Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

3.8. Резонансы

219

а из уравнения (3.8.10) вытекает, что

uN( r)* uN(s) = drs ,

так что в (3.8.11) может быть только одно значение r, при котором uN(r) ¹ 0 . В этом случае из (3.8.11) находим:

		(E) = δ	L1 −	iΓ	O exp(2iδ		) ≡ δ		exp(2iδ		(E)).
S	N′N					0N		N′N		N
			N′N M		P
			N	E − ER + iΓ 2Q

с полным фазовым сдвигом

δ		(E) = δ		− arctgF	Γ 2	I .	(3.8.21)
	N		0N
				G		J
				H	E − ER K

Видно, что в интервале энергий порядка Γ вокруг значения резонансной энергии ER фазовый сдвиг δN(E) совершает скачок от значения δ0N ниже резонанса до значения δ0N + π âûøå íåãî. Êàê ìû

видели в предыдущем разделе, указанные предположения выполняются для различных двухчастичных реакций типа пион-пионного или пион-нуклонного рассеяния при энергиях ниже порога рождения дополнительных пионов. В этих случаях индекс N включает полный и орбитальный угловые моменты j, l (для пион-пионного рассеяния j = l), z-компоненту полного углового момента σ, а также полный изоспин Т и его третью проекцию t. В силу теоремы Вигнера− Эккарта фазовые сдвиги могут зависеть только от j, l и T, но не от σ

или t. В указанных каналах имеются знаменитые резонансы: в пионпионном рассеянии при энергии 770 МэВ имеется резонанс, называемый ρ, ñ j = l = 1, T = 1 è Γ = 150 МэВ ; в пион-нуклонном рассеяG-

нии при энергииG 1232 МэВ имеется резонанс, называемый , с j = , l = 1, T = и шириной Γ = 110−120 ÌýÂ.

Из формул (3.7.12) или (3.7.18) следует, что когда резонансный фазовый сдвиг проходит через значение π/2 (или нечетное кратное π/2), полное сечение достигает максимума. Нерезонансные фазовые

сдвиги обычно довольно малы, так что при энергии, близкой к ER,

когда фазовый сдвиг δl проходит через π/2, сечение σtotal имеет

острый максимум. Однако иногда случается, что нерезонансный фоновый фазовый сдвиг δ0N близок к π/2, и в этом случае, когда

220	Глава 3. Теория рассеяния

фазовый сдвиг проходит через значение π в окрестности ER, â

сечении появляется узкий провал, обязанный деструктивной интерференции между резонансной и нерезонансной амплитудами. Подобные провалы впервые наблюдали в 1922 году Рамзауер и Таунсенд при изучении рассеяния электронов на атомах благородных газов.

Задачи

1. Рассмотрим теорию с сепарабельным взаимодействием, для которого

(Φβ , VΦα ) = guβ uα* ,

ãäå g − действительная константа связи, а uα − набор комплекс-

ных величин, удовлетворяющих условию

å uα 2 = 1.

α

С помощью уравнения Липпмана−Швингера (3.1.16) найди-

те явные решения для ин- и аут-состояний и постройте S-матрицу.

2. Предположим, что в реакции е+å−−рассеяния при полной энер

гии 150 ГэВ обнаружен резонанс со спином 1, причем сечение (в системе центра масс, усредненное по начальным и просуммированное по конечным спинам) упругого е+å−−рассеяния в пике резонанса равно 10−34 ñì2. Чему равна относительная вероятность распада резонансного состояния R по каналу R → e+ + e−? Чему равно полное сечение е+å−−рассеяния в пике резонанса? (При

ответе на оба вопроса не учитывайте нерезонансного фонового рассеяния.)

3. Выразите дифференциальное сечение двухчастичного рассеяния в лабораторной системе (где одна из начальных частиц покоится) через кинематические переменные и матричный элемент Mβα. (Получите формулу непосредственно, не используя

результаты, полученные в этой главе для дифференциального сечения в системе центра масс.)

Список литературы		221

4. Выведите разложение по теории возмущений (3.5.8) непосредственно из формулы (3.5.3) старой теории возмущений.

5. Можно определить состояния «стоячих волн» Ψα0 с помощью модифицированной версии уравнения Липпмана−Швингера

P

Ψα0 = Φα + Eα − H0 VΨα0 .

Покажите, что матрица

Kβα ≡ πδ(Eβ − Eα )(Φβ , VΦ0α )

эрмитова. Покажите, как можно выразить S−матрицу через K−

матрицу.

6. Выразите дифференциальные сечения упругого π+ð- è π−ð-

рассеяния через фазовые сдвиги состояний с определенными значениями полного углового момента, четности и изоспина.

