Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

1. 2. Рождение квантовой теории поля	39

что противоречило полученному методами молекулярной спектроскопии 52 выводу, что 14N — бозон. Эта (и другие) проблема решилась после открытия в 1932 году нейтрона 53 и гипотезы Гейзенберга 54, что ядра состоят из протонов и нейтронов, а не из протонов и электронов. Было очевидно, что для удержания ядра между нейтронами и протонами должны действовать большие неэлектромагнитные короткодействующие силы.

После успеха фермиевской теории β-распада ряд авторов 54à

высказывал предположения, что в рамках этой теории ядерные силы можно было бы объяснить как результат обмена электронами и нейтрино. Несколькими годами спустя, в 1935 году Хидеки Юкава предложил совершенно новую квантовую теорию поля для описания ядерных сил 55. В рамках полностью классического описания он нашел, что взаимодействие скалярного поля с нуклонами (протонами и нейтронами) должно было бы порождать нуклон-ну- клонные потенциал, зависящий от расстояния между этими частицами как

V(r)	1	exp(−λr),	(1.2.74)
	r

а не как 1/r в случае кулоновского потенциала между электриче- скими зарядами. Величина λ была введена в уравнение скалярного

поля Юкавы как параметр; проквантовав это поле, Юкава обнаружил, что оно описывает частицы массой $/(λc). Взяв наблюдаемый

радиус сильного взаимодействия между нуклонами, Юкава сумел оценить, что $/(λc) порядка 200 масс электрона. В 1937 году такие

«мезоны» были обнаружены в опытах с пузырьковыми камерами 56 Сетом Неддермейером и Андерсоном, а также Джабезом Карри Стритом и Эдвардом Карлом Стивенсоном. По общему мнению, это и были гипотетические частицы Юкавы.

Открытие мезонов подтвердило, что в космическом излучении заряженными частицами могут быть не только электроны, и поэтому проблема, тревожившая Оппенгеймера и Карлсона, была снята.- Однако это открытие породило новые трудности. Лотар Нордхейм 56à отметил в 1939 году, что те же самые сильные взаимодействия, за счет которых мезоны множественно рождаются в верхних слоях атмосферы (и которые требуются теорией Юкавы) должны приводить к поглощению мезонов в нижних слоях атмосферы, что противоречило наблюдавшемуся большому количеству этих мезонов на малых

40	Глава 1. Историческое введение

высотах. В 1947 году в эксперименте Марчелло Конверси, Этторе Пан- чини и Оресте Пиччиони 57 было показано, что те мезоны, которые преобладают в космическом излучении на малых высотах, на самом деле слабо взаимодействуют c нуклонами и поэтому не могут быть сопоставлены частицам Юкавы. Эта загадка разрешилась после теоретического предположения 58, а затем и экспериментального подтверждения 59 Чезаре Латтеса, Оккиалини и Сесила Пауэлла, что на самом деле существуют два типа мезонов с несколько различающимися массами: более тяжелый (его сейчас называют π-мезоном или пионом)

способен сильно взаимодействовать и выполняет роль переносчика ядерных сил, предсказанную Юкавой; более легкий (называемый сейчас мюоном) способен только к слабым или электромагнитным взаимодействиям и преобладает в космическом излучении на уровне моря, возникая как результат распада пионов. В том же 1947 году в космиче- ском излучении были найдены совершенно новые типы частиц, известные сейчас как K-мезоны и гипероны (Джордж Рочестер и Клиффорд Батлер 60.) C 1947 года и вплоть до наших дней продолжается открытие ужасающего количества частиц все новых разновидностей, однако продолжение рассказа об этом увело бы нас далеко в сторону от предмета рассмотрения. Все эти открытия ясно показали, что любая концептуальная основа, ограниченная фотонами, электронами и позитронами, была бы слишком узкой для того, чтобы серьезно рассматриваться как фундаментальная теория. Но еще более важной оказалась чисто теоретическая проблема бесконечностей.

