2.2.3. Вычислим вероятности Pi попадания случайной величины в i-й интервал. Для нормального закона

							xi +1
																		xi		+1 − m x								xi	− m x				.			(2.6)
					Pi = ∫ f ( x )dx = Φ															σx						−Φ			σx
							xi
			Функцию							Φ(х) (Лапласа) берем по табл. 4 приложения.
Результаты сведем в таблицу:																																			Таблица 2.2
			Х			[1;5)						[5;9)									[9;13)							[13;17)							[17;21]
			mi							2						4								10						3						1
			Pi*						0,1					0,2									0,5						0,15							0,05
			Pi				0,0853						0,2779									0,3822							0,2071						0,0475
		5								5 −10,4
P1= ∫
			f (x)dx=Φ							3,952			−Φ(−∞)= −Φ(1,37)+Φ(+∞)=
		−∞
= −0,4147+0,5=0,0853 ;
		9								9 −10,4
P2= ∫														−Φ(−1,37)= −Φ(0,35)+Φ(1,37)=
			f (x)dx=Φ							3,952
		5
= −0,1368+0,4147=0,2779 ;
		13							13 −10,4
P3= ∫
			f (x)dx=Φ							3,952				−Φ(−0,35)= Φ(0,66)+Φ(0,35)=
		9
= 0,2454+0,1368=0,3822 ;
		17								17 −10,4
P4= ∫															−Φ(					−0,66)= Φ(1,67)−Φ(0,66)=
			f (x)dx=Φ							3,952
		13
= 0,4525−0,2454=0,2071;
P5= +∞∫ f (x)dx=Φ(+∞)−Φ(1,67)= 0,5−0,4525=0,0475 .
		17	4.По формуле (2.3) вычислим значение χ2
	2		0,000216							0,0060684						0,0138768										0,0032604					0,00000625
χ		= 20							+					+									+							+							=1,531
					0,0853					0,2779									0,3822							0,2071							0,0475
Так как оценивались два параметра mx и Dx, то																														ν = 5 − 2 −1 = 2 .

По вычисленному значению χ2 и числу степеней свободы

ν по табл. 2 приложения найдем вероятность р

р=0,45.

Эта вероятность не мала, поэтому можно считать, что случайная величина X, определяемая первоначальной выборкой, распределена нормально с плотностью вероятности

		1		−( x−10,4)2
	f (x) =			е 2 15,621 .
		3,952	2π

2.3. Задания для выполнения работы Используя выборки наблюдений первого задания, выров-

нять статистические ряды.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Значения распределения Стъюдента

	ν		β
		0,7	0,8	0,9	0,95
	1	1,963	3,077	6,313	12,706
	2	1,336	1,885	2,920	4,302
	3	1,25	1,637	2,35	3,182
	4	1,19	1,533	2,13	2,776
	5	1,156	1,476	2,015	2,57
	6	1,134	1,439	1,943	2,446
	7	1,119	1,415	1,894	2,36
	8	1,108	1,397	1,86	2,31
	9	1,1	1,383	1,833	2,262
	10	1,093	1,372	1,812	2,23
	11	1,088	1,363	1,795	2,201

ν		β
	0,7	0,8	0,9	0,95
12	1,083	1,356	1,782	2,18
13	1,079	1,35	1,771	2,16
14	1,076	1,345	1,761	2,14
15	1,074	1,341	1,753	2,13
16	1,071	1,336	1,745	2,12
17	1,069	1,333	1,74	2,11
18	1,067	1,33	1,734	2,1
19	1,066	1,328	1,729	2,09
20	1,064	1,325	1,725	2,09
21	1,063	1,323	1,721	2,079
22	1,061	1,321	1,717	2,07

Таблица 2

Значения X2 в зависимости от ν и q (или P)

ν						q
	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10
1	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,445	1,074	1,642	2,71
2	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,41	3,22	4,60
3	0,115	0,185	0,352	0,504	1,005	1,424	2,37	3,66	4,64	6,25
4	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36	4,88	5,99	7,73
5	0,554	0,752	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24
6	0,872	1,134	1,635	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64