7. Покажите, что состояния ΦEpjσsn, определенные формулой (3.7.5),

правильно нормированы, так что их скалярные произве-дения даются формулой (3.7.6).

Список литературы

1. Более подробно см.: Goldberger, M.L. and Watson, K.M. Collision Theory (John Wiley & Sons, New York, 1964) (имеется рус. пер.: Гольдбергер М.Л., Ватсон К. Теория рассеяния. М.: Мир, 1967); Newton, R.G. Scattering Theory of Waves and Particles, 2nd edn (Springer Verlag, New York, 1982) (имеется рус. пер. первого издания: Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1972).

1a. Lippman, B. and Schwinger, J., Phys. Rev., 79, 469 (1950).

2. Wheeler, J., Phys. Rev., 52, 1107 (1937); Heisenberg, W., Z. f. Phys., 120, 513, 673 (1943).

3. Born, M., Z. Phys., 37, 863 (1926); 38, 803 (1926).

222	Глава 3. Теория рассеяния

4. Moller, C., Kgl. Danske Videnskab. Mat. Fys. Medd., 23, No. 1 (1945);

22, No. 19 (1946).

5. Rochester, G.D. and Butler, C.C., Nature, 160, 855 (1947). Истори- ческий обзор см. в статье: Rochester, G.D., in: Pions to Quarks — Particle Physics in the 1950s, ed. by L.M. Brown, M. Dresden, and L. Hoddeson (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1989).

6. Breit, G., Condon, E.U., and Present, R.S., Phys. Rev., 50, 825 (1936); Cassen, B. and Condon, E.U., Phys. Rev., 50, 846 (1936); Breit, G. and Feenberg, E., Phys. Rev., 50, 850 (1936).

7. Tuve, M.A., Heydenberg, N., and Hafstad, L.R., Phys. Rev., 50, 806 (1936).

8. Gell-Mann, M., Cal. Tech. Synchrotron Laboratory Report CTSL-20 (1961); Phys. Rev., 125, 1067 (1962); Ne'eman, Y., Nucl. Phys., 26, 222 (1961).

9. См., например: Edmonds, A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957), Ch. 3 (где

Cj1j2 (jm; m1m2) обозначено как (j1j2jm| j1m1j2m2)) (åñòü ðóñ. ïåð.:

Эдмондс А. Угловой момент в квантовой механике. М.: Атомиздат, 1968); Rose, M.E., Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957), Ch. 3 (где Cj1j2 (jm; m1m2) обозначено как C(j1j2j; m1m2m)).

10. Feinberg, G. and Weinberg, S., Nuovo Cimento, Serie X, 14, 571 (1959).

11. Chinowsky, W. and Steinberger, J., Phys. Rev., 95, 1561 (1954); см. также: Ferretti, B., Report of an International Conference on Fundamental Particles and Low Temperatures, Cambridge, 1946 (The Physical Society, London, 1947).

12. Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956).

13. Wu, C.S. et al., Phys. Rev., 105, 1413 (1957).

Список литературы		223

14. Garwin, R., Lederman, L., and Weinrich, M., Phys. Rev., 105, 1415 (1957); Friedman, J.I. and Telegdi, V.L., Phys. Rev., 105, 1681 (1957).

15. Watson, K.M., Phys. Rev., 88, 1163 (1952).

16. Gell-Mann, M. and Pais, A., Phys. Rev., 97, 1387 (1955); см. также: Pais, A. and Piccioni, O., Phys. Rev., 100, 1487 (1955).

17. Christenson, J.H., Cronin, J.W., Fitch, V.L., and Turlay, R., Phys. Rev. Letters, 13, 138 (1964).

18. Schubert, K.R. et al., Phys. Lett., 31B, 662 (1970). В этой работе, не предполагая CPT-инвариантности, анализируются данные по распадам нейтральных каонов. Показано, что та часть CP- нарушающей амплитуды, которая сохраняет CPT и нарушает T,

имеет отличные от нуля действительную и мнимую части в пределах пяти стандартных отклонений, в то время как сохраняющая T и нарушающая CPT часть амплитуды равна нулю

в пределах одного стандартного отклонения.

19. Dalitz, R.H., Phil. Mag., 44, 1068 (1953); Fabri, E., Nuovo Cimento, 11, 479 (1954).

20. Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949).

21. См. например: Schiff, L.I., Quantum Mechanics, 1st ed. (McGrow Hill, New York, 1949), Section 19 (есть рус. пер.: Шифф Л.

Квантовая механика. М.: ИЛ, 1957).

22.Впервые это было доказано в классической электродинамике. См. например: Kramers, H.A., Atti Congr. Intern. Fisici, Como, 1927. Квантово-механическое доказательство см.: Feenberg, E., Phys. Rev., 40, 40 (1932); Bohr, N., Peierls, R.E., and Placzek, G., Nature, 144, 200 (1939).

