пособие по физике формат pdf / Глава 2. Молекулярная физика

уравнения и уравнение состояния (2.8) дадут систему трёх уравнений

с тремя неизвестными

R,

a и b.

Решив её, можно выразить эти неизвестные через

экспериментально найденные параметры

pk , vk , Tk .

Это решение даст следующие результаты [11]:

2

v

8

p v

a 3v

p

,

b

k ,

R

k

k .

k

k

3

3

T

k

На диаграмме (рис.

2.2)

можно проследить процесс получения

пара из воды. Этот процесс состоит из трех этапов и проходит при

постоянном давлении p		const.
	5
На первом	этапе	идёт	подогрев воды	до	температуры T
					5
кипения при заданном постоянном давлении				p ,	что соответствует
				5
участку прямой	p5 const		левее точки a.	При	нагревании вода

расширяется незначительно, поэтому изотермы на этом участке крутые.

Второй этап – собственно парообразование, превращение

кипящей воды в пар (отрезок ас прямой	p	const).	Это изобарно-
	5

изотермный процесс, в котором вся теплота, получаемая кипящей водой, идёт на работу резкого расширения при превращении жидкости в газ, а температура не повышается. В точке с вся вода перейдёт в состояние насыщенного пара.

Третий этап – перегрев насыщенного пара. Состояние насыщенного пара при температуре кипения неустойчиво. Небольшое охлаждение или незначительное повышение внешнего давления могут вызвать процесс, обратный парообразованию, – конденсацию. Для транспортировки, бытового и промышленного использования такой пар не пригоден. Его следует перегреть – нагреть до температуры, существенно превышающей температуру кипения. Этот этап

соответствует участку прямой p5 const, находящийся справа от точки с (рис. 2.2).

Вопросы для самоконтроля

1.Какие поправки используются в уравнении Ван-дер-Ваальса, и какие особенности реального газа они учитывают?

2.Какая изотерма Ван-дер-Ваальса называется критической?

3.Чем отличаются докритические изотермы от изотерм при температурах выше критической?

68

4.Чем объяснить, что волновой участок докритической изотермы не реален, и его следует заменить отрезком, который одновременно является и частью изобары, и частью изотермы?

5.Какой особенностью обладает точка k критической изотермы и как её можно использовать для определения параметров R,

a и b уравнения состояния (2.9).

§2.6. Распределения Максвелла-Больцмана

С молекулярной точки зрения давление плотность и температура подчиняются определенным закономерностям, которые связаны не со свойствами отдельных частиц, а со свойствами их колоссальных количеств. Такие закономерности называют

статистическими.

Статистические величины имеют функцию распределения своих значений. Задача о распределении молекул по скоростям была решена

Максвеллом. Он установил, что доля всех

обладающих скоростями в диапазоне от	w
функцией f (w) скорости w:

f (w) T1

молекул

до

w w

	N	газа,
	N

, является

T2

wН

wCA

v	КВ

w

f (w)
T T
2	1

w w w

				3			m w	2
4		m
				2
							o
		o			2	e	2kT		. (2.10)
					w
		2kT

Поскольку все молекулы газа обладают какой-то скоростью ( 0 w ), то

	f (w)dw 1 условие
0

Рис. 2.3. Распределение Максвелла	нормировки.
Функция распределения	f (w) при w wН	имеет

максимальное значение, где wН наивероятнейшая скорость. Такую

69

скорость имеет

	2kT		2RT
	m
	o

наибольшее число молекул газа. Она равна	w
	Н
, что меньше среднеквадратической скорости	(2.5)

	v			3kT
		кв		m
				o

3RT .

Из (1.53) скорость звука

	u	RT v			.
			кв	3

Кроме того, есть ещё и среднеарифметическая скорость

молекул:

wСА

8kT mo

		8	RT

. Следовательно,

u wН

wСА

vКВ .

