КУРС сопромата с примерами

[σ

]=

σвр

=

250

= 83 МПа;

[σ

]=

σвс

=

980

= 327 МПа.

р

[nв]

3

с

[nв]

3

Согласно первой гипотезы прочности

σэкв,I = σ1 = 54,7 МПа < [σр]= 83 МПа;

σэкв,I = σ3 = 70 МПа < [σр]= 327 МПа.

Прочность обеспечена.

Согласно второй гипотезы прочности

σэкв,II = σ1 −μ(σ2 +σ3 )= 54,7 −0,25(−34,7 −70)= 80,9 МПа < [σр]= 83 МПа;

σэкв,II = σ3 −μ(σ1 +σ2 )= −70 −0,25(54,7 −34,7)= −75 МПа < [σс]= 327 МПа.

Прочность обеспечена

Согласно третьей гипотезы прочности

σэкв,III = σ1 −σ3 = 54,7 −(−70)=124,7 МПа > [σр]= 83 МПа.

Прочность недостаточна.

Согласно четвертой гипотезы прочности

σэкв,IV = 12 [(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1 )2 ]=

= 12 [(54,7 +34,7)2 + (−34,7 +70)2 + (−70 −54,7)2 ]=111 МПа > [σр]= 83 МПа.

Прочность недостаточна.

Согласно теории прочности Кулона-Мора

σ		= σ	−	σвр	σ		= 54,7 −	250	(−70)= 72,6 МПа < [σ		]= 83 МПа.
								980
	экв,V	1		σвс		3				р

Прочность обеспечена

Вывод. Рассмотрены варианты использования различных теорий прочности при выполнении поверочного расчета элемента из хрупкого материала. Третья и четвертая теории прочности, обычно применяемые для пластичных материалов, дали отрицательный ответ.

50

4. СДВИГ, СМЯТИЕ

Сдвиг – простой вид деформации, характеризующийся взаимным смещением параллельных слоев материала под действием приложенных сил при неизменном расстоянии между слоями.

При сдвиге в поперечном сечении из шести внутренних усилий действует только одно – поперечная си-

ла Q (рис. 4.1).

B

Q

Q

Рис. 4.1

Порядок вывода расчетных формул в сопротивлении материалов

При выводе любых аналитических зависимостей в сопротивлении материалов рассматривается существование малого элемента тела с целью последовательного определения его перемещений, деформаций и напряжений в нем. Проинтегрировав установленные зависимости по всему объему тела, находят связь перемещений, деформаций и напряжений с внешними силами.

Всякий расчет состоит из четырех этапов:

статический анализ – устанавливает связь напряжений с внешними нагрузками путем интегрирования уравнений равновесия элемента по всему объему тела;

геометрический анализ – устанавливает связь между перемещениями и деформациями малого элемента тела;

физический анализ – устанавливает связь между деформациями элемента и напряжениями в нем. При упругой деформации используется закон Гука;

синтез установленных зависимостей. Подставляя найденные на трех предыдущих этапах выражения одно в другое и упрощая их, получают окончательные расчетные формулы.

Для установления связи внутренних усилий с напряжениями и деформациями при сдвиге рассмотрим несколько этапов.

I. Статическая сторона задачи – условие равновесия (рис. 4.2)

∑у = 0; Q = ∫τ d A.

A

В действительности, касательные напряжения распределяются по сечению неравномерно. Однако, если принять допущение о равномерном распределении напряжений, что широко используется на практике, то

Q = τ A, откуда	τ =	Q .	(4.1)
		A

51

II. Геометрическая (деформационная) сторона задачи

γ

В элементе В, выделенном на рис. 4.1,

S – абсо-

лютный сдвиг;

γ – относительный сдвиг

Q

γ ≈ tg γ =

S

(4.2)

S

a .

Q

III. Физическая сторона задачи

a

В области упругих деформаций справедлив закон Гука

τ = G γ .

(4.3)

IV. Математическая сторона задачи

Подставляя (4.1) и (4.2) в (4.3), получим закон Гука для сдвига

Q

= G

S , откуда

S =

Q a

(4.4)

A

a

G A

y

Произведение G·A – жест-

кость сечения при сдвиге;

Q

G – модуль сдвига, модуль

касательной

упругости,

модуль

dA

упругости

второго

рода.

Для

τ

τ

стали

в

расчетах

принимают

Q

A

G = 80 ГПа = 80·104 МПа.