1.3. Проблема бесконечностей

Квантовая теория поля имеет дело с полями ψ(x), уничто-

жающими и рождающими частицы в пространственно-временной точке x. Предыдущий опыт обращения с классической теорией электрона предупреждает, что точечный электрон обладает бесконеч- ной собственной электромагнитной массой. В случае поверхностного распределения заряда по сфере радиусом a эта масса равна e2/(6πac2) и расходится при а → 0. К сожалению, та же проблема

ñеще большей остротой встала в первые же дни существования квантовой теории поля, и хотя ее удалось в значительной степени смягчить последующими улучшениями теории, она так и остается

ñíàìè ïî ñåé äåíü.

1.3. Проблема бесконечностей

41

Проблема бесконечностей в квантовой теории поля была, повидимому, впервые отмечена в работах Гейзенберга и Паули 1929−

1930 годов 41 Вскоре появление бесконечностей было подтверждено при вычислениях электромагнитной собственной энергии связанного электрона Оппенгеймером 61 и свободного электрона Айваром Валлером 62. Они использовали обычную теорию возмущений второго порядка с промежуточными состояниями, включавшими электрон и фотон. Например, сдвиг энергии электрона En на n-ом энергети- ческом уровне атома водорода определяется формулой:

		X	| < m; k, λ| H′| n >|2
En	= åY d3k									,	(1.3.1)
			E		− E		−	k	c
	m,λ	Z		n		m	|	|

где суммы и интеграл берутся по всем промежуточным состояниям электрона m, спиральностям фотона λ и импульсам фотона k, а Н′ - слагаемое в гамильтониане, описывающее взаимодействие из-

лучения и электронов. Подобное вычисление дает формально бесконечную собственную энергию; более того, если устранить эту бесконечность путем отбрасывания всех промежуточных состояний с волновыми числами фотонов большими 1/а, то собственная энергия при а → 0 ведет себя как 1/а2. Бесконечности такого рода часто

называют ультрафиолетовыми расходимостями, так как они возникают от промежуточных состояний, содержащих частицы очень коротких длин волн.

Во всех таких вычислениях электрон рассматривался по правилам первоначальной теории Дирака без заполненных состояний с отрицательной энергией. Несколькими годами спустя Вайскопф повторил вычисления собственной массы электрона в рамках новой дырочной теории с полностью занятыми состояниями с отрицательной энергией. В этом случае во втором порядке теории возмущений возникает дополнительное слагаемое, которое на языке теории без дырок может быть описано как возникающее от процессов, в которых электрон в конечном состоянии сначала рождается из вакуума вместе с фотоном и позитроном, а последний затем аннигилирует с начальным электроном. Сначала Вайскопф получил зависимость 1/а2 от величины обрезания волнового числа фотонов 1/а. В то же время (по предложению Бора) аналогичные вычисления были сделаны Карлсоном и Фарри. Увидев результаты Вайскопфа, Фарри понял, что хотя Вайскопф и учел то электростатическое слагаемое, которым

42	Глава 1. Историческое введение

пренебрегли он и Карлсон, но допустил ошибку при вычислении вклада магнитной собственной энергии. Узнав об этом от Фарри, Вайскопф исправил свою ошибку и обнаружил, что все члены порядка 1/а2 в полном сдвиге массы сократились! Однако, несмотря на это сокращение, бесконечность сохранилась: при обрезании по волновому числу величиной 1/а собственная масса оказалась равной 63

	=	3α	F	h I
mýì			m lnG		J ,	(1.3.2)
		2p
			H mcaK

Ослабление зависимости от обрезания, принявшей вид ln a по сравнению с классической зависимостью 1/а или ранней квантовой зависимостью 1/а2, было воспринято в свое время как обнадеживающий признак и оказалось очень важным позднее при развитии теории перенормировок.