Продолжение табл. 2

ν						q
	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10
7	1,239	1,564	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02
8	1,646	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36
9	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68
10	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99
11	3,05	3,61	4,58	5,58	6,99	8,15	10,34	12,90	14,63	17,23
12	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,34	14,01	15,81	18,55
13	4,11	4,76	5,89	7,04	8,63	9,93	12,34	15,12	16,98	19,81
14	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,82	13,34	16,22	18,15	21,1
15	5,23	5,98	7,26	8,55	10,31	11,72	14,34	17,32	19,31	22,3
16	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	12,62	15,34	18,42	20,5	23,5
17	6,41	7,26	8,67	10,08	12,00	13,53	16,34	19,51	21,6	24,8
18	7,02	7,91	9,39	10,86	12,86	14,44	17,34	20,00	22,8	26,0
19	7,63	8,57	10,11	11,65	13,72	15,35	18,34	21,7	23,9	27,2
20	8,26	9,24	10,85	12,44	14,58	16,27	19,34	22,8	25,0	28,4
21	8,90	9,92	11,59	13,24	15,44	17,18	20,3	23,9	26,2	29,6
22	9,54	10,60	12,34	14,04	16,31	18,10	21,3	24,9	27,3	30,8
23	10,20	11,29	13,09	14,85	17,19	19,02	22,3	26,0	28,4	32,0
24	10,86	11,99	13,85	15,66	18,06	19,94	23,3	27,1	29,6	33,2

ν		q
	0,05	0,02	0,01	0,001
1	3,84	5,41	6,64	10,83
2	5,99	7,82	9,21	13,82
3	7,82	9,84	11,34	16,27
4	9,49	11,67	13,28	18,46
5	11,07	13,39	15,09	20,5
6	12,59	15,03	16,81	22,5
7	14,07	16,62	18,48	24,3
8	15,51	18,17	21,1	26,1
9	16,92	19,68	21,7	27,9
10	18,31	21,2	23,2	29,6
11	19,68	22,6	24,7	31,3
12	21,0	24,1	26,2	32,9

Окончание табл. 2

ν		q
	0,05	0,02	0,01	0,001
13	22,4	25,5	27,7	34,6
14	23,7	26,9	29,1	36,1
15	25,0	28,3	30,6	37,7
16	26,3	29,6	32,0	39,3
17	27,6	31,0	33,4	40,8
18	28,9	32,3	34,8	42,3
19	30,1	33,7	36,2	43,8
20	31,4	35,0	37,6	45,3
21	32,7	36,3	38,9	46,8
22	33,9	37,7	40,3	48,3
23	35,2	39,0	41,6	49,7
24	36,4	40,3	43,0	51,2

Таблица 3

	Значения функции f (x) =1/ 2πå−					x2
						2
X		Сотые доли для x
	0	2	4	6		8
1	2	3	4	5		6
0,0	3989-4	3989-6	3986-6	3982-6		3977-6
0,1	3970-4	3961-6	3951-6	3939-6		3925-6
0,2	3910-4	3894-6	3876-6	3857-6		3836-6
0,3	3814-4	3790-6	3765-6	3739-6		3711-6
0,4	3683-4	3653-6	3621-6	3589-6		3555-6
0,5	3521-4	3485-6	3448-6	3410-6		3372-6
0,6	3332-4	3292-6	3251-6	3209-6		3166-6
0,7	3123-4	3079-6	3034-6	2989-6		2943-6
0,8	2897-4	2860-6	2805-6	2756-6		2709-6
0,9	2601-4	2613-6	2565-6	2516-6		2486-6
1,0	2420-4	2371-6	2323-6	2275-6		2227-6
1,1	2179-4	2131-6	2083-6	2036-6		1989-6
1,2	1042-4	1895-6	1849-6	1804-6		1758-6
1,3	1714-4	1669-6	1626-6	1582-6		1539-6
1,4	1497-4	1456-6	1415-6	1374-6		1334-6
1,5	1295-5	1257-6	1219-6	1182-6		1145-5
1,6	1109-5	1074-6	1040-6	1006-6		9728-5
1,7	8405-5	9089-6	8780-6	8478-6		8183-5
1,8	7895-5	7614-6	7341-6	7074-6		6814-5
1,9	6562-5	6316-6	6077-6	5844-6		5618-5
2,0	5399-5	5186-6	4980-6	4780-6		4586-5
2,1	4398-5	4217-6	4041-6	3871-6		3706-5
2,2	3547-5	3394-6	3240-6	3003-6		2965-5
2,3	2833-5	2705-6	2582-6	2483-6		2349-5
2,4	2239-5	2134-6	2033-6	1936-6		2842-5
2,5	1753-5	1667-6	1585-6	1506-6		1431-5
2,6	1358-5	1389-6	1223-6	1160-6		1100-5
2,7	1042-5	9871-6	9347-6	8843-6		8370-5
2,8	7915-6	7483-6	7071-6	6679-6		6307-5
2,9	3953-6	5616-6	5296-6	5143-6		4817-5
3,0	4432-6	4173-6	3928-6	3695-6		3475-5
3,1	3267-6	3070-9	2884-9	2707-9		2541-9
3,2	2384-6	2236-9	2096-9	1964-9		1340-9