Между двумя последовательными соударениями частица движется прямолинейно. Это расстояние называется длиной свободного пробега. Средняя длина свободного пробега

l

1
2 n d	2
o

, где

d

диаметр молекулы,

n
o

концентрация. При

нормальных условиях для азота					l		6 10	8	м	, а диаметр молекулы
						N
						2
d		3,8 10	10	м, т.е. меньше средней длины свободного пробега
	N
	2

почти в 500 раз. Поэтому при таких условиях азот можно считать идеальным газом.

	Зависимость	давления	p идеального газа				во внешнем
однородном поле силы тяжести от высоты						h	определяется
барометрической формулой:
		p(h) p e		m0 gh
				kT	,		(2.10а)
			0
где	p0 давление	на высоте	h 0,	m0	масса	молекулы, g
ускорение свободного падения, k постоянная Больцмана.

Из формулы (2.10а) следует, что при постоянной температуре давление газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура.

Зависимость концентрации

n

молекул идеального газа от

высоты h во внешнем однородном поле силы тяжести для некоторой

температуры T	определяется распределением Больцмана:
		m0 gh	Wp
	n(h) n e		n e
		kT		kT	,	(2.10б)
	0		0

70

Из данной формулы следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его

молекул W	p	, и уменьшается с высотой по экспоненциальному закону.

При одной и той же температуре молекулы, имеющие меньшую массу, более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация лёгких молекул газа на «нулевом уровне» (h 0) уменьшается по сравнению с общей концентрацией газа, а на высоте h увеличивается.

Вопросы для самоконтроля

1.Какие величины влияют на изменение площади под кривой f (w) в распределении Максвелла (2.10)?

2.Какие величины влияют на изменение положения точки

	максимума кривой				f (w) в распределении Максвелла (2.10)?
3.	Что такое длина свободного пробега молекул?
4.	Как		будет меняться крутизна			кривой	p(h)	распределения
	Больцмана (2.10а) при увеличении температуры T ?
5.	Как		будет	меняться крутизна		кривой	n(h)	распределения
	Больцмана (2.10б) в зависимости от массы m							молекул газа?
							0
6.	Как		будет		меняться	отношение		концентраций
	nH		(h) nN	(h) молекул водорода и			азота	с увеличением
		2		2

высоты h ?

§2.7. Число степеней свободы молекулы

Наименьшее число независимых координат, определяющих положение и конфигурацию молекулы в пространстве, называется числом степеней свободы молекулы. Это число зависит от атомности газа и температуры.

Модель одноатомного идеального газа (например, гелия) - это система хаотически движущихся материальных точек. Поскольку каждая такая точка участвует лишь в поступательном движении, то для определения её положения в пространстве достаточно всего трёх координат x, y, z (рис. 2.4). Поэтому число степеней свободы у

молекул (атомов) одноатомного газа i 3.

Две материальные точки, находящиеся на неизменном расстоянии друг от друга (например, модель двухатомной молекулы с

71

жесткой связью между атомами), имеют пять степеней свободы – три поступательные и две вращательные. Таким образом, двухатомная молекула может совершать пять независимых движений: три поступательных движения и два вращения. В частности, для двухатомного газа О2 (кислорода) в декартовой системе координат, в которой ось Х проходит через центры обоих атомов молекулы, последняя может двигаться поступательно вдоль осей X, Y, Z и вращаться относительно осей Y и Z (рис. 2.5). Опыт показывает, что вращение относительно оси, проходящей через центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких температурах. При обычных температурах вращение вокруг этой оси не происходит, так же как не вращается одноатомная молекула.

Z

			Y
X
Рис. 2.4.	i	He		3.

Z

z

			Y
X			у	X
Рис. 2.5.	iO	5.
		2

Z

z

		Y
		у
x
Рис. 2.6.	iCO	6.
		2

Каждое независимое движение называется степенью свободы. Таким образом, одноатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы, «жесткая» двухатомная молекула имеет 5 степеней (3 поступательные и 2 вращательные), а многоатомная молекула – 6 степеней свободы (3 поступательные и 3 вращательные). Схематически степени свободы многоатомного газа представлены на примере углекислого (трёхатомного) газа СО2 (рис. 2.6).

