- •Элементы теории нечётких
- •Однин из простейших способов математического описания нечёткого множества – это характеристика степени принадлежности
- •Определение 3.1
- •Определение 3.2 Нечёткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на
- •Определение 3.5 Пусть А и В нечёткие множества в Х, а (х) и
- •Отметим, что если А и В – нечёткие множества в Х, что В
- •Определение 3.7 Объединением нечётких множеств А и В в Х называют нечёткое множество,
- •Определение 3.9 Дополнением нечёткого множества А в Х называется нечёткое множество ААс функцией
- •Определение 3.10
- •Определение 3.11 Множеством уровня α нечёткого множества А в Х называется множество, обозначаемое
- •Решение.
- •Прежде чем рассмотреть понятие нечётких отношений, сначала дадим определения обычных отношений на множестве
- •Определение 3.12 Пусть на одном и том же множестве Х – это значит
- •Элементы определяются следующим
- •Определение 3.13
- •Определение 3.14
- •Определение 3.15
- •Пример 3.3
- •Решение Составим декартово произведение
- •А) Согласно определению 3.13, имеем:
- •В) По определению 3.15 1 0 0
- •Определение 3.16
- •Определение 3.17
- •Определение 3.19
- •Определение 3.20 Максминное произведение
- •Пример 3.4
- •Решение.
- •В) Для определения R ◦ R сначала составим декартово произведение
- •По определению 3.21 функция принадлежности минмаксного произведения R ◦ R нечётких отношений R
- •Г) По определению 3.19 функция принадлежности нечёткого отношения R для каждого элемента множества
Решение.
По определениям 3.7 – 3.10 имеем:
1. ={х ϵ |
0,7} = {3} – |
множество уровня 0,7 , нечёткого множества В в Х.
2. ={х ϵ 0,6} = {3, 4} - множество уровня 0,6 , нечёткого множества В в Х.
Тогда нечёткое множество В в Х можно разложить по множествам α :
В = 0,6 |
U 0,7 |
Прежде чем рассмотреть понятие нечётких отношений, сначала дадим определения обычных отношений на множестве Х и операций над этими отношениями.
Определение 3.12 Пусть на одном и том же множестве Х – это значит указать все пары элементов (x, y), где x, y ϵ X, которые связаны отношениями R.
Для обозначения того, что элементы x и y связаны отношением R, используется запись xRy. Очевидно, отношение R на множестве Х есть подмножество декартова произведения
Х x Х = {(x, y) | x ϵ X, y ϵ Y}.
Если множество Х конечно, то отношение R удобно писать матрицей R = (rᵢ ), i, j = 1, 2, …, n
Элементы определяются следующим
Эта матрица называется характеристической функцией отношения R. Отношение R в конечном множестве Х можно описать и ориентированным графом, вершины которого соответствуют элементам множества Х, а
дуга от вершины хᵢ к вершине
Проводится в том и только в том случае, если
Определение 3.13
Пусть на одном и том же множестве Х заданы
два отношения R и R . Множества С = R
UR
иD = R R называются соответственно объединением и пересечением
отношений R и R . Если R = |
), R ( |
|
) – матрицы отношений R |
R , С |
|
( ), D = ( |
), |
|
i, j = 1, 2, … , n, то = max{ |
, }, |
|
= min{ , |
}. |
|
Определение 3.14
Композиция (произведение) отношений R и R ,
Заданных на одном и том же множестве Х, определяется как отношение, обозначаемое R = R ◦ R , для которого элементы матрицы
отношения |
находятся по формулам |
= maxmin{ |
, }, т.е. матрица |
отношения R равна максминному произведению матриц отношений R и R .
Определение 3.15
Если R – отношение на множестве Х, то отношение R на множестве Х называется обратным отношением, если xRy имеет место тогда и только тогда, когда yRx. Если R = ( ),
R =( ), i, j = 1, 2, … , n - матрицы
отношений R и R , то элементы этих матриц связаны неравенствами =
, т.е.
матрица R получается путём транспонирования матрицы R.
Пример 3.3
На множестве X = {4, 6, 8} даны два отношения
R =( ) и R =(<). Составить характеристические функции заданных отношений и найти объединение R UR , пересечение R R и композицию R ◦ R этих отношений, а также обратное отношение R .
Решение Составим декартово произведение
X x X = {(x, y) | xϵ{4, 6, 8}, yϵ{4, 6, 8}} =
= {(4, 4),(4, 6),(4, 8),(6, 4),(6, 6),(6, 8),(8, 4),(8, 6),(8, 8)}.
Тогда
xR y => R = {(x, y)ϵ X x X | x<y; x, yϵX} = = {(4, 4),(4, 6),(4, 8),(6, 6),(6, 8),(8, 8)};
xR y => R = {(x, y)ϵ X x X | x<y; x, yϵX} ={(4, 6),(4, |
|||||
8), (6, 8)}. |
|
|
|
||
Составим для данных отношений соответствующие |
|||||
матрицы: |
|
|
|
||
4 |
6 |
8 |
4 |
6 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
R 0 1 1 , R = 0 0 1 . |
|||||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
А) Согласно определению 3.13, имеем:
так как C = R UR = ( ), i, j = 1, 2, 3, то
1 1 R UR = 0 1 ;
0 0 0
так как D = R R = ( ) , i, j = 1, 2, 3, то
0 |
1 |
1 |
R R = 0 0 1 ; |
||
0 |
0 |
0 |
Согласно определению 3.14, так как R = R ◦ R = ( ), I, j = 1,
2, 3, то |
|
|
|
= maxmin{ |
, |
} = max{0, 0, 0} =0; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{1, 0, 0} =1; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{1, 1, 0} =1; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{0, 0, 0} =0; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{0, 0, 0} =0; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{0, 1, 0} =1; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{0, 0, 0} =0; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{0, 0, 0} =0; |
|
= maxmin{ |
, |
} = max{0, 0, 0} =0. |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
R = R ◦ = |
|
0 1 . |
|
|
|
0 |
0 |