Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

											xi
	мированные поля.				Полюсы пропагаторов.				Во внешних линиях нет
радиационных поправок.							Контрчлены в собственноэнергетических
	частях.
10.4. Перенормированный заряд и тождества Уорда ...........................................											597
	Оператор заряда.				Перенормировка электромагнитного поля. Пере-
	нормировка заряда.				Тождество Уорда−Такахаши Тождество Уорда.
10.5. Калибровочная инвариантность ...................................................................................											604
	Поперечность многофотонных амплитуд.								Швингеровские члены.
Калибровочные слагаемые в фотонном пропагаторе. Структура фо-
тонного пропагатора.						Перенормированная масса фотона равна нулю.
	Вычисление Z3. Радиационные поправки к выбору калибровки.
10.6. Электромагнитные форм-факторы и магнитный момент .................											610
	Матричные элементы J0.						Форм-факторы Jm: ñïèí 0.			Форм-факто-
	ðû Jμ: ñïèí 1/2 .			Магнитный момент частицы спина 1/2. Измерение
форм-факторов.
10.7. Представление Челлена–Лемана *..............................................................................											618
	Спектральные функции. Условия причинности. Спектральное пред-
ставление. Асимптотическое поведение пропагаторов.										Полюсы.	Îã-
	раничение на константу перенормировки поля Z = 0 для составных
частиц.
10.8. Дисперсионные соотношения * ......................................................................................											624
	История.		Аналитические свойства амплитуды рассеяния вперед для
	безмассового бозона. Вычитания. Дисперсионное соотношение. Крос-
ñèíã.		Теорема Померанчука. Реджевское асимптотическое поведе-
íèå.		Рассеяние фотонов.
Задачи.......................................................................................................................................................											634
Список литературы ....................................................................................................................											635
11. Однопетлевые радиационные поправки
	в квантовой электродинамике..............................................................										638
11.1. Контрчлены ........................................................................................................................................											639
	Перенормировка поля, массы и заряда.							Контрчлены в		лагранжиане.
11.2. Поляризация вакуума..............................................................................................................											640
	Однопетлевой интеграл для фотонной собственноэнергетической части.
Параметры Фейнмана.						Виковский поворот			Размерная регуляриза-
	öèÿ.	Калибровочная инвариантность.						Вычисление Z3.		Сокращение
расходимостей.				Поляризация вакуума при рассеянии заряженных
частиц.			Эффект Юлинга.				Мюонные атомы.

xii			Содержание
11.3. Аномальные магнитные моменты и зарядовые радиусы ...................				655
	Однопетлевая формула для вершинной функции. Вычисление форм-
	факторов	Аномальные лептонные магнитные моменты порядка α
	Аномальные магнитный момент мюона порядка α2ln(mμ/m ).			Çàðÿ-
	довый радиус лептонов.		e
11.4	Собственная энергия электрона ....................................................................................			666
	Однопетлевая формула для электронной собственноэнергетической
	части.	Перенормировка массы электрона.	Сокращение ультра-
	фиолетовых расходимостей.
	Приложение. Некоторые интегралы ........................................................................			671
	Задачи			673
	Список ....................................................................................................................литературы			673
12. Общая .....................................................................теория перенормировок				675
12.1. Индексы ...........................................................................................................расходимости				676
	Индекс расходимости. Размерный анализ .		Перенормируемость.
	Критерий действительной сходимости.
12.2. Сокращение ...............................................................................................расходимостей				683
	Вычитание путем дифференцирования.		Программа перенор-
	мировки.	Пример: квантовая электроди-
	намика.	Рецепт перенормировки
	Боголюбова–Парасюка–Хеппа–Циммерманна.		Выбор точки норми-
	ровки: теория ϕ 4.
12.3. Нужна ....................................................................................ли перенормируемость?				699
	Список перенормируемых взаимодействий.	Не существует перенор-
	мируемых теорий тяготения. Сокращение расходимостей в неперенор-
	мируемых теориях. Подавление неперенормируемых взаимодействий.
	Пределы на новые масштабы масс.	Проблемы с высшими производ-
	íûìè.	Детектирование неперенормируемых взаимодействий. Низко-
	энергетические разложения в неперенормируемых теориях . Пример:
	скалярное поле с одной связью через производную. Насыщение или
	новая физика? Эффективные теории поля.
12.4. Плавающее .............................................................................................................обрезание				711
	Подход Вильсона . Уравнения ренормализационной группы . Теоре-
	ма Польчинского . Притяжение к стабильной поверхности .			Сравне-
	ние плавающего обрезания и перенормировки.
12.5. Случайные ........................................................................................................симметрии *				716
	Общая теория перенормировок для заряженных лептонов .			Ïåðå-
	определение лептонных полей . Случайное сохранение лептонных

