Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

2.4. Алгебра Пуанкаре	79
U(Λ, a)PρU−1(Λ, a) = ΛμρPμ .	(2.4.9)

Для однородных преобразований Лоренца (aμ = 0) из этих выражений просто следует, что Jμν есть тензор, а Pμ — вектор. Для чистых трансляций (Λμν = δμν) из этих формул следует, что Pρ является трансляционно−инвариантной величиной, а Jρσ — нет. В частности, изменение пространственно−пространственных компонент Jρσ в результате пространственной трансляции соответ-

ствует обычному изменению углового момента за счет переноса начала координат, по отношению к которому вычисляется угловой момент.

Далее, применим правила (2.4.8), (2.4.9) к преобразованию, которое само является бесконечно малым. Иначе говоря, выберем матрицу Λμν = δμν + ωμν, aμ = εμ, где бесконечно малые величины ωμν è εμ не связаны с предыдущими ω è ε. Пользуясь формулой (2.4.3) и сохраняя только слагаемые первого порядка по ωμν è εμ, находим,

что формулы (2.4.8) и (2.4.9) принимают вид:

i[1	ωμνJμν − εμPμ , Jρσ ] = ωμρJμσ + ω νσ Jρν − ερPσ + εσPρ	, (2.4.10)
2
	i[ 1 ωμνJμν − εμPμ , Pρ ] = ωμρPμ .	(2.4.11)
	2
Приравнивая коэффициенты при ωμν è εμ в обеих сторонах
этих равенств, находим коммутационные соотношения
	i[Jμν , Jρσ ] = ηνρJμσ − ημρJ νσ − ησμ Jρν + ησνJρμ ,	(2.4.12)
	i[Pμ , Jρσ ] = ημρPσ − ημσPρ ,	(2.4.13)
	[Pμ , Pρ ] = 0.	(2.4.14)

Они определяют алгебру Ли группы Пуанкаре.

В квантовой механике особую роль играют те операторы, которые сохраняются, т. е. коммутируют с оператором энергии H = P0. Из формул (2.4.13) и (2.4.14) следует, что такими операторами являются 3-вектор импульса

P = mP1, P2 , P3r ,

(2.4.15)

80	Глава 2. Релятивистская квантовая механика
3-вектор	момента импульса
	J = mJ23 , J31, J12r	(2.4.16)
и, конечно, сам оператор энергии Р0. Остающиеся генераторы
образуют так называемый 3-вектор буста
	K = mJ10 , J20 , J30r .	(2.4.17)

Эти генераторы не сохраняются, и поэтому мы не приписываем физическим состояниям собственных значений K. В трехмерных обозначениях коммутационные соотношения (2.4.12), (2.4.13) и (2.4.14) можно записать в виде:

[Ji , Jj ] = iε ijk Jk ,	(2.4.18)
[Ji , Kj ] = iεijkKk ,	(2.4.19)
[Ki , Kj ] = −iε ijk Jk ,	(2.4.20)
[Ji , Pj ] = iε ijkPk ,	(2.4.21)
[Ki , Pj ] = iHδij ,	(2.4.22)
[Ji , H] = [Pi , H] = [H, H] = 0,	(2.4.23)
[Ki, H] = iPi,	(2.4.24)

где i, j, k принимают значения 1, 2, 3, а εijk — полностью антисимметричный тензор с ε123 = +1. Видно, что коммутационные

соотношения (2.4.18) совпадают с коммутационными соотношениями для компонент оператора углового момента.

Чистые трансляции T(1, a) образуют подгруппу неоднородной группы Лоренца с вытекающим из (2.3.8) правилом группового умножения

T(1,		)T(1, a) = T(1,		+ a).	(2.4.25)
	a		a

Оно аддитивно в том же смысле, что и (2.2.24), так что, используя (2.4.3) и повторяя рассуждения, приведшие к (2.2.26),

2.4. Алгебра Пуанкаре	81

находим, что конечные трансляции представляются в физическом гильбертовом пространстве в виде

U(1, a) = exp(−iPμaμ ).