Установлена

связь

между

Рис. 4.2. Внутренние усилия и напряжения,

упругими постоянными

возникающие в сдвигаемых слоях

E

G = 2(1 +μ),

(4.5)

где μ – коэффициент поперечной деформации (Пуассона)

Напряженное состояние

τ

C(σx, τxy)

По

граням

выделенного

на рис.

4.1

элемента В действуют только касательные

а

0

напряжения τ; нормальные напряжения σx =

σ3

σ

σ1

0, σy = 0. Графическим построением (рис. 4.3,

Р

а) и аналитическим решением по формулам

σ3

σ1

D(σy, τyx)

−2τxy

−2τxy

D

τyx

D

tg 2α =

σx −σy

=

0

= −∞; 2α = −90 ;

C

б

σ

=

σ

x

+ σ

y ±

σ

x

−

σ

2

+ τ2 ;

τxy

max, min

y

2

2

xy

σ3

σ1

σmax = τxy = σ1;

σ2 = 0;

σmin = −τxy = σ3

Рис. 4.3. Построение круга

получаем: главные площадки ориентирова-

Мора

для

определения

ны под углом 45° к направлению сдвигаю-

главных площадок и вели-

щих напряжений

(рис.

4.3,

б),

величины

чины главных напряжений

52

б

σсм

Рис. 4.4. Характер распределения напряжений в зоне контакта шарика с кольцом (а)

и листа с заклепкой (б)

главных нормальных напряжений равны касательным напряжениям.

Имеет место чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния, при котором по граням элемента действуют только касательные напряжения.

Допускаемые напряжения. Расчет на прочность

Эквивалентные напряжения по I гипотезе прочности:

σэкв,I = σ1 ≤[σ], но σ1 = τ, следовательно [τ]=[σ]. Соотношение справедливо для хрупких материалов.

Эквивалентные напряжения по III гипотезе прочности:

σэкв,III = σ1 −σ3 ≤[σ], но σ1 = τ, σ3 = −τ. Тогда 2[τ]≤[σ], откуда

[τ]= 0,5[σ].

Эквивалентные напряжения по IV гипотезе прочности:

σэкв,IV = 12 [(σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2 ]≤ [σ].

Подставив σ1 = τ , σ2 = 0 и σ3 = –τ, получим
σэкв,IV = 12 [σ12 + σ32 +(σ3 −σ1 )2 ]= 12 [τ2 + τ2 +4τ2	]= τ 3 ≤ [σ],

откуда

F

σсм

F

[τ]= [σ3]= 0,577[σ].

Таким образом, при расчете деталей из

апластичных материалов, работающих на срез (болты, заклепки, шпонки…) условие прочности может быть записано так:

τ =	Q	≤ [τ], где [τ]= (0,5 −0,6)[σ]. 4.6)
	A

Смятие – вид местной пластической деформации, возникающей при сжатии твердых тел, в местах их контакта.

Смятие материала начинается в случае,

когда интенсивность напряжений достигает величины предела текучести материала. Размеры смятого слоя зависят от величины, характера и времени воздействия нагрузки, а также от температуры нагрева сжимаемых тел. Смятие наблюдается не только у пластичных, но и у хрупких материалов (зака-

ленная сталь, чугун и др.). Смятие возникает в соединениях (болтовых, за-

53

клепочных, шпоночных и др.), в местах опирания конструкций и в зонах контакта сжатых элементов. Смятие широко используется для создания заклепочных, врубовых и других плотных соединений; является начальной стадией таких процессов холодной и горячей обработки металлов, как прокатка, вальцовка, ковка. Величину напряжений смятия в конструкциях обычно ограничивают допускаемым напряжением смятия, которое определяется характером соприкасающихся поверхностей, свойствами используемого материала и его ориентацией относительно действующих нагрузок (например, в случае древесины – вдоль или поперек волокон).

Пример

Подобрать диаметр заклепок, соединяющих накладки с листом; проверить прочность заклепок на смятие и листов на разрыв. Материал листов и заклепок – прокат из стали Ст3.

Дано: F = 8 кН; t1 = 5 мм; t2 = 3 мм; b = 50 мм; σт= 235 МПа.

Решение 1. Определение диаметра заклепок

Допускаемые напряжения, рассчитанные на основе механической характеристики – предела текучести и нормативного коэффициента запаса:

[σр]= σт [nт]= 2351,5 =156,7 МПа ≈160 МПа;

[τ]= 0,6[σ]= 0,6 160 = 96 МПа;

[σсм]= (2 ÷2,5)[σр]= (2 ÷2,5) 160 = (320 ÷400)МПа.