																				Окончание табл. 3
	1				2				3		4			5				6
	3,3			1723-6				1612-9			1508-9			1411-9				1319-9
	3,4			1232-7				1161-9			1075-9			1003-9				9353-9
	3,5			8727-7				8135-9			7581-9			7061-9				6575-9
	3,6			6119-7				5693-9			5294-9			4981-9				1573-9
	3,7			4248-7				3944-9			3661-9			3396-9				3149-9
	3,8			2919-7				2705-9			2506-9			2320-9				2147-9
	3,9			1987-7				1837-9			1698-9			1569-9				1449-9
	4,0			1338-8				1235-9			1140-9			0151-9				9687-9
	4,1			8926-8				8222-9			7570-9			6967-9				6410-9
	4,2			5894-8				5418-9			4979-9			4573-9				4199-9
	4,3			3854-8				3535-9			3242-9			2972-9				2723-9
	4,4			2494-8				2284-9			2090-9			1912-9				1749-9
	4,5			1598-8				1461-9			1334-9			1218-9				1112-9
	4,6			1014-8				9248-9			8430-9			7681-9				6996-9
	4,7			6370-9				5797-9			5274-9			4796-9				4360-9
	4,8			3961-9				2598-9			3267-9			2965-9				2690-9
	4,9			2439-9				2211-9			2003-9			1814-9				1643-9
																		z2				Таблица 4
														1		x	−
			Значения функции Φ(x) =													∫e				dz
																		2
															2π
																0
x		Ф(x)					x		Ф(x)			x			Ф(x)					x		Ф(x)
0		0,0				0,64			0,2389			1,28			0,3997				1,92		0,4726
0,01		0,0040				0,65			0,2422			1,29			0,4015				1,93		0,4732
0,02		0,0080				0,66			0,2454			1,30			0,4032				1,94		0,4738
0,03		0,0129				0,67			0,2486			1,31			0,4049				1,95		0,4744
0,04		0,0160				0,68			0,2517			1,32			0,4066				1,96		0,4750
0,05		0,0199				0,69			0,2549			1,33			0,4082				1,97		0,4756
0,06		0,0239				0,70			0,2580			1,34			0,4099				1,98		0,4761
0,07		0,0279				0,71			0,2611			1,35			0,4115				1,99		0,4767
0,08		0,0319				0,72			0,2642			1,36			0,4131				2,00		0,4772
0,09		0,0359				0,73			0,2673			1,37			0,4147				2,02		0,4783
0,10		0,0398				0,74			0,2703			1,38			0,4162				2,04		0,4793
0,11		0,0438				0,75			0,2734			1,39			0,4177				2,06		0,4803
0,12		0,0478				0,76			0,2764			1,40			0,4192				2,08		0,4812
0,13		0,0517				0,77			0,2794			1,41			0,4207				2,10		0,4821
0,14		0,0557				0,78			0,2823			1,42			0,4222				2,12		0,4830