При достаточно высоких температурах в многоатомных молекулах возбуждаются дополнительные – колебательные степени свободы, связанные с изменением расстояний между атомами. Например, в двухатомной молекуле при данных условиях насчитывается 6 степеней свободы (3 поступательные, 2 вращательные и 1 колебательная).

72

В классической статистической физике доказывается так называемая теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы:

Если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре T , то средняя кинетическая энергия равномерно

распределена между всеми степенями свободы и для каждой поступательной и вращательной степени свободы молекулы она

равна:

	kT	.
	2

Если рассматриваются и колебательные степени свободы, то для каждой колебательной степени свободы молекулы средняя кинетическая энергия равна kT, т.к. колебательное движение связано с наличием не только кинетической, но и потенциальной энергии, причём для малых (гармонических) колебаний среднее значение потенциальной энергии равно среднему значению кинетической. Поэтому на каждую колебательную степень свободы приходится:

Eколеб kT2 kT2 kT.

Таким образом, в соответствии с законом равномерного распределения энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа произвольной атомности при температуре T будет зависеть от числа степеней свободы i молекулы этого газа:

	E			i	kT,
		к		2

i n	n	2n	,
пост	вр	колеб

(2.10в)

где	n	, n	и	n		число степеней свободы поступательного,
	пост	вр		колеб

вращательного и колебательного движений молекулы соответственно.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое число степеней свободы молекулы?

2.Сформулируйте теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы.

3.Чему равно число степеней свободы молекулы N2 (азота) при обычных температурах?

4.Чему равна средняя кинетическая энергия молекулы азота при температурах, размораживающих колебательное движение молекул?

73

§2.8. Явления переноса (диффузия, вязкость, теплопроводность)

Вследствие хаотического движения молекул происходит выравнивание значений макропараметров по всему пространству, занимаемому газом. Состояние газа, когда макропараметры имеют одинаковые значения в любой точке пространства, занимаемого газом, называется равновесным. Переход газа из неравновесного состояния в равновесное называется релаксацией. Это процесс выравнивания значений параметров по всему объёму, занимаемому газом. Такое выравнивание осуществляется на основе следующих законов природы.

1. Диффузия (перенос вещества) объясняется законом Фика:

m

D grad

,

(2.11)

S t

m , переносимая за время

t через

т.е. порция вещества массой

площадку S пропорциональна градиенту плотности .

В математике

градиент любой

скалярной

величины

U U (x, y, z) – это вектор u gradU трёхмерного пространства с

координатами

Коэффициент пропорциональности D

(его размерность в СИ

м2

) называется здесь

коэффициентом

диффузии. Знак минус

с

говорит о том, что перенос вещества направлен в сторону уменьшения плотности. Из МКТ следует, что коэффициент диффузии связан со

среднеарифметической скоростью молекул wСА и средней длиной

свободного пробега

l

(эти статистические характеристики молекул

газа определены в §2.6) соотношением:

D	1	w	l .	(2.12)
	3 CA

2. Вязкость между движущимися слоями с разными скоростями приводит к появлению касательного напряжения на границе слоёв. По закону Ньютона это напряжение пропорционально градиенту скорости:

	F	grad w.	(2.13)
	S

74

Коэффициент пропорциональности

называется здесь

динамическим коэффициентом вязкости. Из МКТ следует, что

	1	w	l .
	3	CA

Кроме динамического коэффициента

кинематический коэффициент вязкости

(2.14)

вязкости вводится ещё и

			. Из (2.14) получим,

что

1	w
3	CA

l

.

(2.15)

Как видим, кинематический коэффициент вязкости в системе СИ имеет ту же размерность, что и коэффициент диффузии. Этому закону подчиняются газы и большинство жидкостей. Те жидкости, которые не подчиняются этому закону, называют неньютоновскими жидкостями. К ним можно отнести раствор бетона, разного рода масла и взвеси.