23. Более общее доказательство было дано в конце 1960-х гг. в неопубликованной работе Ч. Н. Янга и Ч.П. Янга. См. также: Aharony, A., in: Modern Developments in Thermodynamics (Wiley, New York, 1973), pp. 95-114.

224	Глава 3. Теория рассеяния

24. См., например: Edmonds, A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957), Ch. 2 (есть рус. пер.: Эдмондс А. Угловой момент в квантовой механике. М.: Атомиздат, 1968); Rose, M.E., Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957) , Appendix III; Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974, §28, 31.

25. Wigner, E.P., Gruppentheorie (Friedrich Vieweg and Sohn, Braunschweig, 1931) (есть рус. пер.: Вигнер Г. Теория групп. М.: ИЛ, 1972); Eckart, C., Rev. Mod. Phys., 2, 305 (1930).

26. Froissart, M., Phys. Rev., 49, 1053 (1961).

27. Breit, G. and Wigner, E.P., Phys. Rev., 49, 519 (1936).

28. См. например: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Section 10.7 (есть рус. пер.: Вейнберг С.

Гравитация и космология. М.: Мир, 1974).

29. Kollath, R., Phys. Zeit., 31, 985 (1931).

4

Принцип кластерного разложения

До этого момента мы почти что не говорили о детальной структуре оператора Гамильтона Н. Этот оператор можно определить, задав все его матричные элементы между состояниями с произвольным числом частиц. Эквивалентно, как будет показано ниже, любой такой оператор можно выразить как функцию определенных операторов, уничтожающих и рождающих отдельные частицы. В гл. 1 мы видели, что такие операторы рождения

èуничтожения впервые появились на ранней стадии развития квантовой механики в схеме канонического квантования электромагнитного поля и других полей. Возник естественный формализм для теорий, в которых могут рождаться и уничтожаться как фото-

ны, так и массивные частицы, первой из которых в начале 1930-х годов стала теория β-распада Ферми.

Однако есть и более глубокая причина построения гамильтониана из операторов рождения и уничтожения, выходящая за рамки нужд квантования любой существовавшей до этого теории поля типа электродинамики и не имеющая отношения к тому, могут ли частицы реально рождаться и уничтожаться. Существенным преимуществом этого формализма является то, что если мы запишем гамильтониан как сумму произведений операторов рождения

èуничтожения с подходящими несингулярными коэффициентами, то S-матрица будет автоматически удовлетворять ключевому физическому требованию, а именно, принципу кластерного разложения 1, сводящемуся к тому, что результаты удаленных друг от друга экспериментов не коррелируют. Именно по этой причине формализм операторов рождения и уничтожения широко используется в нерелятивистской квантовой статистической механике,

226	Глава 4. Принцип кластерного разложения

где в типичной ситуации число частиц фиксировано. В релятивистских квантовых теориях принцип кластерного разложения играет решающую роль в той системе рассуждений, которая делает теорию поля неизбежной. Было много попыток сформулировать релятивистски инвариантную теорию, не являющуюся локальной теорией поля. Действительно, можно построить теории, не являющиеся теориями поля, и тем не менее приводящие к лоренц-инвари- антной S-матрице для двухчастичного рассеяния 2, но все эти попытки сталкиваются с трудностями в секторах с более чем двумя частицами: либо трехчастичная S-матрица оказывается неинвариантной по отношению к лоренцовским преобразованиям, либо нарушается принцип кластерного разложения.

В этой главе мы обсудим сначала базис состояний, содержащих произвольной число бозонов и фермионов, затем определим операторы рождения и уничтожения, и наконец покажем, как использование этих операторов облегчает построение гамильтонианов, приводящих к S-матрицам, удовлетворяющим принципу кластерного разложения.

4.1. Бозоны и фермионы

Гильбертово пространство физических состояний натянуто на состояния, содержащие 0, 1, 2, ... свободных частиц. Это могут быть состояния свободных частиц, либо инили аут-состояния. Для определенности будем рассматривать ниже состояния свободных частиц

Φp1σ1n1,p2σ2n2 ,... , но все результаты будут применимы и для инили аут-состояний. Как обычно, индекс σ отмечает z-компоненты спина

(или спиральности для безмассовых частиц), а n отмечает сорт частиц.

Нам предстоит рассмотреть вопрос, который был опущен в гл. 3, а именно, установить свойства симметрии таких состояний. Насколько мы знаем, все частицы являются либо бозонами, либо фермионами. Разница между ними состоит в том, что при перестановке двух тождественных бозонов вектор состояния не изменяется, а при перестановке двух тождественных фермионов вектор состояния меняет знак. Именно,

Φ. . . pσn. . . p′σ′n. . . = ±Φ. . . p′σ′n. . . pσn. . .

