математика ч 2
.pdfПодставляя найденную функцию в уравнение(4.2), получим снова уравнение с разделяющимися переменными:
du ×eγ( x) =g(x),= du g(x) ×e-γ( x)dx . dx
Интегрируем последнее равенство:
u = ò g (x) ×e-γ( x)dx + C .
Возвращаясь к исходной переменой y , получим решение исходного уравнения
(4.1):
y = u ×v =(ò g(x) ×e-γ( x)dx + C) ×eγ( x) .
Пример 1. Найти общее решение уравнения y¢ + |
|
y |
= |
1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
||||||||
Решение. Здесь |
p(x) = |
, g(x) = |
. Решение данного уравнения будем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
искать в виде y = u ×v , |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
тогда y¢ = u¢× v + v¢ ×u . Подставляя выражения y и y¢ в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
исходное уравнение, получим: |
u¢× v + v¢ ×u + |
u × v |
= |
|
1 |
. Функцию u выносим за |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
скобки: |
u¢× v + u × (v¢ + |
) = |
. Полученное уравнение |
|
равносильно двум |
урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
v¢ + |
= 0 |
|
– это |
|
уравнение |
|
|
|
с |
разделяющимися |
|
|
переменными. Имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v¢ = - |
v |
, |
или |
dv |
= - |
|
v |
. |
Разделим |
переменные |
dv |
= - |
|
dx |
. Интегрируем |
обе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
dx |
dv |
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
части равенства ò |
= -ò |
|
|
Þ ln |
|
v |
|
= -ln |
|
x |
|
. Отсюда v = |
1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Перейдём к решению второго дифференциального уравнения. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
u¢× v = |
1 |
. Подставим |
v = |
1 |
, |
тогда |
u¢× |
1 |
= |
1 |
. |
Сократим обе |
части |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
уравнения на 1 и получим u¢ = 1. Это уравнение с разделяющимися перемен- x
ными du = dx , общее решение которого имеет вид u = x + C .
Итак, запишем окончательное решение исходного дифференциального
уравнения: y = (x + C) × 1 . x
10
Пример 2. |
Найти частное решение уравнения |
|
|||||
|
y¢ + 2xy = 2x × e- x2 |
, y(0) = 1. |
(4.3) |
||||
Решение. |
Полагаем y = u ×v , |
тогда y¢ = u¢× v + v¢ ×u . После подстановки |
|||||
уравнение примет вид: u¢× v + u × (v¢ + 2x × v) = 2x × e-x2 . |
Полученное уравне- |
||||||
ние эквивалентно системе двух уравнений с разделяющимися переменными: |
|||||||
|
ìv¢ |
+ |
2x × v = 0, |
|
|
||
|
ï |
|
|
|
|
2 . |
|
|
í |
|
|
|
- x |
|
|
|
ï ¢ |
× v = 2x × e |
|
|
|||
|
îu |
|
|
|
Сначала решаем уравнение v¢ + 2x × v = 0 . Заменим производную в этом урав-
нении на отношение дифференциалов: |
dv |
= -2x × v , откуда |
ò |
dv |
= -ò 2x × dx , |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
v |
||
ln |
|
v |
|
= -x2 . Тогда v = e-x2 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Подставим полученную функцию во второе уравнение системы: |
|
|
||||||||||
u¢ × e- x 2 = 2x × e- x 2 |
, отсюда получим du = 2x × dx . Проинтегрируем обе части |
|||||||||||
ò du = 2ò x × dx Û |
u = 2 × |
x2 |
+ C . Окончательно u = x2 + C . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид
y = u × v = (x2 + C) × e- x 2 .
Теперь найдем частное решение нашего уравнения, подставив начальные условия x = 0, y =1. Получим 1 = (0 + C)e0 Þ C = 1. Окончательный ответ имеет вид: y = (x2 +1) ×e-x 2 .
5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида |
|
y¢¢ + py¢ + qy = 0 , |
(5.1) |
где p, q – действительные числа, называется однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим для уравнения (5.1) характеристическое уравнение
k 2 + pk + q = 0 . |
(5.2) |
11
При решении уравнения (5.2) возможны три случая, в зависимости от которых однородное уравнение (5.1) имеет различный вид решения.