1. Теплопроводность (перенос теплоты) описывается законом Био-Фурь:

т.е. количество теплоты

Q

S tQ

,

gradT ,	(2.16)
переносимое за время t	через

площадку S пропорционально градиенту температур T .
Коэффициент пропорциональности		называется здесь

коэффициентом теплопроводности. Знак « – » говорит о том, что перенос теплоты направлен в сторону уменьшения температуры. Из МКТ следует, что

где

cv

	1	c		w		l	,
	3		v	CA

удельная массовая теплоемкость при изохорном

(2.17)

(v const)

процессе.

Кроме коэффициента теплопроводности в теплотехнике

используется коэффициент температуропроводности

av

при постоянном объёме (v const) . Из (2.17) получим, что av 13 wCA l .

часто

cv

(2.18)

75

Из (2.12), (2.15) и (2.18) следует, что

av

D

. Эти равенства

показывают аналогию процессов переноса теплоты, массы и количества движения (импульса) в газах (тройная аналогия). Эта аналогия находит своё отражение в подобии безразмерных полей температуры, концентрации и скорости.

Вопросы для самоконтроля

1.Какое состояние газа называется равновесным?

2.Какие законы природы объясняют явление релаксации (выравнивание параметров газа по всему, занимаемому им, объёму)?

3.Сформулируйте законы Фика, Ньютона и Био-Фурье.

4.Откуда следует, что безразмерные поля температуры, концентрации и скорости движущихся слоёв газа подобны друг другу?

§2.9. Основные понятия термодинамики

Ряд явлений, протекающих в газах, можно изучать без применения механизма молекулярного движения. Именно так дело обстоит в термодинамике – науке о взаимных превращениях различных видов энергии. В отличие от молекулярной физики областью её исследований являются не микроскопические механизмы рассматриваемых явлений, а их проявления на макрофизическом уровне. Поэтому данная наука относится к разряду феноменологических. Её основу составляют фундаментальные законы природы, которые в термодинамике называют началами. Таких «начал» всего три. Их формулировка строится на основе термодинамических понятий. К изучению этих понятий мы и приступим.

Система в термодинамике формируется в соответствии с решаемой задачей. Всё, что не включено в систему, но может с ней взаимодействовать, называют внешней средой.

Макроскопическое тело системы, состоящее из большого числа частиц (молекул газа, жидкости), называют рабочим телом. Рабочее тело является посредником (агентом), с помощью которого в тепловых машинах получают работу, теплоту и холод. Оно может состоять из одного вещества (гомогенный агент) или из нескольких индивидуальных веществ (гетерогенный агент), которые называются

компонентами.

76

В общем случае взаимодействие системы с окружающей средой может состоять в обмене веществом (массообмен), в передаче энергии теплотой (теплообмен) и работой. Поэтому внешняя среда, при её абстрактном рассмотрении, может быть представлена некоторой совокупностью аккумуляторов (резервуаров) работы, теплоты и вещества.

Система отделяется от внешней среды реальной или мысленной границей, которую называют контрольной поверхностью. Контрольной поверхности можно приписать различные свойства, на основании которых термодинамические системы разбиваются на отдельные виды.

Например, если система заключена в недеформируемую и непроницаемую для потоков теплоты и частиц вещества оболочку, то её называют изолированной. Иначе говоря, изолированная система не взаимодействует с внешней средой.

Если система не обменивается с окружающей средой веществом, то её называют закрытой или замкнутой. В противном случае (когда контрольная поверхность проницаема для частиц вещества) систему называют открытой.

Закрытая система называется адиабатной, если её контрольная поверхность непроницаема ещё и для тепловых потоков (обмен теплотой между системой и окружающей средой отсутствует).

Система называется термомеханической, если она способна к энергообмену с окружающей средой только в формах теплоты и механической работы. Контрольная поверхность такой системы непроницаема для частиц вещества, но деформируема и проницаема для теплоты.

F

x

Рис. 2.7. Пример термомеханической системы

Примером термомеханической системы с двумя степенями свободы может служить газообразное рабочее тело, находящееся в надпоршневом пространстве теплового двигателя. Взаимодействие

77