пособие по физике формат pdf / Глава 2. Молекулярная физика

этой системы с окружающей средой в форме механической работы осуществляется благодаря перемещению поршня, и в форме теплоты – путем теплообмена через теплопроводную стенку цилиндра и поршень, которые в данном случае образуют контрольную поверхность термомеханической системы (рис. 2.7). При нагревании рабочее тело будет совершать работу при своём расширении:

A F x.

Вопросы для самоконтроля

1.Назовите основные виды термодинамических систем.

2.Какие виды взаимодействия термодинамической системы с внешней средой вам известны?

3.Какие виды энергетического взаимодействия адиабатной системы с внешней средой имеют место?

§2.10. Функции процесса и состояния

При расширении газа в цилиндре происходит перемещение поршня, и совершается работа. Если рассмотреть перемещение

поршня на малое расстояние x (рис. 2.7), то силу						F , совершающую
работу, можно принять постоянной. Тогда				элементарная работа
A F x	F	S x p V .
	S
Эта элементарная работа, совершаемая					термомеханической
системой, равна произведению давления					p	на элементарное
приращение объёма			V . Следовательно,	в	качестве некоторой

обобщенной силы, совершающей работу, здесь выступает давление p, а обобщенной координатой, вдоль которой направлен вектор силы

и по которой происходит перемещение, является объём V .

Чтобы найти работу, полученную в процессе перехода системы из состояния 1 в состояние 2, надо вычислить определенный интеграл

V2

A pdV , который численно равен площади криволинейной

V1

трапеции V 12 V		(рис. 2.8).
1	2
Если	этот	процесс изотермный, то

p p1V1 . Тогда с использованием (2.7) получим

V

pV

p V
1	1

,

откуда

78

	V		V	dV
A	2		2
		1	1
		pdV p V		V
	V		V
	1		1

p

p1 1

V1

V2 Рис. 2.8. Работа A pdV

p V ln			V	mRT ln	V
			2		2
1	1		V	1	V
			1		1
				3
	2
				V
	V			V
	2			3

, совершаемая процессом

. (2.19)

1→2.

V1 При изобарном процессе 1→3 (рис. 2.8) давление

p const

и

тогда

V
3
A	pdV
V
1

	V
1	3
p		dV
	V
	1

p (V
1	3

V1 )

,

(2.20)

т.е. в данном случае работа будет равна площади прямоугольника

V 13V .
1	3
	При изохорном		процессе V const . Поэтому	dV 0 и,
следовательно,		A 0 .	Иначе говоря, в изохорном процессе система
не производит никакой работы над внешней средой.
	Работа –	это энергетическая характеристика взаимодействия

системы с внешней средой. Её величина зависит от процесса (формы его кривой), по которому осуществляется это взаимодействие. Если изменить форму дуги соединяющей точки 1 и 2 (рис.2.8), то изменится и площадь трапеции V112 V2 .

Другой энергетической характеристикой взаимодействия системы с внешней средой является теплота. Элементарную порцию теплоты dQ , получаемую из внешней среды, можно представить в

виде произведения некоторой обобщающей силы на приращение некоторой обобщающей координаты:

dQ TdS .

(2.21)

Здесь в качестве обобщающей силы использована абсолютная температура T , а в качестве обобщающей координаты, вдоль которой

79

направлен вектор силы, вводится величина Из (2.21) следует, что энтропия равна

S

, называемая энтропией.

	S		dQ		.
			T
	Энтропия в СИ измеряется в	Дж		. Следовательно, это тоже
		К

некоторая энергетическая характеристика – приведённая теплота. Данная энергетическая характеристика зависит от количества

газа. Поэтому удобнее пользоваться удельной энтропией, отнесённой на единицу массы газа (энтропия одного килограмма газа):

которая измеряется в

s mS Дж

кг К

m1 dQT

. Здесь m

dqT ,

масса газа,

	q	Q
		m

(2.22)

теплота,

приходящаяся на 1 кг газа.