1.Пусть характеристическое уравнение (5.2) имеет два различных действительных корня k1, k2 , тогда уравнение (5.1) имеет общее решение вида
y= C1ek1x + C2ek2 x .
2.Если характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2, т. е. k1 = k2 = k , то общее решение уравнения (5.1) имеет вид
y= ekx (C1 + C2 x) .
3.Если характеристическое уравнение имеет два сопряженных комплексных корня, т. е. k1,2 = α ±iβ , то общее решение уравнения (5.1) имеет вид
y = eα x (C1 cosβ x + C2 sin β x) .
Везде C1, C2 – произвольные постоянные.
Комплексные числа
Комплексным числом называется |
выражение видаz = x + iy , |
где x, y – |
действительные числа, i – мнимая |
единица, удовлетворяющая |
равенству |
i 2 = -1. Такая форма записи комплексных чисел называетсяалгебраической формой. Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re( z) , а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z) . Действительное число является частным случаем комплексного числа при y = 0 . Числа z = x + iy и z = x - iy называются сопряженными. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.
Арифметические операции над комплексными числами
Пусть даны два комплексных числа z1 = x1 +iy1, z2 = x2 + iy2 .
1.Суммой (разностью) двух комплексных чисел называется комплексное число
z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ) .
2. Произведением комплексных чисел называется комплексное число z1 z2 = (x1 x2 - y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) .
3. Частным двух комплексных чисел называется комплексное число
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
= |
(x1x2 + y1 y2 ) + i(x2 y1 - x1 y2 ) |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
x2 |
2 + y2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Даны два комплексных числа z1 = 2 + 5i и z2 = 3 - 4i . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти z ± z |
2 |
, z |
z |
2 |
, |
|
z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z1 + z2 = 2 + 3 + i(5 - 4) = 5 + i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
z1 - z2 = (2 - 3) + i(5 + 4) = -1+ 9i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z z |
2 |
= (2 + 5i)(3 - 4i) = 6 +15i - 8i - 20i 2 |
|
= 26 + 7i . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z1 |
|
= |
2 + 5i |
= |
(2 + 5i)(3 + 4i) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 - 4i |
|
|
(3 - 4i)(3 + 4i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
6 +15i + 8i + 20i 2 |
= |
-14 + |
23i |
= -0,56 |
+ 0,92i . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 -16i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Приведём несколько примеров решений однородных дифференциальных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнений второго порядка на рассмотренные выше случаи. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти общее решение уравнения |
y¢¢ - 2 y¢ - 3y = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Составляем характеристическое уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 - 2k - 3 = 0 . |
|
|
|
|
||||||
Находим его корни: k1 = -1, |
|
|
k2 = 3. Так как они действительные и различные, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то общее решение запишем: |
|
|
|
y = C e-x + C |
e3x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
¢¢ |
- 2 y |
¢ |
+ y = 0, |
y(0) = 1, |
¢ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 1. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Составим |
|
соответствующее |
|
характеристическое уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
2 ± |
|
|
=1. Общее решение од- |
||||||||||||||||||||||||||||||
k 2 - 2k +1 = 0. Его корни будут равны k |
|
|
4 - 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e1×x (C + C |
|
|
|
|
|
||||||||
нородного уравнения равно |
|
y |
2 |
x) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ищем частное решение данного уравнения. Для этого найдем первую производную от найденного общего решения:
y¢ = e x (C1 + C2 x) + e x (C2 ) .
13
Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную. Получим следующую систему для нахождения постоянных C1, C2 :
|
ì1 = e0 (C +C |
2 |
×0); |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
í |
= e |
0 |
|
1 |
|
|
|
(C2 ), |
|
||||||
|
î1 |
|
(C1 + C2 × 0) + e |
|
|
|||||||||||
или C1 = 1, 1 = C1 + C2 , откуда C2 = 0 . Теперь частное решение исходного |
||||||||||||||||
уравнения y = ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
|||||||||||||||
y¢¢ - 3y¢ + 25y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Составим |
соответствующее |
|
характеристическое |
уравнение |
|||||||||||
k 2 - 3k + 25 = 0 . |
Ищем его |
корни: |
k |
= |
3 ± |
9 - 25 |
|
= |
3 ± 4i |
=1,5 ± 2i . |
Корни |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексные, тогда общее решение дифференциального уравнения ищем -со гласно третьему случаю: y = e1,5x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) .