							xiii
ароматов, Р, С и Т.
Задачи.......................................................................................................................................................							720
Список литературы			....................................................................................................................				720
13. Инфракрасные эффекты .........................................................................................							723
13.1. Амплитуды испускания мягких фотонов............................................................							724
Испускание одиночного фотона. Пренебрежение испусканием с внут-
ренних линий.		Лоренц-инвариантность требует сохранения заряда.
Испускание одиночного гравитона. Лоренц-инвариантность требует прин-
ципа эквивалентности.				Многофотонное излучение.		Факторизация
13.2. Виртуальные мягкие фотоны ..........................................................................................							730
Эффекты, связанные с мягкими виртуальными фотонами. Радиационные
поправки во внутренних линиях
13.3. Реальные мягкие фотоны. Сокращение расходимостей ......................							737
Сумма по спиральностям.					Интегрирование по энергиям.		Сумма по
числу фотонов.		Сокращение инфракрасных обрезающих множите-
лей. Аналогичное сокращение для гравитации
13.4. Произвольные инфракрасные расходимости ..................................................							741
Безмассовые заряженные частицы. Общее рассмотрение инфракрас-
ных расходимостей.			Струи. Теорема Ли–Науенберга
13.5. Рассеяние мягких фотонов * ............................................................................................							748
Полюсы в амплитуде.				Соотношения сохранения.		Универсальность
низкоэнергетического предела
13.6. Приближение внешнего поля *......................................................................................							752
Суммы по перестановкам фотонных вершин. Нерелятивистский пре-
äåë.	Перекрестный лестничный обмен
Задачи.......................................................................................................................................................							759
Список литературы			....................................................................................................................				760
14. Связанные состояния во внешних полях ......................................							762
14.1. Уравнение Дирака........................................................................................................................							763
Дираковские волновые функции как матричные элементы поля. Ан-
тикоммутаторы и полнота.					Собственные состояния с заданной энер-
ãèåé.	Волновые функции с отрицательной энергией. Ортонорми-
рованность. «Большие» и «малые» компоненты. Четность. Спиновая и
угловая зависимость.				Радиальные волновые функции.			Энергии.
Тонкая структура.			Нерелятивистские приближения
14.2. Радиационные поправки во внешних полях ...................................................							774

Пропагатор электрона во внешнем поле. Неоднородное уравнение

xiv		Содержание
Дирака. Эффекты радиационных поправок. Сдвиги энергии.
14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах ...........................................................................		781
Разделение больших и малых энергий. Слагаемое, соответствующее
большим энергиям.	Низкоэнергетическое слагаемое.	Влияние пере-
нормировки массы.	Полный сдвиг энергии. l = 0. l	¹ 0. Численные
результаты. Сравнение теории и эксперимента для классического
лэмбовского сдвига.	Сравнение теории и эксперимента для сдвига 1s
состояния.
Задачи.......................................................................................................................................................		802
Список литературы	....................................................................................................................	803
Авторский указатель .....................................................................................................		805
Предметный указатель ...............................................................................................		810

ОГЛАВЛЕНИЕ ТОМА II

15.Неабелевы калибровочные теории

16.Методы фонового поля

17.Перенормировка калибровочных теорий

18.Методы ренормгруппы

19.Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

20.Операторные разложения

21.Спонтанно нарушенные локальные симметрии

22.Аномалии

23.Протяженные полевые конфигурации

Предисловие к первому тому

Зачем нужна еще одна книга по квантовой теории поля? Сегодня любой студент, изучающий этот предмет, имеет на выбор ряд прекрасных книг, многие из которых вполне современны. Еще одна книга будет иметь ценность, только если она содержит что-то новое или открывает новые перспективы.