В 1933 году, по-видимому, Дирак 64 обнаружил возникновение бесконечности совсем другого типа. Он рассмотрел влияние внешнего статического заряда почти однородной плотности e(x) íà âàêó-

ум, т. е. на электроны с отрицательной энергией, находившиеся в рамках теории дырок в заполненных энергетических состояниях. Кулоновское взаимодействие между e(x) и плотностью заряда элек-

тронов отрицательной энергии приводит к «поляризации вакуума» с индуцированной плотностью заряда

F	h I 2		2
de = Ae + BG		J	Ñ	e + . . .	(1.3.3)
H mcK

Константа В конечна и порядка a. В то же время, константа А логарифмически расходится как a ln a, ãäå 1/à - величина обреза-

ния по волновому числу.

Похоже, что бесконечности возникали и в связанной с предыдущей задаче рассеяния света на свете. Ганс Эйлер, Бернард Кокель и Гейзенберг 65 показали в 1935-1936 годах, что эти бесконеч-

ности можно устранить, используя более или менее произвольное предписание, ранее предложенное Дираком 66 и Гейзенбергом 67. Они вычислили эффективную плотность лагранжиана для нелинейных электродинамических процессов, порождаемых виртуальными элек- трон-позитронными парами,

	1		e4		LdE2		2	+ 7(E × B)2 O
L =		(E2 - B2 ) +	h			- B2 i			+ . . ., (1.3.4)
			2	4 7
2			360p me c		M			P
					N			Q

1.3. Проблема бесконечностей

43

справедливую при частотах ν n mec2/$. Вскоре Николас Кеммер

и Вайскопф 68 высказали соображения, что в этом случае бесконеч- ности фиктивны, и что выражение (1.3.4) можно вывести без всяких вычитательных предписаний.

Ярким лучом в борьбе с бесконечностями было успешное рассмотрение инфракрасных расходимостей, возникающих не от высокоэнергетической, а от низкоэнергетической области интегрирования. В 1937 году Феликс Блох и Арне Нордсик показали 68à, что эти бесконечности сокращаются, если учесть процессы с излучением произвольного числа фотонов низкой энергии. В современных терминах эта проблема будет обсуждаться в гл. 13.

Наконец, еще одна бесконечность возникла в 1939 году в вы- числениях Сидни Майклом Данковым 69 радиационных поправок к рассеянию электрона статическим кулоновским полем атома. Вы- числение содержало ошибку (было пропущено одно слагаемое), но это стало понятно только позднее 69à.

В 1930-е годы все эти бесконечности не воспринимались лишь как неудачи конкретных вычислений. Скорее, они указывали на пробел в понимании фундаментальных основ релятивистской квантовой теории поля, что только подчеркивалось упомянутыми в предыдущем разделе проблемами с космическим излучением.

Одним из симптомов этого непреходящего пессимизма было продолжавшееся все 30-е и 40-е годы использование альтернативных схем. Как вспоминал позднее Джулиан Швингер 69á, «основным занятием большинства вовлеченных в эти проблемы физиков был не анализ и тщательное применение известной релятивистской теории взаимодействующих электронного и электромагнитного полей, а попытки изменить ее». Так, в 1938 году Гейзенберг 70 предположил существование фундаментальной длины L, аналогичной фундаментальному кванту действия $ и фундаментальной скорости с. По предположению, теория поля была применима только на расстояниях, больших L, так что все расходящиеся интегралы эффективно должны были обрезаться на расстояниях порядка L, или на импульсах порядка h/L. Чтобы придать теории поля нелокальную структуру, было высказано несколько специальных предположений. Некоторые теоретики стали подозревать, что формализм векторов состояний и квантовых полей должен быть заменен на другой, основанный исключи- тельно на наблюдаемых величинах, типа введенной в 1937 году

