Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / Оператор Лапласа / (3)Собственные функции оператора Лапласа в ССК
.doc3. Власні функції кутової складової оператора Лапласа
Функції , які задовольняють рівнянню:
(1)
і граничній умові
(2)
при довільних значеннях полярного кута , називаються сферичними функціями.
Іншими словами, є власними функціями кутової складової оператора Лапласа, які відповідають власному значенню: . Область задания функцій - одинична сфера, а умова (2) – є умовою неперервності.
Кожному власному значенню відповідає різних функций: , що вказує на -кратну вырожденность оператора . Приймається, що .
Сферичні функції задовольняють умові ортогональності:
(3)
яка є аналогом (). Тут - элемент тілесного кута.
Довільна функція , яка задається на одиничній сфері, розкладається в ряд:
, (4)
коефіцієнти якого визначаються рівнянням:
(5)
-
структура сферичних функцій:
Нормовані згідно (3) сферичні функції мають структуру:
(6)
де
(7)
а є приєднані поліноми Лежандра, які задовольняють рівнянню:
. (8)
Последнее непосредственно следует из при подстановке в него . В окремому випадку, коли , рівняння (8) переходить в рівняння:
(9)
для так званих поліномів Лежандра .
-
конкретний вигляд сферичних функцій:
При :
(10)
Для знаходження удобно скористатися производящей функцією поліномів Лежандра:
(11)
або формулою Родрига:
(12)
З них випливає, що
(13)
При :
(14)
При :
(15)
В загальному випадку,
(16)
4. Загальна структура розв’язку рівняння Лапласа в сферичних координатах
Нехай функція задовольняє рівнянню Лапласа:
. (17)
У згоді з (4) її можна представити у вигляді:
. (18)
Підставимо (18) в (17) і врахуємо рівняння (1) для сферичних функцій, а також незалежність сферичних функцій. У такий спосіб знаходимо наступне рівняння для коефіцієнтних функцій :
. (19)
В розгорнутому вигляді
. (20)
Оскільки коефіцієнти лінійного диференціального рівняння (20) є сингулярними при , його розв’язок необхідно шукати у вигляді . Неважко впевнитись, що показник задовольняє алгебраїчному рівнянню:
,
і дорівнює: , . Таким чином,
. (21)
Комбінуючи (18) і (21), остаточно знаходимо:
. (22)
Це і є загальний вигляд розв’язку рівняння Лапласа.
Розглянемо найпростіші часткові випадки:
-
Азимутально-симетричний розв’язок . Розв’язок рівняння Лапласа (17), який не залежить від , будемо називати азимутально-симетричним. В цьому випадку в (22) необхідно покласти і скористатись співвідношенням (10). Таким чином, знаходимо
. (23)
-
Центрально симетричний розв’язок . Із сферичних функцій тільки (див. (10) і (13)) не залежить від кутів і . Тому в (22) необхідно взяти тільки доданок з і :
. (24)