Если говорить о содержании предлагаемой книги, то хотя она и содержит довольно много нового материала, все же главное отличие от других книг заключается в общности изложения: я пытался везде, где возможно, обсуждать вопросы в максимально общем виде. Отчасти это связано с тем, что квантовая теория поля нашла применения в областях, весьма далеких от сферы ее первых успехов — квантовой электродинамики, но главным образом — с тем, что, по моему убеждению, эта общность позволяет выявить главные моменты, не дав им раствориться в технических деталях конкретных теорий. Конечно, для иллюстрации общих положений я часто использую конкретные примеры, выбранные из современной физики частиц, ядерной физики и квантовой электродинамики.

Однако главное, что побудило меня написать эту книгу, было не столько ее конкретное содержание, сколько общий замысел. Я поставил своей целью изложить квантовую теорию поля так, чтобы дать читателю максимально ясное представление о том, почему эта теория приняла такую форму, которую она имеет, и почему именно в этой форме она так хорошо описывает реальный мир.

Начиная с первых работ Гейзенберга и Паули по общей квантовой теории поля, традиционный подход заключался в том, что существование полей принималось как данное, что находило подтверждение в нашем опыте описания электромагнетизма. Затем поля «квантовались», т. е. правила канонического квантования или интегрирования по траекториям применялись к нескольким простым полевым теориям. Некоторые замечания по поводу такого традиционного подхода читатель найдет в историческом введении в гл. 1. Вне сомнения,

xvi	Предисловие

такой путь позволяет быстро войти в суть дела, но мне кажется, что он оставляет вдумчивого читателя наедине со слишком большим числом вопросов, не имеющих ответа. Почему нам следует доверять правилам канонического квантования или интегрирования по траекториям? Почему мы должны принимать за истинные простые уравнения поля и лагранжианы, которые пишутся в литературе? Кстати, а почему вообще нужны поля? Мне кажется неправильным апеллировать к нашему опыту – в конце концов, наша цель в теоретической физике заключается не просто в том, чтобы описать окружающий нас мир, но и объяснить с помощью небольшого числа фундаментальных принципов, почему этот мир таков, каков он есть.

Точка зрения, проповедуемая в этой книге, состоит в том, что квантовая теория поля такая, какая она есть, потому что (если не принимать во внимание теорий типа теории струн, в которых уча- ствует бесконечно большое число типов частиц) это единственный способ совместить принципы квантовой механики (включая свойство кластерного разложения) и теории относительности. Этой точки зрения я придерживаюсь много лет, но в последнее время она получила новую поддержку. Мы научились в последние годы рассматривать успешно работающие квантовые теории поля, в том числе и квантовую электродинамику, как «эффективные теории поля», являющиеся низкоэнергетическими приближениями к более глубокой теории, которая, может быть, является даже не теорией поля, а совсем другой теорией, скажем, теорией струн. С этой точки зрения, причина, почему квантовые теории поля описывают физику при доступных энергиях, заключается в том, что любая релятивистская квантовая теория выглядит при достаточно низких энергиях как квантовая теория поля. Поэтому важно понять основы квантовой теории поля с помощью принципов квантовой механики и теории относительности. Кроме того, в наши дни изменилась точка зрения на некоторые проблемы квантовых теорий полей, например, на неперенормируемость и «тривиальность», которые тревожили нас в те годы. когда мы рассматривали эти теории как истинно фундаментальные. В книге отражены эти изменения. Мое намерение было написать книгу по квантовой теории поля эры эффективных теорий поля.