44	Глава 1. Историческое введение

Джоном Арчибальдом Уилером 71 и Гейзенбергом 72 S-матрицы, элементы которой равны амплитудам различных процессов рассеяния. Как мы увидим, понятие S-матрицы стало жизненно необходимой частью современной квантовой теории поля, а для некоторых теоретиков чистая теория S-матрицы стала идеалом, особенно как возможное решение проблем сильных взаимодействий 73. Рассуждая в несколько ином направлении, Уилер и Ричард Фейнман 74 попытались в 1945 году исключить электромагнитное поле, выводя электромагнитные взаимодействия из действия на расстоянии. Им удалось показать, что полностью запаздывающий (или опережающий) потенциал можно получить, если учесть не только взаимодействие между источником и пробными зарядами, но и между этими зарядами и всеми другими зарядами во вселенной. Возможно, наиболее радикальной модификацией квантовой механики, предложенной в эти годы, было введение Дираком 75 состояний с отрицательной вероятностью как средства сокращения бесконеч- ностей в сумме по состояниям. Эта идея индефинитной метрики в гильбертовом пространстве получила развитие и в квантовой теории поля, хотя и не в оригинальной форме.

Â1930-å годы в воздухе носилась и более консервативная идея

îтом, как обращаться с бесконечностями. Возможно, все эти бесконечности могли быть поглощены в переопределении или перенормировке параметров теории. Например, уже было известно, что в любой лоренц-инвариантной классической теории электромагнитные собственная энергия и собственный импульс электрона должны иметь форму поправок к массе электрона. Отсюда, бесконечности в этих величинах можно было сократить с «голой» неэлектромагнитной массой электрона, получив конечную измеримую «перенормированную» массу. Кроме того, уравнение (1.3.3) показывает, что по-

ляризация вакуума изменяет заряд электрона от величины, равной интегралу е º ò d3x×e, до величины

eполный = z d3x(ε + δε) = (1 + A)e .

(1.3.5)

Поляризация вакуума приводит к конечным результатам в низшем порядке, если наблюдаемые величины типа сечений рассеяния

выражены через еполный, а не через е. Вопрос заключался в том, все ли бесконечности в квантовой теории поля можно устранить подоб-

ным образом. В 1936 году Вайскопф 76 предположил, что дело обстоит

1.3. Проблема бесконечностей

45

именно так, и на ряде простых примеров убедился, что известные бесконечности могут быть устранены перенормировкой физических параметров. Однако при существовавшей тогда вычислительной технике было невозможно показать, что бесконечности всегда можно устранить подобным образом, а пример Данкова 69, казалось, подтверждал, что этого сделать нельзя.

Другим результатом, связанным с появлением бесконечностей, стала тенденция полагать, что всякий эффект, который оказывался бесконечным в рамках квантовой теории поля, на самом деле не имеет места. В частности, в дираковской теории 1928 года предсказывалось полное вырождение уровней 2s1/2−2p1/2 атома водорода во всех порядках по α. Всякая попытка расчета расщепления этих двух уров-

ней в рамках квантовой электродинамики сводилась к проблеме бесконечной собственной энергии связанного электрона. Поэтому реальное существование такого расщепления не воспринималось всерьез. Позднее Бете 80 вспоминал, что «этот сдвиг оказывался бесконеч- ным во всех существовавших теориях и поэтому просто игнорировался». Такое отношение сохранялось даже в конце 1930-х годов, когда спектроскопические эксперименты стали давать прямые указания на существование расщепления 2s1/2−2p1/2 уровней порядка 1000

МГц. Заметным исключением стал Эдвин Альбрехт Юлинг 78, который понял, что упомянутый выше эффект поляризации вакуума должен приводить к расщеплению уровней 2s1/2−2p1/2. К сожалению,

как мы увидим в гл. 14, этот вклад в расщепление много меньше 1000 МГц и к тому же имеет неправильный знак.