(2.4.26)

Точно так же можно показать, что вращение Rθ íà óãîë |θ|

вокруг направления q представляется в физическом гильбертовом пространстве как

U(Rθ ,0) = exp(iJ × q).

(2.4.27)

Представляет интерес сравнить алгебру Пуанкаре с алгеброй Ли группы симметрии ньютоновской механики — группы Галилея. Можно вывести эту алгебру, начав с законов преобразования группы Галилея и повторив ту процедуру, которую мы использовали для вывода алгебры Пуанкаре. Однако, так как уже выведены соотношения (2.4.18)−(2.4.24), легче получить ал-

гебру Галилея как предел алгебры Пуанкаре при малых скоростях с помощью приема, который известен как контракция Иноню−Вигнера 4, 5. Следует ожидать, что для системы частиц с

типичными массой m и скоростью v операторы импульса и момента импульса порядка P mv, J 1 . С другой стороны, оператор энергии H = M + W, где полная масса М m и энергия, не связанная с массой (кинетическая и потенциальная), W mv2. Из уравнений (2.4.18)−(2.4.24) следует, что в пределе при v n 1

коммутационные соотношения принимают вид:

[Ji, Jj] = iεijkJk, [Ji, Kj] = iεijkKk, [Ki, Kj] = 0,

[Ji , Pj ] = iεijkPk , [Ki , Pj ] = −iMδ ij ,

[Ji, W] = [Pi, W] = 0, [Ki, W] = −iPi , [Ji, M] = [Pi, M] = [Ki, M] = [W, M] = 0,

где K 1/v. Произведение трансляции x → x + a и «буста» x → x + vt должно быть преобразованием x → x + vt + a, íî ýòî

неверно для действия указанных операторов в гильбертовом пространстве:

exp(iK × v) exp(-iP × a) = exp(iMa × v / 2) expai(K × v - P × a)f .

82	Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Появление фазового множителя exp(iMaЧv/2) показывает, что это проективное представление с правилом суперотбора, запрещающим суперпозицию состояний с разными массами. В этом отношении математика группы Пуанкаре проще, чем группы Галилея. Однако нет никаких причин, препятствующих формальному расширению группы Галилея путем добавления одного или более генераторов в ее алгебру Ли, которые коммутировали бы со всеми другими генераторами и имели бы собственные значения, равные массам различных состояний. В этом случае физические состояния реализуют обычное, а не проективное представление расширенной группы симметрии. По-видимому, разница проявляется лишь в обозначениях, не считая того, что при подобной интерпретации группы Галилея нет нужды в правиле суперотбора по массе.

2.5. Одночастичные состояния

Рассмотрим теперь классификацию одночастичных состояний в соответствии с тем, как они преобразуются под действием преобразований неоднородной группы Лоренца.

Все компоненты 4-вектора энергии−импульса коммутируют

друг с другом, поэтому естественно выражать физические векторы состояний через собственные векторы 4-импульса. Вводя метку σ

для обозначения всех других степеней свободы, рассмотрим векторы состояний Ψp,σ, удовлетворяющие условию

Pμ Ψ	σ = pμ Ψ	σ .	(2.5.1)
p,	p,

Для произвольных состояний, описывающих, например, несколько несвязанных частиц, метка σ сама может включать как

непрерывные, так и дискретные метки. Примем как часть определения одночастичного состояния, что метка σ может быть только

дискретной, и ограничимся пока что рассмотрением такого случая. (Однако конкретное связанное состояние двух или более частиц, например, низшее энергетическое состояние атома водорода, следует рассматривать как одночастичное состояние. Оно не является элементарной частицей, но различие между составными и элементарными частицами нам сейчас не важно.)

2.5. Одночастичные состояния

83

Из уравнений (2.5.1) и (2.4.26) следует, что состояния Ψp,σ

преобразуются под действием трансляций по закону

U(1, a)Ψp,σ = e-ip×aΨp,σ .