Продолжение табл. 4

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,15	0,0596	0,79	0,2852	1,43	0,4236	2,14	0,4838
0,16	0,0636	0,80	0,2881	1,44	0,4251	2,16	0,4846
0,17	0,0675	0,81	0,2910	1,45	0,4265	2,18	0,4854
0,18	0,0714	0,82	0,2939	1,46	0,4279	2,2	0,4851
0,19	0,0753	0,83	0,2967	1,47	0,4297	2,22	0,4868
0,20	0,0793	0,84	0,2990	1,48	0,4306	2,24	0,4875
0,21	0,0832	0,85	0,3023	1,49	0,4319	2,26	0,4881
0,22	0,0871	0,86	0,3051	1,50	0,4332	2,28	0,4887
0,23	0,0910	0,87	0,3078	1,51	0,4345	2,3	0,4897
0,24	0,0948	0,88	0,3106	1,52	0,4357	2,32	0,4898
0,25	0,0987	0,89	0,3133	1,53	0,4370	2,34	0,4904
0,26	0,1026	0,90	0,3159	1,54	0,4382	2,36	0,4909
0,27	0,1064	0,91	0,3180	1,55	0,4394	2,38	0,4913
0,28	0,1103	0,92	0,3212	1,56	0,4406	2,4	0,4918
0,29	0,1141	0,93	0,3238	1,57	0,4418	2,42	0,4922
0,30	0,1179	0,94	0,3264	1,58	0,4429	2,44	0,4927
0,31	0,1217	0,95	0,3269	1,59	0,4441	2,46	0,4931
0,32	0,1255	0,96	0,3315	1,60	0,4452	2,48	0,4934
0,33	0,1293	0,97	0,3340	1,61	0,4463	2,5	0,4938
0,34	0,1331	0,98	0,3375	1,62	0,4474	2,52	0,4941
0,35	0,1368	0,99	0,3389	1,63	0,4484	2,54	0,4945
0,36	0,1406	1,00	0,3413	1,64	0,4495	2,56	0,4948
0,37	0,1443	1,01	0,3438	1,65	0,4505	2,58	0,4951
0,38	0,1480	1,02	0,3461	1,66	0,4515	2,60	0,4953
0,39	0,1517	1,03	0,3486	1,67	0,4525	2,62	0,4956
0,4	0,1554	1,04	0,3508	1,68	0,4535	2,64	0,4959
0,41	0,1591	1,05	0,3531	1,69	0,4545	2,66	0,4961
0,42	0,1628	1,06	0,3554	1,70	0,4554	2,68	0,4963
0,43	0,1664	1,07	0,3577	1,71	0,4564	2,70	0,4965
0,44	0,1700	1,08	0,3599	1,72	0,4573	2,72	0,4967
0,45	0,1736	1,09	0,3621	1,73	0,4582	2,74	0,4969
0,46	0,1772	1,10	0,3643	1,74	0,4591	2,76	0,4971
0,47	0,1808	1,11	0,3665	1,75	0,4599	2,78	0,4973
0,48	0,1844	1,12	0,3686	1,76	0,4608	2,8	0,4974
0,49	0,1879	1,13	0,3708	1,77	0,4616	2,82	0,4976
0,50	0,1915	1,14	0,3729	1,78	0,4625	2,84	0,4977
0,51	0,1950	1,15	0,3749	1,79	0,4633	2,86	0,4979
0,52	0,1985	1,16	0,3770	1,80	0,4641	2,88	0,4980

Окончание табл. 4

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,53	0,2019	1,17	0,3790	1,81	0,4649	2,90	0,4981
0,54	0,2054	1,18	0,3610	1,82	0,4656	2,92	0,4982
0,55	0,2588	1,19	0,3830	1,83	0,4664	2,94	0,4984
0,56	0,2123	1,20	0,3849	1,84	0,4671	2,96	0,4985
0,57	0,2157	1,21	0,3869	1,85	0,4678	2,98	0,4986
0,58	0,2190	1,22	0,3883	1,86	0,4686	3,00	0,49865
0,59	0,2224	1,23	0,3907	1,87	0,4693	3,20	0,49931
0,60	0,2257	1,24	0,3925	1,88	0,4699	3,40	0,49966
0,61	0,2291	1,25	0,3944	1,89	0,4706	3,60	0,49841
0,62	0,2324	1,26	0,3962	1,90	0,4718	3,80	0,499928
0,63	0,2367	1,27	0,3980	1,91	0,4719	4,00	0,499968

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Гмурман, В. Г. Теория вероятностей и математическая ста-

тистика [Текст] / В.Г. Гмурман. - М. : Высш. школа, 2001. - 480 с. Гмурман, В. Г. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистике [Текст] / В. Г. Гмурман.

- М. : Высш. школа, 2001. - 400 с.

Венцель, Е. С. Теория вероятностей [Текст] / Е. С. Венцель. - М. : Высш. школа, 2002. - 575 с.

Учебное издание

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Задания и методические указания по выполнению РПР

Для студентов, обучающихся по направлениям

220200 (специальность 220201), 220300(специальность 220301), 230200(специальность 230201), 200500 (специальность 200503), 260600 (специальности 260601, 260602), 260200 (специальности 260201, 260202, 260203, 260204), 260300 (специальности 260301, 260302, 260303), 260500(специальность 260501),

240900 (специальность 240902), 240500 (специальность 240502),

280200 (специальности 280201,280202),

дневной формы обучения

Составители: ЧЕРНЫШОВ Александр Данилович ПОКОРНАЯ Ольга Юльевна МИНАЕВА Надежда Витальевна

Подписано в печать	. .2008. Формат 60 х 84	1/16.
Усл. печ. л.	. Тираж 150 экз. Заказ	.

ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА»)

Адрес академии и отдела полиграфии ГОУВПО «ВГТА»: 394000, Воронеж, пр. Революции, 19