Туман, окутывавший квантовую теорию поля, начал рассеиваться вскоре после второй мировой войны. В течение 1−4 èþíÿ 1947

года в местечке Шелтер Айленд, штат Нью Йорк, проходила конференция по основам квантовой механики, на которую собрались как физики−теоретики, работавшие над проблемами квантовой теории

поля еще в 30-е годы, так и ученые молодого поколения, начавшие научную работу во время войны. Что особенно важно, среди участников было и несколько физиков−экспериментаторов. Лидерами дис-

куссии стали Ганс Крамерс, Оппенгеймер и Вайскопф. Один из экспериментаторов (или, скорее, теоретик, ставший экспериментатором), Уиллис Лэмб, рассказал об убедительном опыте по измере-

нию сдвига уровней энергии 2s1/2−2p1/2 в водороде 79. Пучок ато-

мов водорода от источника, содержавший много атомов в 2s- и 2р-состояниях, направлялся на детектор, чувствительный только

46	Глава 1. Историческое введение

êатомам в возбужденном состоянии. Атомы в 2р-состояниях очень

быстро распадались, переходя в основное 1s состояние с испусканием одного фотона (α−линия Лаймана), в то время, как 2s-состояния

могли только медленно распадаться с испусканием двух фотонов. В результате детектор измерял число атомов в метастабильном 2s состоянии. Пучок проходил через магнитное поле, благодаря которому

êлюбому имеющемуся сдвигу уровней 2s1/2−2p1/2 добавлялся извест-

ный зеемановский сдвиг. Кроме того, на пучок накладывалось микроволновое электромагнитное поле с фиксированной частотой ν 10 ÃÃö.

При определенной напряженности магнитного поля наблюдалось резкое уменьшение сигнала детектора, свидетельствовавшее о том, что микроволновое поле породило резонансные переходы из метастабиль-

ного 2s-состояния в 2р-состояние, а затем — в основное состояние за счет быстрого перехода с испусканием лаймановской α−линии. При заданной величине магнитного поля полное расщепление уровней 2s−

2р, включавшее зеемановское расщепление и собственно сдвиг между уровнями, должно было равняться hν. Отсюда можно было из-

влечь величину расщепления уровней. Было объявлено предварительное значение сдвига, равное 1000 МГц и находившееся в согласии с более ранними спектроскопическими измерениями 77. Последствия этого открытия нашли отражение в изречении, которое я слышал в Копенгагене в 1954 году, когда проходил там аспирантуру: «Не следует говорить, что нечто равно нулю только потому, что оно равно бесконечности!»

Открытие лэмбовского сдвига вызвало глубокий интерес у теоретиков, собравшихся в Шелтер Айленде, тем более, что многие из них уже работали над улучшением формализма расчетов в квантовой электродинамике. Крамерс доложил свою работу о перенормировке массы в классической электродинамике протяженного электрона 79à, в которой показал, что трудности, связанные с расходимостью собственной энергии в пределе нулевого радиуса, не возникают в явном виде, если записать теорию в виде, где массовый параметр отождествлен с экспериментально наблюдаемой массой электрона. Швингер и Вайскопф (до которых уже дошли слухи о результате Лэмба) обсуждали ситуацию по дороге в Шелтер Айленд и высказали предположение, что поскольку, как было известно, учет промежуточных состояний, включающих позитроны, уменьшает расходимость выражений для сдвигов уровней энергии с 1/a2 до ln a, то не может ли случиться, что учет этих проме-

1.3. Проблема бесконечностей

47

жуточных состояний сделает разности сдвигов атомных уровней конечными. (На самом деле, в 1946 году, еще до того, как Вайскопф узнал об опыте Лэмба, он предложил эту задачу своему аспиранту Брайсу Френчу.) Почти сразу же после конференции, в поезде, идущем в Скенектеди, Ганс Бете 80 проделал нерелятивистское вычисление, все еще не учитывавшее эффекты, связанные с наличием позитронных промежуточных состояний, но использовавшее для устранения бесконечностей простой метод обрезания импульсов виртуальных фотонов величиной порядка mec. Бете получил вселявшее надежду приближенное значение сдвига, равное 1040 МГц. Вскоре рядом авторов 81 были выполнены полностью релятивистские вычисления, использующие для устранения бесконечностей идею перенормировок. Эти вычисления привели к блестящему согласию с экспериментом.