(4.1.1)

4.1. Бозоны и фермионы

227

причем верхний или нижний знак отвечает, соответственно, бозону или фермиону, а многоточием отмечены другие частицы, которые могут присутствовать в данном состоянии. Эти два случая часто называются статистикой Бозе или Ферми. В следующей главе мы увидим, что статистики Бозе или Ферми — единственно возможные случаи для частиц целого или полуцелого спина, соответственно. Однако сейчас эта информация нам не понадобится. В данной главе мы дадим нестрогое доказательство того, что все частицы должны быть либо бозонами, либо фермионами, а затем установим условия нормировки многобозонных и многофермионных состояний.

Заметим, во-первых, что если две частицы со спинами и импульсами p, σ è p′, σ′ относятся к одному сорту n, то векторы

состояний Φ. . . pσn. . . p′σ′n. . . è Φ. . . p′σ′n. . . pσn. . . представляют одно и то же

физическое состояние. Если бы это было не так, то частицы можно было бы различить по тому, в каком порядке расставлены индексы в векторе состояний, т. е. первая из указанных частиц была бы не тождественна второй. Так как два вектора состояний физически неразличимы, они должны принадлежать одному лучу, так что

Φ. . . pσn. . . p′σ′n. . . = α nΦ. . . p′σ′n. . . pσn. . .

(4.1.2)

ãäå αn — комплексное число, по модулю равное единице. Можно

считать эту формулу частью определения того, что мы подразумеваем под тождественными частицами.

Суть вопроса в том, чтобы решить, от чего может зависеть фазовый множитель αn. Если он зависит только от индекса сорта

частиц, то мы почти у цели. Вновь меняя местами две частицы в (4.1.2), получаем

Φ	...pσn p′σ′n	= α2	Φ	...pσn p′σ′n
		n

òàê ÷òî αn2 = 1, откуда и возникают только две возможности в (4.1.1). От чего же еще может зависеть αn? Этот коэффициент мог бы

зависеть от числа и сортов других частиц в состоянии (отмечено многоточием в (4.1.1) и (4.1.2)), однако это привело бы к нежелательному результату, что симметрия векторов состояний относительно перестановки частиц здесь, на Земле, зависела бы от нали- чия частиц где-нибудь в другой части Вселенной. Подобное свойство исключается принципом кластерного разложения,

228 Глава 4. Принцип кластерного разложения

который обсуждается ниже в этой главе. Фаза an не может нетри-

виальным образом зависеть от спинов тех двух частиц, которые переставляются местами, поскольку такие зависящие от спина фазовые множители должны реализовать представление группы вращений. Однако известно, что не существует нетривиальных одномерных представлений трехмерной группы вращений, т. е. представлений в виде фазовых множителей. Фаза an могла бы

существенным образом зависеть от импульсов обмениваемых частиц, однако из требования лоренц-инвариантности следует, что an может зависеть только от скаляра p1μp2μ. Этот скаляр симметричен

относительно перестановки частиц 1 и 2, поэтому такая зависимость оставляет в силе предыдущие рассуждения, приводящие к заключению, что an2 = 1.

Логический пробел в приведенной выше аргументации состо-

ит в том, что состояния Φp1σ1n,p2σ2n,... (хотя это и не отражено

в обозначениях) могут содержать фазовый множитель, зависящий от пути в импульсном пространстве, по которому импульсы частиц получают значения p1, p2, и т. д. В этом случае двойной обмен местами пары частиц може изменить состояние на фазовый множитель, причем an2 ¹ 1. Мы увидим в гл. 9.7, что в двумерном случае

такая возможность реальна, но это невозможно в случае трех и более пространственных измерений.

Как обстоит дело с перестановкой частиц разных сортов? Если угодно, можно снять проблему, просто согласившись с самого начала помечать вектор состояния, перечисляя сначала все импульсы и спиральности фотонов, затем все имульсы и проекции спина на ось z электронов, и так далее по всей таблице элементарных частиц. Альтернативно, можно принять, что метки частиц расположены в любом порядке, и определить векторы состояний с произвольно расположенными метками частиц равными вектору состояния со стандартным образом расположенными метками, умноженному на фазовые множители, зависимость которых от перестановки частиц разных сортов может быть любой.

Чтобы иметь дело с симметриями типа изоспиновой инвариантности, которые связывают частицы разных сортов, удобно принять соглашение, обобщающее (4.1.1):

вектор состояния будет считаться симметричным по отношению к перестановке бозонов или любого бозона с любым фермионом, и антисимметричным при перестановке двух фермионов во всех