Допускаемые напряжения согласно рекомендациям табл. П2:

[σр] = 125 МПа; [τср] = 75 МПа; [σсм] = 190 МПа.

Из двух значений допускаемого напряжения на срез (96 и 75 МПа) принимаем меньшие значения допускаемого напряжения [τср] = 75 МПа. Из условия прочности при срезе

τ = Q ≤ [τ] ,

Aср

определяем требуемую площадь поперечного сечения заклепок.

Стержень заклепки подвергается перерезыванию в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается вправо. Суммарная площадь среза

t2 t1 t2

d

F/2

F/2

	A	≥	Q		=	πd 2	m n,	d ≥	4Q		,
			[τ]			4			π m n [τ]
	ср

где m = 2 – количество плоскостей среза заклепки;

F

b

54

n = 3 – количество заклепок.

4 8000

d ≥

=0,00476 м. Принимаем d = 5 мм.

π 2 3 75 106

d

2. Проверка заклепок на смятие

2

Давление, передающееся на поверхность за-

F/

клепки от листа, распределяется неравномерно, по

сложной зависимости, изменяясь от нуля до значи-

t

тельных величин (рис. 4.4). На практике, чтобы вы-

F

срез

числить условное напряжение смятия необходимо

разделить силу, приходящуюся на заклепку, на пло-

F/2 Асм

щадь диаметрального сечения.

Эта площадь пред-

смятие

ставляет собой прямоугольник, одной стороной ко-

торой служит диаметр заклепки, другая сторона рав-

на толщине листа, передающего давление на стер-

Рис. 4.5. Поверхности

жень заклепки. Так как толщина среднего листа

среза и смятия в закле-

меньше суммы толщин обеих накладок, то в худших

почном соединении

(наиболее опасных) условиях по смятию будет

именно средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие:

σ

см

=

F

≤ [σ

см

],

A

см

где

А

= d t

n = 5 5 3 = 75 мм2 .

см

1

Тогда

σсм =

F

= 8000 =106,7

Н

=106,7 МПа.

Aсм

мм2

75

Прочность на смятие обеспечена.

3. Проверка прочности листа на разрыв

Опасным считается сечением листа, проходящее через заклепочные отверстия; здесь рабочая ширина листа является наименьшей. Площадь сечения листа, ослабленного заклепочными отверстиями (площадь «живого» сечения)

Аразр = b t1 −n d t1 = t1(b −n d )=5(50 −3 5)=175 мм2;

σразр= 8000175 = 45,7 МПа, что меньше допускаемого

[σ] = 125 МПа.

Вывод. Из условия прочности на сдвиг по-

b

d

t1

Рис. 4.6. Определение площади «живого» сечения листа

добран диаметр двухсрезных заклепок. Условия прочности на смятие заклепок и разрыва листа выполняются.

55

5. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Кручение – вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Т. Остальные силовые факторы (N, Qy, Qz, My, Mz) отсутствуют.

Вал – брус, работающий на кручение.

Принято внешние силовые факторы называть вращающими или скручивающимимоментамииобозначатьМ; внутренниеусилия– крутящиммоментом

Т(отангл. torsion, torque)

Врасчетах на прочность и жесткость при кручении знак крутящего момента значения не имеет, но для удобства построения эпюр принято правило:

Крутящий момент считают положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса он стремится вращать сечение против хода часовой стрелки.

Положительный крутящий момент вызывает положительные касательные напряжения

5.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

	М1	I	М2	II	М3III	М4	М1	TI
						х		n
Т	+					ТIII
	–	ТI			ТII
						а		б

TIII М4

n х

в

Рис. 5.1. Схема нагружения вала и эпюра крутящих моментов (а); определение внутреннего усилия на участке I (б); то же на участке III (в)

На рис. 5.1, б: ∑M x = 0;	TI + M1 = 0;	TI = −M1.
На рис. 5.1, в: ∑M x = 0;	TIII − M 4 = 0;	TIII = M 4 .

Эпюра крутящих моментов – график изменения крутящих моментов по длине бруса.

56

Во всех случаях эпюры внутренних усилий строят на осевой линии бруса. Величину силового фактора откладывают по нормали к оси.

5.2. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

Теория брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях.

Поперечные сечения бруса плоские до деформации остаются плоскими и в деформированном состоянии – гипотеза твердых дисков (Бернулли).

Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину. Поперечные сечения остаются круглыми.

Расстояния между поперечными сечениями вдоль оси бруса не изменяются.

Для установления связи напряжений с внутренними усилиями рассмотрим несколько этапов решения задачи.

I.Условие равновесия – статическая сторона задачи (рис. 5.2, в).

τ·dA – элементарное усилие;

ρ·(τ·dA) – элементарный крутящий момент;

Т– равнодействующий момент касательных напряжений

	T = ∫ρτd A .	(5.1)
	A
	ρ
φ	а	dφ γmax
M		б
	r
x	dx
	dS	dx
ρ
T	в	г
dA		τmax
τ·dA

Рис. 5.2. Брус под действием внешнего скручивающего момента М (а); деформация элементарного участка dx (б); внутреннее усилие Т и напряжения τ в поперечном сечении (в); распределение касательных напряжений τ в поперечном сечении (г)

57

Для нахождения сдвигающих напряжений τ рассмотрим физическую сторону задачи.

II. Физическая сторона задачи – закон Гука при сдвиге
τ =G γ,	(5.2)

связывающий касательные напряжения τ с деформацией сдвига γ. Деформацию сдвига γ найдем, рассмотрев геометрическую сторону задачи.

III. Деформационная (геометрическая) сторона задачи

Левый торец бруса длиной х (рис. 5.2, а) под действием внешнего скручивающего момента М повернется на угол φ. В элементе длиной dx аналогичный угол dφ (рис. 5.2, б). Образующая цилиндра отклоняется от

исходного положения на угол γ. На поверхности элемента радиусом r угол

γпринимает максимальное значение

γmax ≈ tg γmax = dd Sx = rddxϕ.

Вцилиндре произвольного радиуса ρ внутри элемента угол γ:

d ϕ
γ =ρ d x .	(5.3)

Рассмотренные ранее этапы объединяет математическая сторона задачи.

IV. Математическая сторона задачи

Уравнение (5.1) подставляем в уравнение (5.3),

		τ = G ρ			d ϕ					(5.4)
					d x
а уравнение (5.4) – в уравнение (5.2):
T = ∫	2	G	d ϕ	d A = G			d ϕ	∫ρ	2	d A.
	ρ
			d x				d x
A								A

Обозначая ∫ρ2 d A = I p как полярный момент инерции (геометрическая

A

характеристика поперечного сечения), получим:

T = I pG	d ϕ	, откуда	dϕ	=	T	.	(5.5)
	d x
			dx		G I p

Относительный угол закручивания элементарного участка dφ/dx (5.5) подставим в (5.4):

τ= G ρGTI p

иполучим напряжение в произвольной точке сечения

τ =	T ρ	.	(5.6)
	I p
58

Закон распределения касательных напряжений – линейный. В центре τ = 0, так как ρ = 0, на периферии τ = τmax, так как ρmax = r (рис. 5.2, г).

5.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

	Принимая отношение	I p			=		I p	=Wp , условие прочности при кру-
		ρmax					r
	чении можно представить как		T
	τmax =					≤[τ],			(5.7)
			Wp

где Wp – полярный момент сопротивления поперечного сечения.

Для круглого сечения	I p =		πD4		Wp =	πD3		.
			32	,		16
				(1 −c4 ),				(1 −c4 ),
Для кольцевого сечения	I p =	πD4			Wp =	πD3
			32			16

где c = Dd – коэффициент пустотелости.

Если сечение некруглое (прямоугольное, треугольное, эллиптическое…), используют Iк, Wк, которые вычисляют по специальным формулам.

Допускаемое напряжение при кручении [τ] = (0,5–0,6)[σ]. Виды расчетов на прочность:

а) поверочный – вычисляют τmax и сравнивают его с [τ], определяя недогрузку или перегрузку в процентах, либо находят коэффициент запаса прочности и сравнивают его с нормативными значениями;

б) проектный – вычисляют диаметр вала D при известных значениях T

и [τ];

в) определяют допускаемый крутящий момент при известных диаметре вала D и допускаемом касательном напряжении [τ].

5.4. ДЕФОРМАЦИЯ ВАЛА ПРИ КРУЧЕНИИ

Из уравнения (5.5)

dϕ	=	T	(5.5)
		G I p
dx

находим угол закручивания элементарного участка

	d ϕ =			T			d x .
			G I p
	Угол закручивания всего вала	T
	ϕ = ∫					d x .
		G I p
	A
		59