Рассмотрим теперь, как преобразуются эти состояния под действием однородных преобразований Лоренца. Из формулы (2.4.9) следует, что в результате действия квантового однородного преобразования Лоренца U(Λ, 0) ≡ U(Λ) на состояние Ψp,σ возникает собственный вектор 4-импульса с собственным значением Λp:

PμU(Λ)Ψp,σ = U(Λ)[U−1(Λ)PμU(Λ)]Ψp,σ = U(Λ)(Λ−ρ1μPρ )Ψp,σ

= ΛμρpρU(Λ)Ψp,σ .

(2.5.2)

Поэтому U(Λ)Ψp,σ должно быть линейной комбинацией векторов состояний ΨΛp,σ′:

U(Λ)Ψp,σ = åCσ′σ (Λ, p)ΨΛp,σ′ .	(2.5.3)
σ′

Âобщем случае подходящим выбором линейных комбинаций Ψp,σ можно так выбрать метки σ, чтобы матрица Cσ′σ(Λ, p) стала блоч- но−диагональной, т. е. совокупность Ψp,σ с меткой σ, принимающей

значения внутри одного блока, сама была бы представлением неоднородной группы Лоренца. Естественно сопоставить состояния частицы конкретного типа с компонентами представления неоднородной группы Лоренца, которое неприводимо в том смысле, что его нельзя далее разложить указанным способом.

Конечно, разные сорта частиц могут соответствовать изоморф-

ным представлениям, для которых матрицы Cσ′σ(Λ, p) либо тожде-

ственны, либо совпадают с точностью до преобразования подобия.

Âнекоторых случаях удобно определить типы частиц как неприводимые представления более широких групп, включающих неоднородную собственную ортохронную группу Лоренца в качестве подгруппы; например, как мы увидим, для безмассовых частиц,

взаимодействия которых сохраняют симметрию по отношению к пространственным отражениям, принято рассматривать все компоненты неприводимого представления неоднородной группы

84 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Лоренца, включая пространственную инверсию, как один тип частиц.

Наша задача заключается в исследовании структуры коэффициентов Cσ′σ(Λ, p) для неприводимых представлений неодно-

родной группы Лоренца. Для этого заметим, что единственными функциями pμ, остающимися инвариантными по отношению ко всем собственным ортохронным преобразованиям Лоренца Λμν, являются квадрат этого 4-вектора p2 ≡ ημνpμpν è çíàê p0 ïðè p2 ≤ 0. Таким образом, для каждого значения р2 è (ïðè ð2 ≤ 0) определенного знака р0 можно выбрать «стандартный» 4-импульс kμ è âûðà-

зить любой 4-вектор pμ из этого класса в виде
pμ = Lμ ν (p)kν ,	(2.5.4)

ãäå Lμν — стандартное преобразование Лоренца, зависящее от pμ и неявно от выбора стандартного импульса kμ. Затем можно определить состояния Ψp,σ импульса р как

Ψp,σ ≡ N(p)U(L(p))Ψk,σ ,

(2.5.5)

ãäå N(p) − числовой нормировочный множитель, который будет

далее установлен. До этого момента мы ничего не говорили о том, как метки σ связаны с разными импульсами. Уравнение (2.5.5) за-

полняет этот пробел.

Действуя на (2.5.5) произвольным однородным преобразованием Лоренца U(Λ), находим:

U(Λ)Ψp,σ = N(p)U(ΛL(p))Ψk,σ
= N(p)U(L(Λp))U(L−1(Λp)ΛL(p))Ψ	.	(2.5.6)
k,σ

Суть последнего шага — в том, что преобразование Лоренца L−1(Λp)ΛL(p) переводит k в L(p)k = p, затем в Λp и назад в k, так что

это преобразование принадлежит подгруппе однородной группы Лоренца, состоящей из лоренцовских преобразований Wμν, оставляющих kμ инвариантным:

Wμ νkν = kμ (2.5.7)

.