6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида
y¢¢ + py¢ + qy = f (x) |
(6.1) |
называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (6.1) равно сумме общего решения y соответ-
ствующего однородного уравнения (5.1) и какого-либо частного решения y* неоднородного уравнения, т. е.
|
|
|
y = |
y |
+ y*. |
(6.2) |
|
|
|
Вид частного решения устанавливается по виду правой части |
f (x) |
||||
уравнения (6.1). |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид правой части |
|
|
Вид частного решения |
|
|
|
1. |
f (x) = Aeα x |
y* = Bek x |
|
|
||
|
|
|
, если k – не корень уравнения (5.2); |
|
|||
|
|
|
y* = Bek x x , если k – корень уравнения (5.2) крат- |
|
|||
|
|
|
ности 1; |
|
|
||
|
|
|
y* = Bek x x2 , если k – корень уравнения (5.2) крат- |
|
|||
|
|
|
ности 2. |
|
|
14
|
|
|
|
|
2. |
|
|
f(x) = A |
|
|
|
y * = C , если «0» – не корень уравнения (5.2); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y* = xC , если «0» – корень уравнения (5.2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кратности 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Решить уравнения: а) |
y¢¢ - 2y¢ = 4ex ; б) y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = 6 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
y¢¢ - 2 y¢ = 4 . |
|
|
Сначала |
|
решаем |
|
|
соответствующее |
однородное |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y¢¢ - 2 y¢ = 0. Составим |
|
характеристическое |
|
уравнение k 2 - 2k = 0 . Оно |
имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
два |
|
корня k1 = 0, |
|
|
k2 = 2 . |
Общее решение однородного уравнения имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= C e0 x |
+ C |
e2 x |
= C + C |
|
e2 x . Далее ищем частное решение исходного неод- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 4ex . Число «1» не является |
|||||||||||||||||
нородного уравнения по виду правой части: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
корнем характеристического уравнения. Следовательно, вид частного решения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неоднородного уравнения y* = Ae x . Определим значение неопределенного ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эффициента |
А. |
|
|
Для |
|
этого |
найдем |
|
|
|
производные |
от |
|
частного |
|
|
:решения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
( y |
* |
) |
¢ |
= Ae |
x |
, |
( y |
* |
) |
¢¢ |
= Ae |
x |
. |
|
Подставим |
( y |
* |
|
¢ |
|
|
( y |
* |
) |
¢¢ |
в |
исходное |
|
уравнение |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ae x - 2 Ae x |
= 4e x . Отсюда A = -4 и y* = -4ex . Тогда общее решение неодно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
родного уравнения равно y = |
|
|
+ y* = C + C |
|
e2 x - 4ex ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Находим |
общее |
|
|
решение |
однородного |
уравнения: |
y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = 0 . Характе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ристическое уравнение имеет вид k 2 - 4k + 4 = 0 или k |
|
= 2 . Тогда общее ре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шение однородного уравнения |
|
= e2 x (C + C |
|
x) . Ищем частное решение, учи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 6 . Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
тывая, что |
|
|
как ноль не является корнем характеристического |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
* |
|
= A. Находим постоянную А. |
( y |
* |
¢ |
= |
( y |
* |
¢¢ |
= 0 . Подставим y |
* |
, ( y |
* |
¢ |
( y |
* |
) |
¢¢ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
) |
|
|
|
) , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в исходное уравнение 0 - 4 ×0 + 4A = 6, |
откуда 4 A = 6 и |
A = 1,5. Частное ре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
шение равно y * = 1,5. Окончательно имеем общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e2 x (C + C |
2 |
x) +1,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
|
Найти частное решение уравнения |
y¢¢ + y¢ - 2 y = e2 x , удовле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
творяющее начальным условиям y(0) = 0, y (0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
Найдём |
|
сначала |
|
|
общее |
|
|
решение |
однородного |
уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y¢¢ + y¢ - 2 y = 0 . |
|
Характеристическое уравнение имеет вид: k 2 + k - 2 = 0 , |
его |
15
корни вещественные числа k1 =1, k2 = -2 . Поэтому общее решение однородного уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= C e-2 x + C |