Из интегрирования уравнения (2.21) можно получить теплоту, получаемую системой при некотором процессе 1→2:

На

s

s2
q Tds.	(2.23)
s1
T диаграмме эта величина	будет представлять собой

площадь криволинейной трапеции

T К

1

s 12s	2
1

(рис. 2.9).

T1

T2

Рис. 2.9. Теплота

s1

q

s2Tds

s1

2

s

s2 Дж/(кг·К)

, получаемая в процессе 1→2.

Энергетические характеристики работа и теплота являются функциями процесса, их величина зависит не только от начального и

80

конечного состояния, но и от формы пути, по которому протекал процесс.

Величина энтропии не зависит от кривой процесса, а её изменение при протекании какого-либо процесса зависит лишь от начального и конечного состояния. Это функция состояния. Она характеризует энергетическое состояние системы, а не энергию её взаимодействия с внешней средой.

Другой функцией состояния является внутренняя энергия системы. Она равна сумме кинетических энергий её молекул:

N

U Eki N Ek , i 1

(2.23а)

где

N

число молекул системы,

энергия молекулы в системе.

Ek

	i	kT
	2

средняя кинетическая

Следовательно, внутренняя энергия	U	системы полностью
определяется её абсолютной температурой T	– параметром состояния
и её изменение будет зависеть лишь от начального T			и конечного T
		1	2

значений температуры процесса 1→2, но не от формы кривой этого процесса.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое энтропия? В каких единицах в СИ эта величина измеряется?

2.Какие энергетические характеристики определяют энергию взаимодействия термодинамической системы с внешней средой?

3.Какие энергетические характеристики определяют собственную энергию термодинамической системы?

4.Какие энергетические характеристики являются функцией процесса?

5.Какие энергетические характеристики являются функцией состояния?

§2.11. Первое начало термодинамики

Этот закон есть основной закон природы о сохранении и превращении энергии, применённый для термомеханической системы

81

и записанный с помощью основных записывается следующим уравнением:

Q U

понятий термодинамики. Он

A,

(2.24)

т.е. теплота Q , получаемая системой из внешней среды, идёт на
изменение её внутренней энергии U	и совершение ей работы A над
внешней средой.

		В дифференциальной форме для рабочего тела в 1 кг этот закон
	имеет вид:
							dq du pdv,			(2.25)
	где	q	Q	, u	U	, v	V	,	dA pdv соответственно	теплота,
			m		m		m

внутренняя энергия, объём и элементарная работа расширения одного килограмма рабочего тела (газа).

Термодинамические процессы могут протекать таким образом, что рабочее тело, пройдя ряд последовательных состояний, возвращается в исходное состояние. Такой замкнутый круговой процесс называют циклом.

Все тепловые машины работают в режиме цикла, при котором рабочее тело непрерывно меняет свои состояния, описывая некоторый круговой процесс, с периодическим возвращением в своё исходное состояние.

Круговой процесс называют прямым циклом, если он протекает в направлении часовой стрелки. Прямые циклы совершают положительную работу и свойственны тепловым двигателям.

Работа прямого цикла равна площади трапеции 1о1а22о за вычетом площади трапеции 1о1b22о (рис. 2.10а).

	А		Q Q
	ц		1	2
			а
P 1	a	T 1		2
	3 2		b
	b		qо
1о	2о	1о		2о
v1	v	v		S
	v2
	a)			б)

Рис. 2.10. Произвольный цикл: а) vp-диаграмма, б) sT-диаграмма.

82

Эта работа больше нуля. Следовательно, её осуществляет система над внешней средой.

Цикл, протекающий в направлении против часовой стрелки, называют обратным. Обратные циклы характерны для холодильных машин и тепловых насосов. Их работа отрицательная – её осуществляют внешние силы над системой.

Поскольку внутренняя энергия

U

функция состояния, то за

один цикл её изменение U 0 , и из (2.25) имеем, что	Q A , т.е.
для получения работы необходимо затратить энергию Q .