Эта подгруппа называется малой группой 5. Для любого W, удовлетворяющего (2.5.7), имеем:

2.5. Одночастичные состояния

85

U(W)Ψk,σ = å Dσ′σ (W)Ψk,σ′ .	(2.5.8)
σ′

Коэффициенты D(W) явлÿются представлением малой группы, т. е. для любых элементов W, W

å Dσ′σ (W, W)Ψk,σ′ = U(WW)Ψk,σ = U(W)U(W)Ψk,σ

σ′

= U(W)å Dσ′′σ (W, W)Ψk,σ′′ = å Dσ′′σ (W)Dσ′σ′′ (W)Ψk,σ′

σ′′ σ′σ′′

и поэтому

Dσ′σ (
	WW) = å Dσ′σ′′ (W)Dσ′′σ (W) .				(2.5.9)
		σ′′

В частности, можно применить соотношение (2.5.8) к преобразованию малой группы:

W(Λ, p) ≡ L−1(Λp)ΛL(p) ,

(2.5.10)

после чего (2.5.6) принимает вид:

U(Λ)Ψp,σ = N(p)å Dσ′σ (W(Λ, p))U(L(Λp))Ψk,σ′ ,

σ′

или, вспоминая определение (2.5.5),

F N(p) I					å Dσ′σ (W(Λ, p))ΨΛp,σ′ .
U(Λ)Ψp,σ = G				J		(2.5.11)
		Λ
H N(			p) K		σ′

Помимо вопросов нормировки, задача определения коэффициентов Cσ′σ в законе преобразования (2.5.3) была сведена к задаче

нахождения представлений малой группы. Такой подход, заключа- ющийся в получении представлений какой-то группы типа неоднородной группы Лоренца из представлений малой группы, носит название метода индуцированных представлений 6.

В таблице 2.1 приведен удобный выбор стандартного импульса kμ и соответствующей малой группы для 4-импульсов разных

классов. Из этих шести классов 4-импульсов только для случаев а, в и е известна какая-то интерпретация в терминах физичес-

86			Глава 2. Релятивистская квантовая механика
						Таблица 2.1
					Стандартный	Малая
					импульс κμ	группа
	à	p2 = – M2 < 0,		p0 > 0	(0,0,0,M)	SO(3)
	á	p2 = – M2 < 0,		p0 < 0	(0,0,0,M)	SO(3)
	â	p2 = 0,	p0 > 0		(0,0,κ,κ)	ISO(2)
	ã	p2 = 0,	p0 < 0		(0,0,κ,-κ)	ISO(2)
	ä	p2 = N2 > 0			(0,0,N,0)	SO(2,1)
	å	pμ = 0			(0,0,0,0)	SO(3,1)

Табл. 2. 1. Стандартные импульсы и соответствующие малые группы для разных классов 4-импульсов. Здесь κ — произвольная положительная энер-

гия, например, 1 эВ. Тип малых групп почти очевиден: SO(3) — обычная группа вращений в трех измерениях (не содержащая пространственных инверсий), поскольку вращения — это единственные собственные ортохронные преобразования Лоренца, оставляющие частицу с нулевым импульсом в состоянии покоя. Группы SO(2,1) и SO(3,1) — группы Лоренца в (2 + 1) и (3 + 1) измерениях, соответственно. Группа ISO(2) — группа евклидовой геометрии, состоящая из вращений и трансляций в двух измерениях. Появление этой группы в качестве малой группы для случая р2 = 0 объяснено в основном тексте.

ких состояний. Нет нужды много говорить здесь о случае е, когда pμ = 0. Он соответствует вакууму, который инвариантен по отношению к действию U(Λ). В последующем изложении мы будем

рассматривать только случаи а и в, соответствующие частицам с массой М > 0 и М = 0.