На конференции в Шелтер Айленде был доложен и другой взволновавший всех экспериментальный результат Исидора Раби. Проведенные в его лаборатории измерения сверхтонкой структуры водорода и дейтерия показали 82, что магнитный момент электрона отличается от предсказываемого дираковского значения e$/2mc на множитель, равный примерно 1,0013. Последующие измерения гиромагнитных отношений в натрии и галлии привели к еще более точному значению 83

μ = eh (1,00118 ± 0,00003) . 2mc

Узнав об этих результатах, Грегори Брейт предположил 83à, что отклонения возникают в результате радиационных поправок порядка a к магнитному моменту электрона. На конференции и

Брейт, и Швингер доложили о своих попытках рассчитать эту поправку. Вскоре после конференции Швингер успешно завершил расчет величины аномального магнитного момента электрона 84, получив значение

m =	eh	(1 +	α	) =	eh	× 1,001162 ,
	2mc		2p		2mc

находившееся в прекрасном согласии с экспериментом. Этот результат наряду с расчетом лэмбовского сдвига, выполненными Бете, убедили наконец физиков в реальности радиационных поправок.

48	Глава 1. Историческое введение

Применявшиеся в это время математические методы вычислений представляли собой дикую смесь концепций и формализмов. Один из подходов, развитый Швингером 85, был основан на операторных методах и принципе наименьшего действия. Этот подход был доложен на последовавшей за Шелтер Айлендом конференции в Поконо Манор в 1948 году. Другой лоренц-инвариантный операторный формализм был еще раньше построен Синитиро Томонагой 86 с сотрудниками в Японии, но эта работа сначала не была известна на Западе. Еще в 1930-е годы Томонага столкнулся с бесконечностями в мезонной теории Юкавы. В 1947 году он и его коллеги все еще находились вне общего круга научных связей: об опыте Лэмба они узнали из статьи в журнале Newsweek.

Внешне совершенно иной подход был предложен Фейнманом 87. Он коротко доложил о нем на конференции в Поконо. Вместо того, чтобы вводить квантовополевые операторы, Фейнман представил S- матрицу в виде функционального интеграла от exp(iW), где W — интеграл действия для совокупности дираковских частиц, взаимодействующих с классическим электромагнитным полем, взятый по всем траекториям дираковских частиц, удовлетворяющим при t → ± ∞ îï-

ределенным граничным условиям.

Одним из результатов работы Фейнмана, получившим необы- чайное практическое значение, была формулировка системы графи- ческих правил для вычисления элементов S−матрицы в любом

желаемом порядке теории возмущений. В противоположность старой теории возмущений 1920−1930 годов, эти фейнмановские правила

автоматически учитывали одновременно процессы рождения частиц и аннигиляции античастиц и приводили к результатам, которые на каждом этапе вычислений были лоренц-инвариантными. На примере вычисления Вайскопфом собственной энергии электрона 63 мы уже видели, что природа возникающих бесконечностей становится понятной только, когда частицы и античастицы рассматриваются на равных основаниях.

Наконец, в двух статьях 1949 года Фримен Дайсон 88 показал, что операторные формализмы Швингера и Томонаги приводят к тем же самым графическим правилам, которые нашел Фейнман. Дайсон проанализировал также бесконечности, возникающие в произвольных диаграммах Фейнмана, и наметил доказательство того, что все они относятся к тому типу, который может быть устранен при перенормировке. Одним из самых поразительных результатов, вытекав-