. Следовательно, в формуле должен быть знак минус:

2τxy

tg 2α = − σx −σy .

(3.8)

Примечание. Согласно приведенной формулы значение аргумента

2α функции тангенса не может превышать 90°, следовательно, значение

угла α не может превышать 45°. Из этого следуют правила:

направление большего из главных напряжений откладывают от

большего из заданных напряжений σх, или σу;

положительное значение угла α откладывают против хода часовой

стрелки;

направление σmax всегда проходит через те две четверти осей

координат, к которым сходятся стрелки τxy и τyx;

если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то

полученные напряжения обозначают σ1 и σ3; если отрицательны оба, то σ2 и σ3.

Пример 3.2

Известны нормальные и каса-

σx = –200 МПа;

250

тельные напряжения, действующие

σy = 300 МПа;

на двух парах граней выделенного

τxy = –250 МПа;

200

элементарного

объема

материала.

τyx = 250 МПа.

Требуется

определить

положение

300

главных площадок и величину главных напряжений.

Решение аналитическое

Величины главных напряжений

σx +σy

σx −σy 2

2

−

200 +

300

−200 −300 2

σmax,min =

±

=

±

2

;

2

2

+

τxy

2

2

+ (−250)

σmax =50 +354 = 404 МПа =σ1;

σ2 = 0;

σmin =50 −354 = −304 МПа = σ3 .

Индексы главным напряжениям присваиваем исходя из соотношения

между ними σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , а также учитывая, что одно из трех напряжений

на площадке, обращенной к зрителю, равно нулю.

α

Положение главных площадок

−2τxy

−2(−250)

2α = −45,0D; α = −22,5D.

tg 2α = σx −σy =

−200 −300 = −1,0;

σ3

Изображаем площадку под действием главных напряже-

σ1

ний. Знак угла α отрицательный, поэтому угол откладыва-

38

ем по ходу часовой стрелки от вертикали, то есть от направления большего

алгебраически из заданных напряжений (σу направлено вертикально). Ли-

ния действия максимальных главных напряжений σ1 проходит через I и III

квадранты, где расположены ребра параллелепипеда, к которым стягива-

ются касательные напряжения τ, стремящиеся сдвинуть грани так, чтобы

преобразовать квадрат

в ромб

.

Решение графическое

В координатной системе σ – τ, используя выбранный

τxy

масштаб,

отложим

напряженное

состояние

граней

D(σx, τxy) и F(σy, τyx), то есть D(–200; –250) и F(300; 250).

D

Отрезок

DF

–

F

σx

диаметр

круга;

τ

τyx

σy

точка

пересече-

P

300

F

ния отрезка DF

200

с осью абсцисс – центр круга. Рас-

100

стояниями от начала координат до

σ

σ3

точек

пересечения

окружности

с

100

200

300

σ1

осью абсцисс определяются вели-

σ3

чины главных напряжений.

Полюс

D

σ1

Р находим, продлевая до пересече-

σ3

σ1

ния с окружностью линий, соответ-

ствующих положению грани D (вертикальная) и грани F (горизонтальная).

Линия, соединяющая полюс Р с точкой, соответствующей σ1, определяет

положение первой главной площадки, а с точкой, соответствующей σ3 –

положение второй главной площадки.

Вывод. Аналитическим путем и графическим построением определена ориентация главных площадок в выделенном объеме нагруженного тела. Найдены значения главных нормальных напряжений. Результаты аналитического и графического решения совпали.

3.7. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

При объемном напряженном состоянии, когда σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≠ 0 в

окрестности исследуемой точки выделяют элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам. Через кубик проводят площадку (заштирихована) параллельно σ3 (рис. 3.10, а). Напряжения σα, τα на этой площадке зависят только от σ1 и σ2. Используют приемы и формулы (3.3–3.8) для плоского напряженного состояния. Диаметр круга напряжений LI (рис. 3.11) равен разности σ1 – σ2. Аналогично для площадки, параллельной σ1 (рис. 3.10, б); диаметр круга напряжений LII определяется разностью σ2 – σ3. То же для площадки, параллельной σ2 (рис. 3.10, в).

Для произвольно ориентированной площадки D напряжения определяют по формулам

39