Самыми непосредственными и очевидными следствиями теории относительности и квантовой механики являются свойства состояний частиц, поэтому частицы появляются сразу — уже в гл. 2 они введены

Предисловие	xvii

как объекты в представлениях неоднородной группы Лоренца в гильбертовом пространстве квантовой механики. В гл. 3 подготавливается почва для ответа на фундаментальный вопрос динамики: если состояние в далеком прошлом задано как некоторая совокупность свободных частиц, как будет выглядеть эта совокупность в будущем? Зная генератор трансляций во времени, т. е. гамильтониан, мы можем ответить на этот вопрос, записав разложение по теории возмущений множества амплитуд перехода, известного как S-мат- рица. В гл. 4 мы привлекаем принцип кластерного разложения для того, чтобы описать построение генератора временных трансляций

— гамильтониана с помощью операторов рождения и уничтожения. Затем в гл. 5 мы возвращаемся к лоренц-инвариантности и показываем, что как следствие этой инвариантности операторы рождения и уничтожения группируются в причинные квантовые поля. В дополнение мы доказываем СРТ теорему и теорему о связи спина и статистики. Этот формализм используется в гл. 6 для вывода фейнмановских правил для вычисления элементов S-матрицы.

Только в гл. 7 мы подходим к лагранжиану и каноническому формализму. Идея заключается в том, чтобы ввести эти понятия не потому, что они оказались полезными в других областях физики (такое объяснение всегда не слишком удовлетворительно), а потому, что этот формализм позволяет ввести гамильтонианы взаимодействия, для которых S-матрица удовлетворяет различным предполагаемым симметриям. В частности, лоренц-инвариантность лагранжиана обеспечивает существование десяти операторов, удовлетворяющих соотношениям алгебры группы Пуанкаре, а это, как мы показываем еще в гл. 3, является необходимым условием для доказательства лоренц-инвариантности S-матрицы. Наконец-то, в гл. 8 появляется квантовая электродинамика. В гл. 9 рассмотрено интегрирование по траекториям, которое используется для обоснования полученных в гл. 8 методом размахивания руками фейнмановских правил квантовой электродинамики. Такое позднее введение интегралов по траекториям несколько противоречит сегодняшней моде. Однако мне кажется, что хотя интегралы по траекториям, несомненно, являются лучшим способом быстрейшего вывода фейнмановских правил для заданного лагранжиана, они несколько затемняют квантово-механи- ческие основания подобных вычислений.

Первый том завершает серия глав 10–14, в которых излагается введение в основы вычисления радиационных поправок в общих поле-

xviii	Предисловие

вых теориях, включая петлевые поправки. Здесь также последовательность изложения несколько необычна: мы начинаем с главы, посвященной непертурбативным методам. Отчасти это сделано потому, что полученные результаты помогают понять необходимость перенормировки массы и заряда независимо от того, содержатся ли в теории бесконечности или нет. В гл. 11 представлены классические однопетлевые вычисления в квантовой электродинамике, дающие возможность, с одной стороны, объяснить полезные вычислительные приемы (фейнмановские параметры, виковский поворот, размерная регуляризация и регуляризация Паули–Вилларса), а с другой стороны, демонстрирующие перенормировку в действии. Опыт, приобретенный в гл. 11, распространяется в гл. 12 на все порядки теории возмущений и на теории общего вида. Здесь же обсуждается современный взгляд на неперенормируемость, связанный с эффективными теориями поля. Гл. 13 содержит изложение ряда специальных проблем, возникающих для безмассовых частиц низких энергий или с параллельными импульсами. Уравнение Дирака для электрона во внешнем электромагнитном поле, исторически появившееся на самой заре развития релятивистской квантовой механики, рассматривается только в гл. 14, посвященной проблемам связанных состояний. Причина заключается в том, что это уравнение следует рассматривать не как релятивистскую версию уравнения Шредингера (как это делал Дирак), а как приближение к истинной релятивистской квантовой теорий полей фотонов и электронов. Глава заканчивается рассмотрением лэмбовского сдвига и сопоставлением вычислений с современными экспериментальными данными.

У читателя может возникнуть ощущение, что некоторые вопросы, особенно в гл. 3, могли бы быть с большим основанием содержаться в учебниках по ядерной физике или физике элементарных частиц. Да, вероятно это так, но по моему мнению, эти разделы обычно либо вообще не освещаются, либо освещаются очень скупо, с использованием конкретных динамических моделей, а не общих принципов симметрии и квантовой механики. Я встречал теоретиков — специалистов по теории струн, которые никогда не слышали о связи инвариантности относительно обращения времени со сдвигами фаз в конечном состоянии, и специалистов по ядерной физике, которые понятия не имели, почему резонансы описываются формулой Брейта–Вигнера. Таким образом, в первых главах я попытался скорее перебрать, чем недобрать.