Воображаемый двигатель, который вопреки данному результату позволяет получать работу из «ничего» (без использования энергии извне), называют вечным двигателем (лат. perpetuum mobile) первого рода. В связи с этим первое начало термодинамики состоит в принципе невозможности perpetuum mobile первого рода.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое термодинамический цикл?

2.Какой цикл называют прямым, а какой – обратным?

3.В каких тепловых машинах используется прямой цикл, и в каких – обратный?

4.Сформулируйте первый закон термодинамики и его следствие с использованием понятия «вечный двигатель первого рода».

§2.12. Теплоемкость

Теплоемкостью С называют количество теплоты, которое нужно сообщить системе, чтобы нагреть её рабочее тело на один кельвин (градус)

	С	Q		Дж		.	(2.26)
		T		К

Эта величина зависит от количества рабочего тела системы. Чем его больше, тем больше потребуется теплоты, чтобы нагреть его на один градус.

Поэтому удобнее пользоваться удельными теплоемкостями:

Массовая удельная теплоемкость

	c	1 Q
		m T

	Дж		;
	кг К

83

Молярная удельная теплоемкость

число молей.

	c	1 Q
		T

	Дж
моль К

 

, где

Объёмная удельная теплоемкость

V объём рабочего тела.

Из данных определений удельных следующие соотношения между ними: cm

		1 Q		Дж				, где
c		V T			3
			м			К
теплоёмкостей						вытекают
			или
c c V

	c c	m	cM ,	c c	V	cv

где M молярная масса, v объём При нормальных условиях, т.е. при

		,	c c	m
				V

одного моля,

температуре

c ,	(2.26а)
	плотность.
T0 273,15K и

давлении

условиях

p00



	1атм,
	M	10
	22,4

v 3

кг
м	3

		м	3
	22,4			,
		кмоль

.

а плотность газа при этих

Теплоёмкость, хоть и незначительно, зависит от температуры. Поэтому представленные выше теплоёмкости являются их средними значениями на интервале температур [Т ,Т Т ]. А точное значение

удельной массовой теплоёмкости c (далее её будем называть просто теплоёмкостью) определится как

	c	1 dQ		dq	.
		m dT		dT

(2.27)

Следовательно, элементарная порция тепловой энергии, полученной извне на 1 кг рабочего тела, в этом случае будет равна

dq cdT.

(2.28)

Для нагрева газа в замкнутом недеформируемом объёме требуется меньше теплоты, чтобы увеличить его температуру на один градус, чем на нагревание той же массы газа в цилиндре с поршнем, потому что часть энергии в последнем случае будет уходить на расширение газа, обеспечивающее работу по передвижению поршня. Поэтому различают теплоёмкости при постоянном объёме:

dq
cv		(2.29)

dT v const

и теплоёмкости при постоянном давлении:

84

При этом

c	p	c	,
		v

dq
c p				.
dT p const
а их разность		c	p	c
				v

(2.30)

будет численно равна

той работе расширения, которую 1 кг данного газа способен совершить при его нагревании на один кельвин.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое теплоёмкость?

2.Какие удельные теплоёмкости вы знаете?

3.Зависит ли теплоёмкость от вида процесса, при котором происходит обмен теплотой между системой и внешней средой?

4.Что означает разность теплоёмкостей cp cv ?

§2.13. Соотношения между параметрами системы в зависимости от вида термодинамического процесса

Рассмотрим зависимость теплоёмкости от вида процесса.

1) Изохорный процесс:

v const.

Тогда

dA pdv

0,

и из

(2.25) следует, что

dqv

du,

а с учетом (2.28)

du cvdT.

(2.31)

Если количество рабочего тела молях, то для одного его моля будем

(2.31):

du cv

измерять не в килограммах, а иметь уравнение, аналогичное

dT ,

(2.31а)

где внутренняя энергия одного моля рабочего тела с учётом (2.23а) и

(2.7) равна

uU Ek N

	i	kTN
	2	A

2i RdT

		i	R
		2

cvdT

	T , откуда с учётом (2.31а) получим
	или c	i
			R.			(2.31б)
	v	2

Таким образом, молярная удельная теплоёмкость

cv

при

постоянном объёме определяется лишь числом степеней свободы

i

молекул рабочего тела.