2.5. Одночастичные состояния

87

Полезно сделать паузу и сказать несколько слов о нормировке таких состояний. Пользуясь обычной квантово-механичес- кой процедурой ортогонализации и нормировки, можно выбрать состояния со стандартным импульсом kμ, ортонормированными

в том смысле, что

(Ψk′,σ′ , Ψk,σ ) = δ3 (k′ − k)δσ′σ .	(2.5.12)
(В этом соотношении возникла δ-функция, так	êàê Ψk,σ è Ψk′,σ′

являются собственными состояниями эрмитова оператора с собственными значениями k и k′, соответственно.) Отсюда вы-

текает, что представление малой группы в (2.5.8) и (2.5.11) должно быть унитарным *:

D† (W) = D−1(W) .

(2.5.13)

Что можно сказать о скалярных произведениях для произвольных импульсов? Используя унитарность оператора U(Λ) â

соотношениях (2.5.5) и (2.5.11), получаем, что скалярное произведение равно

(Ψ

,

Ψ

) = N(p)(U−1(L(p))Ψ

, Ψ

)

p′,σ′

p,σ

p′,σ′

k,σ

*

′

−1

′

*

3

(k

′

− k) ,

= N(p)N

(p

)D(W(L

(p), p )σσ′ δ

ãäå k′ ≡ L−1(p)p′.

Кроме того, k ≡

L−1(p)p, и дельта-функция

δ3(k− k′) пропорциональна δ3(p − p′).

Ïðè p′ = p преобразование

малой группы

тривиально,

W(L−1(p), p) = 1,

òàê

что скалярное

произведение

равно

(Ψp′,σ′, Ψp,σ ) =

2

δσ′σδ

3

′

− k).

(2.5.14)

| N(p) |

(k

Остается выяснить, чему равен коэффициент пропорци-

ональности

между

δ3(k − k′)

è δ3(p −

p′). Заметим,

что лоренц−

* Малые группы SO(2,1) и SO(3, 1) для p2 > 0 è pμ = 0 не имеют нетривиальных

конечномерных унитарных представлений. Поэтому, если бы существовали состояния с данным импульсом pμ ïðè p2 > 0 èëè pμ = 0, которые бы

нетривиальным образом преобразовывались под действием элементов малой группы, то таких состояний должно было быть бесконечно много.

88	Глава 2. Релятивистская квантовая механика

инвариантный интеграл от произвольной скалярной функции f(p) по 4-импульсам с -p2 = M2 ³ 0 è ð0 > 0 (т. е. для случаев а и в в

таблице) равен

z d4p d(p2 - M2 ) q(p0 )f(p) = z d3pdp0 d((p0 )2 - p2 - M2 ) q(p0 ) f(p, p0 )

X f(p, p2 + M2 )

=Y d3p

Y +

Z M2 p2 2

(q(p0) - ступенчатая функция: q(x) = 1 ïðè x ³ 0, q(x) = 0 ïðè

x < 0). При интегрировании «на массовой поверхности»

ð2 + Ì2 = 0

инвариантный элемент объема есть

d3p / p2 + M2 .

(2.5.15)

Дельта-функция определена равенством

F(p) = z F(p¢) d3 (p - p¢)d3p¢ = z F(p¢)

d3p¢

p¢2 + M2 d3 (p¢ - p)

,

p¢2 + M2

откуда инвариантная дельта-функция равна

p¢2 + M2 d3 (p¢ - p) = p0d3 (p¢ - p) .

(2.5.16)

Òàê êàê ð¢ и р связаны соответственно с k¢ и k лоренцовским

преобразованием L(p), имеем:

p0δ3 (p′ − p) = k0δ3 (k′ − k)

и поэтому

(Y ′	σ′ , Y	σ ) =| N(p)|2 dσ′σ	F p0 I				d3	(p¢ - p) .
			G			J			(2.5.17)
p ,	p,				0
			H k			K

Иногда выбирают нормировочный множитель N(p) просто равным единице, N(p) = 1, но в этом случае нужно следить за множителями p0/k0 в скалярных произведениях. Я предпочитаю более привычное соглашение

N(p) = k0 p0 ,

(2.5.18)