e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y* = A ×e2 x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем |
|
производные ( y* )¢ = 2 A × e2 x , ( y* )¢¢ = 4 A × e2 x . |
Подставим |
в исходное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение 4 A ×e2 x |
+ 2 A ×e2 x |
- 2 A ×e2 x |
= e2 x , отсюда |
|
|
A = |
1 |
. |
Тогда |
y* = |
1 |
× e2 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
Общее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходного |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
|
||||||||||||||||||||||||||||
y = |
|
+ y* = C e-2 x + C |
ex + |
× e2 x . Теперь |
найдем |
|
частное |
решение, исполь- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
зуя начальные условия y(0) = C e-2×0 |
+ C |
e0 |
+ |
× e2×0 |
|
= C + C |
2 |
+ |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
¢ |
|
|
|
|
-2 x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 x |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
= (C1e |
|
|
+ C2e |
|
+ |
|
|
|
|
× e |
|
) = -2C1e |
|
+ C2e |
|
|
+ |
|
|
e |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
-2×0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2×0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
||||||||||
y (0) = -2C1e |
|
|
|
+ C2e |
|
+ |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
= -2C1 + C2 |
+ |
|
|
. |
Так |
как |
y(0) = 0, y (0) |
= 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
систему |
|
|
|
|
|
уравнений |
|
|
|
|
|
|
для |
|
определения |
постоян |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ì |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ïC1 + C2 |
|
+ |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Û |
|
|
|
ïC |
|
= - |
4 |
; |
Тогда частное решение |
исходного уравне- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï- 2C1 + C2 + |
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
îC2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ния имеет вид: y = - |
|
e |
-2 x |
|
+ |
|
×e |
2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЯДЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Основные понятия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
= u1 + u2 + u3 +K+ un +K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åun |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где u1 , u2 ,K – действительные числа, называемые членами ряда; un называет-
ся общим членом ряда.
Сумма первых n членов ряда(1.1) называется n -й частичной суммой ряда и обозначается Sn = u1 + u2 + u3 +Kun .
16
Рассмотрим частичные суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2 , S3 = u1 + u2 + u3 , K
Если существует конечный предел S последовательности {S n } частичных сумм, то ряд называется сходящимся, а этот предел называетсясуммой ряда,
т. е. S = lim Sn .
n®¥
Если lim Sn равен бесконечности или не существует, то ряд называется
n®¥
расходящимся.
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
(-1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Для данного |
числового |
ряда å |
|
|
|
|
найти |
значения частич- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ных сумм S1 , S 2 , S3 , |
записать выражение для n-й частичной суммы S n |
и найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумму ряда или доказать его расходимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
Найдем |
|
|
частичные |
суммы |
|
|
данного |
S1 |
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд= -а , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
S2 |
= - |
1 |
+ |
1 |
= - |
1 |
, S3 |
= - |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
= - |
3 |
. Вычислим n-ю частичную сумму ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Sn |
= - |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
+ |
1 |
-K + (-1)n × |
1 |
. |
|
|
|
Используя |
формулу |
для |
вычисления |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
8 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
суммы |
геометрической |
|
прогрессии, |
у |
которой |
|
первый |
член равенb = |
-1 |
, а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b (1 |
- qn ) |
|
|
-1/ 2(1 - (-1/ 2)n ) |
|
||||||||||||||
знаменатель |
q = |
|
|
|
|
|
, |
можно |
|
|
|
записать Sn = |
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - q |
|
|
|
|
|
|
1 - (-1/ 2) |
|
|
|
|
||||||
= - |
1 - (-1/ 2)n |
. |
|
Найдем предел частичных сумм lim Sn |
= - |
1 |
|
. Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд сходится и его сумма равна - 1 . 3
Рассмотрим необходимый признак сходимости рядов.