Элементарная энтропия для данного процесса согласно (2.22)

равна

85

	dq		dT
ds	v	c		.	Пусть переход системы из состояния 1 в
	T	v	T

состояние 2 происходит при постоянном объёме. Тогда из интегрирования последнего выражения можно найти изменение энтропии при изохорном процессе:

2	dT		2	dT					T
s cv			cv		cv (ln T2 ln T1) cv ln				2	.	(2.32)
	T			T					T
1			1
									1
Вывод этого результата сделан в предположении, что
зависимость теплоёмкости				c от температуры пренебрежимо мала. Из
				v
(2.32) следует, что			при изохорном нагревании					(T T ) энтропия
								2	1
возрастает, а при изохорном охлаждении (T						T ) – убывает.
					2		1
2) Изобарный процесс:					p const .	Тогда из (2.25),					(2.28) и
(2.8) следует:
	dq		du pdv c dT pd				RT	c dT RdT .
		p
					v		p	v

С другой стороны, из (2.30) имеем

dq	p	c	p	dT.

Поэтому

dqp cpdT cvdT RdT .

А из последнего равенства следует уравнение Майера: cp cv R.

(2.33)

(2.33а)

Это уравнение объясняет смысл удельной газовой постоянной.

Ранее было отмечено, что разность

c	p	c
		v

численно равна той работе

расширения, которую 1 кг данного газа способен совершить при его

нагревании на один кельвин. Поэтому величина

R

определяет

величину этой работы. Например, в §2.3 было уже подсчитано, какую

работу способен совершить один

килограмм

кислорода

260

Дж

RO

.

кг

2

К

c cM

и

RM , то после умножения левой и

Поскольку

R

правой части уравнения Майера (2.33) на молярную массу M

получим:

Дж

cp cv

R 8,314

.

(2.33б)

моль

К

86

Следовательно, один моль любого газа при нагревании на один кельвин способен совершить работу, равную 8,314 Дж.

Из (2.33а) и (2.31б) следует, что и молярная удельная

теплоёмкость c	p	при постоянном давлении также определяется лишь
числом степеней свободы i			молекул рабочего тела:

c			i
	p			1 R.
			2

(2.33в)

Элементарная энтропия для данного процесса согласно (2.22)

равна

		dq
	ds	p
		T

	c		dT	.
		p	T

Рассмотрим случай, когда переход системы

из состояния 1 в состояние 2 происходит при постоянном давлении. Тогда из интегрирования последнего выражения можно найти изменение энтропии при изобарном процессе:

2	dT	2 dT				T
s cp		cp			cp (ln T2 ln T1) c p ln	2	.	(2.34)
	T		T
1		1				T
						1
Вывод этого результата сделан в предположении, что
зависимость теплоёмкости c			p	от температуры пренебрежимо мала. Из

(2.34) следует, что при изобарном нагревании

возрастает, а при изобарном охлаждении (T		T )
	2	1
3) Изотермный процесс:	T const.

(T	T )	энтропия
2	1

–убывает.

Вэтом случае

du cvdT 0,

и с учётом (2.25) и (2.8)

dqT

pdv RT

	dv	.
	v

Пусть

переход системы из состояния 1 в состояние 2 происходит при постоянной температуре. Тогда из интегрирования последнего выражения можно найти количество теплоты, получаемой при изотермном процессе:

2 dv

v

2

p

qT RT

RT ln

RT ln

1

.

(2.35)

1

v

v

p

2

1

А изменение энтропии в этом процессе будет, соответственно,

равно

q

v

2

p

s

R ln

R ln

1

.

(2.36)

T

v

p

2

1

Отсюда следует, что энтропия при изотермном расширении возрастает, а при изотермном сжатии – уменьшается.

87