Предисловие	xix

Во втором томе речь пойдет о достижениях последних лет, которые оживили квантовую теорию поля: неабелевые калибровоч- ные теории, ренормализационная группа, нарушенные симметрии, аномалии, инстантоны и т. п.

Я попытался дать ссылки как на классические работы по квантовой теории полей, так и на полезные источники по вопросам, упомянутым, но недостаточно подробно изложенным в книге. Я не всегда знал, кто ответствен за изложенный материал, так что отсутствие ссылок не следует считать утверждением, что представленные выводы и рассуждения оригинальны. Однако, некоторые все же обладают этим свойством. Надеюсь, что мне удалось в ряде мест исправить изложение в оригинальных статьях или стандартных учебниках, например, в доказательстве, что операторы симметрии либо унитарны, либо антиунитарны, в обсуждении правил суперотбора, в анализе вырождения частиц, связанном с нестандартными представлениями отражений, в использовании принципа кластерного разложения, в выводе редукционной формулы, в выводе приближения внешнего поля,

èдаже в расчете лэмбовского сдвига.

Êкаждой главе, кроме первой, подобраны задачи. Некоторые из них рассчитаны просто на закрепление технических приемов. описанных в главе. Другие нацелены на расширение результатов главы на более широкий класс теорий.

Занимаясь преподаванием квантовой теории поля, я убедился, что каждый из томов этой книги содержит достаточно материала для одногодичного курса лекций для старшекурсников. Полагаю, что книга должна быть доступна студентам, знакомым с нерелятивистской квантовой механикой и классической электродинамикой. Кроме того, я предполагаю знакомство читателей с основами анализа в комплексной области и матричной алгебры. Сведения из теории групп и топологии объясняются по ходу дела.

Эта книга не годится для студента, который хочет немедленно начать вычислять с помощью диаграмм Фейнмана эффекты в стандартной модели сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий. Книга не подойдет и тем, кто ищет высокий уровень математической строгости. На самом деле, некоторые части книги изложены на таком уровне строгости, который вызовет слезы на глазах математически настроенного читателя. Все же, я надеюсь, что книга будет полезна тем физикам – ученым и студентам, которые хотят понять, почему квантовая теория поля такая, какая она есть. Прочтя ее, они будут

xx	Предисловие

подготовлены к любым новым открытиям в физике, выходящим за рамки нашего сегодняшнего понимания.

* * *

Большую часть того, что изложено в книге, я узнал за годы взаимодействия со многими другими физиками, число которых слишком велико, чтобы их всех здесь перечислить. Но я должен выразить особую признательность Сидни Коулмену и моим коллегам по Техасскому университету Арно Бому, Луи Бойа, Филу Канделасу, Брайсу де Витту, Сесиль де Витт-Моретт, Жаку Дистлеру, Вилли Фишлеру, Джошу Фейнбергу, Иоакиму Гомесу, Вадиму Каплуновскому, Джо Польчинскому и Полю Шапиро. Приношу благодарность Джерри Холтону, Артуру Миллеру и Сэму Швеберу за помощь в подготовке исторического введения. Я благодарю также Элис Вилсон, которая сделала рисунки и печатала исходные файлы LATEX до тех пор, пока я не научился делать это сам, а также Терри Рили за помощь в поиске бесчисленного количества книг и статей. Моя благодарность многочисленным студентам и коллегам, особенно Хидеаки Аояме, Кевину Кехиллу, Амиру Кашани-Пуру, Мичио Масуджиме, Фабио Стринго и Сан Фу Туану, за исправление многочисленных опечаток в первом издании этого тома. Я признателен Маурин Стори и Элисон Вулатт из издательства Кембриджского университета за помощь в подготовке рукописи к изданию, и особенно моему редактору Руфусу Нилу за полезные дружеские советы.

СТИВЕН ВАЙНБЕРГ

Остин, Техас. Октябрь 1994