Теорема 1. Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю,
т. е. lim un = 0 .
n®¥
17
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если lim un ¹ 0 , |
|||||||||||||||||||||
то ряд (1.1) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|||||||||
|
|
|
|
¥ |
2n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Например, исследуем на сходимость ряд å |
|
|
|
. Данный ряд расхо- |
|||||||||||||||||
4n |
+ 6 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
||||
дится, так как lim u |
n |
|
= lim |
= |
= 0,5 ¹ 0 – выполняется достаточное ус- |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
n®¥ |
|
n®¥ 4n + 6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ловие расходимости ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Особое место при исследовании сходимости |
числовых рядов занимает |
||||||||||||||||||||
ряд геометрической прогрессии и гармонический ряд. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рядом геометрической прогрессии называется ряд |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b + b × q + b × q 2 + K + b × q n + K (b ¹ 0) , |
(1.2) |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
который сходится при |
|
q |
|
< 1, его сумма равна |
b1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 - q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
q |
|
³ 1, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и расходится при |
|
|
lim Sn не существует или равен бесконечно- |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
¥ |
æ 4 |
ön |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сти. Например, исследуем на сходимость числовой ряд å |
ç |
|
÷ . Он сходится, |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
è 7 |
ø |
так как это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у
которой первый член равен b = |
4 |
, а знаменатель равен q = |
4 |
. Следовательно, |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
7 |
|
7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
сумма ряда равна Sn = |
|
b1 |
= = |
|
4 7 |
= |
4 |
. |
|
|
|
1 |
- q |
1 - 4 7 |
3 |
|
|
||||||
Примером расходящегося |
|
ряда |
может служить ряд å¥ (2 )n . Поскольку |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
знаменатель геометрической прогрессии равен q = 2 , то ряд расходится.
¥ 1
Гармоническим рядом называется ряд вида å ;
n=1 n
обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида:
¥ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
å |
=1 + |
+ |
+K+ |
+K, |
(1.3) |
|||||
k |
k |
k |
k |
|||||||
n=1 n |
2 |
|
3 |
|
n |
|
||||
где k – вещественное число. Причем, |
обобщенный гармонический |
ряд(1.3) |
||||||||
сходится при k > 1 и расходится при k £ 1 . |
|
18
¥ |
æ |
1 |
ö |
|
Например, ряд å |
ç |
|
÷ |
– сходится, так как является обобщенным гармо- |
|
||||
n=1è n2 |
ø |
|
¥ æ 1 ö
ническим рядом, у которого степень знаменателя равнаk = 2 , а ряд å ç ÷ n=1è n ø
расходится, так как k =1/ 2 .
2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Необходимый признак сходимости ряда не позволяет судить о сходимо-
¥ 1
сти всех рядов. Примером может служить гармонический ряд ån=1 n .
С одной стороны, предел общего члена ряда un = 1 при n ® ¥ равен нулю, а с n
другой – этот ряд является расходящимся (это можно доказать). Далее рассмотрим достаточные признаки сходимости для числовых рядов. Будем предпола-
¥
гать, что åvn – эталонный ряд, т. е. ряд, о сходимости или расходимости кото-
n=1
рого нам уже известно. Например, в качестве эталонного ряда часто рассматривают гармонический ряд или ряд геометрической прогрессии.
Признак сравнения 1
|
¥ |
|
¥ |
|
|
||
Пусть даны два знакоположительных ряда åun и åvn . |
|
|
|||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
||
Если для всех n , начиная с некоторого номера, выполняется условие un |
£ vn , |
||||||
¥ |
|
|
¥ |
|
|
||
то из сходимости рядаåvn |
следует сходимость |
рядаåun . И, наоборот, из |
|||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
||
¥ |
|
¥ |
|
|
|
|
|
расходимости ряда åun следует расходимость ряда åvn . |
|
|
|||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
¥ |
1 |
|
|
|
|
|
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд å |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
n=11 + 3n |
¥ |
1 |
|
|||
|
|
|
|
||||
Решение. В качестве |
эталонного ряда рассмотрим рядvn = å |
, кото- |
|||||
3n |
|||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
рый сходится, так как является геометрической прогрессией, у которой q = 1 .
3
Сравним общие члены рядов. Очевидно, что для них выполняется соотношение
1 |
< |
1 |
. Следовательно, по признаку сравнения 1 исходный ряд сходится. |
|
1 + 3n |
3n |
|||
|
|
19