ЗАНЯТИЕ № 4

	1. а) Res f (0)= 0,		π			4
		Res f	4		=		,
						π

π										− 8
Res f	+πn	=											,	n = 0, ±1, ± 2,...
				π			2	(2n		+1)(4n +1)
2
б) Res f (0)=			1				, в) Res f (0)= 5,							Res f (1)= e,			г) Res f (0)= −	1	,
		24																6
							1								1
д) Res f (−1)=									,		Res f (2)= −					.
							27
														27
2. а) (1 − 2e−1 )πi, б) −											4	ln 3πi, в) 0, г) 2πi, д) 0.
										3
									ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
В задаче 1 вычислить значение функции f (z)																	в точке z0.

В задаче 2	найти действительную и мнимую части функции
w = f (z) .
В задаче 3 найти аналитическую функцию			f (z) по заданной
действительной (u) или мнимой (v)		части и заданному значению
f (z0 ) .
В задаче 4	найти область, на	которую	заданная функция

w = f (z) отображает указанную область G. Заданную область G на плоскости Z и ее образ на плоскости W изобразить на чертежах.

В задаче 5 вычислить ∫ f (z)dz.

γ

В задаче 6 вычислить с помощью формулы Коши ∫ f (z)dz , где γ –

γ

замкнутый контур, пробегаемый против часовой стрелки.

Взадаче 7 записать ряд Лорана функции f (z) в окрестности точки z0 и определить область сходимости полученного ряда.

Взадаче 8 найти особые точки функции f (z) и выяснить их характер.

70

В задаче 9 найти вычеты функции f (z) в изолированных особых точках.

В задаче 10 вычислить с помощью вычетов ∫ f (z)dz , где γ – за-

γ

мкнутый контур, пробегаемый против часовой стрелки.

Вариант 1

1.

f (z)= Ln z, z0 =1+

i.

3

2.

w = zez .

3. u = x2 − y2 +3x + y, f (0)= i.

4.

w = i(2z +1), G : квадрант Re z ≥ 0, Im z ≥ 0.

5.

∫Re zdz, γ – отрезок прямой от точки z0 = 0 до точки z1 = 2 +i.

γ

6.

∫

zdz

,

γ :

z +i

=1.

γ z2 +1

1

7.

f (z)= z2e z , z0 = 0.

8.

f (z)=

z + 2

.

(z −1)3 (z +1)

9.

f (z)=

z

.

(z − 2)sin z

10. ∫

dz

, γ :

z + 2i

=1.

(z2 + 4)2

γ

Вариант 2

1.

f (z)= zi ,

z0 = i.

2.w = sin z.

3.u = x3 −3xy2 + 2, f (0)= 2 +i.

4.w = e2z + i, G : полоса − ∞ < Re z < +∞,0 ≤ Im z ≤ π;

71

5.

∫ zdz,

где

γ

– ломаная с вершинами в точках

z0 = 0, z1 =1,

γ

z2 =1+i.

6.

∫

ez dz

,

γ:

z

= 2.

(z −i)3

γ

1

7.

f (z)= sin

,

z0 = 0.

z

8.

f

(z)=

1

.

(z2 +i)3

9.

f

(z)=

ez

.

z2

(z +3)

10. ∫

tgz

dz,

γ :

z + 2

= 2.

z + 2

γ

Вариант 3

1.

f (z)= ez , z0

= 3 + πi.

2.

w = ch z.

4

3.

v = 2ex cos y,

f (0)= 2(1+i).

4.

w = (1−i)(1+ z), G :треугольник с вершинами в точках

z1 = 0,

z2 = −i, z3 =1.

5.

∫z2dz, γ – отрезок прямой, соединяющий точку

z0 = 0

с точ-

γ

кой z1 =1 + i.

6. ∫

z2dz

,

γ:

z −i

= 2.

(z −2i)2

γ

1

7.

f (z)=

,

z0

=1.

(z +3)(z −1)4

8.

f (z)= соs

1

.

z +i

72

9. f (z)= z2z5−1.

10. ∫	ez	dz, γ:		z		=1.
	2z
γ

Вариант 4

1.

f (z)= 2z , z0 =1 + i.

2.

w = cos z.

3. u = x2 − y2 + 5x + y −

y

, f (1)= 6 − 2i

x2 + y2

4.

w =

1

, G :полуплоскость

Im z ≥ 0.

z + i

5.

∫

dz

,

γ –

полуокружность

z

=1 от точки

z

γ

z1 = −1, лежащая в верхней полуплоскости.

6.

∫

dz

,

γ:

z +1

=1,5 .

(z −

1)3 (z +1)3

γ

7.

f (z)

= sin

1

,

z0 = 2 .

(z − 2)

8.

f (z)

(z + 6)sin(z + 5)

=

(z4 − z2 )(z2 − 25).

9.

f (z)=

сosz .

z3

10.

∫

dz

,

γ:

z

= 3.

(z

+ 2)(z

−1)

γ

(z > 0).

z0 =1 до точки

	Вариант 5
1.	f (z)= Ln z, z0 = 3 + 4i.
2.	w = e z 2 .

73

3.

u = x2 − y2 + xy, f (0)= 0 .

4.

w =

z + i

,

G :квадрант Re z > 0, Im z ≤ 0.

z − i

5.

∫Re z dz,

γ – окружность

z − a

= R , пробегаемая против ча-

γ

совой стрелки.

6.

∫

ez dz

,

γ:

z

=1,5 .

(z + i)2

γ

7.

f (z)=

ez

,

z0 = 0 .

z2

8.f (z)= zz2−+11 .

9.f (z)= (z −z1)2 .

10. ∫

zdz

,

γ – эллипс

(x −1)2

+

y2

=1.

γ

z2 −1

1

9

Вариант 6

1.

f (z)= ez , z0 = 2 − 3i.

2.

w = sh z.

3.

v = x3 + 6x2 y −3xy2 − 2y3, f (0)= 0 .

4.

w =

1

,

G :полуплоскость Re z ≥ 0.

z +1

5.

∫zdz, где γ – дуга параболы y =x2 от точки (0; 0) до точки (1; 1).

γ

6.

∫

ez dz

,

γ:

z +1

=1,5 .

γ (z + 2)4

1

f (z)= (z − 2)3 e

, z0 = 2 .

7.

z −2

74

8.

f (z)=

z2

.

1 − cos z

9.

f (z)=

sin z

.

z3 − z

10.

dz

,

γ:

z −1 − i

= 2 .

∫γ

(z2 +1)(z −1)

Вариант 7

1.

f (z)= сosz, z0 = i.

2.

w =z2ez .

3.

u = x2 − y2 + 2x, f (i)= 2i −1.

4.

w = z2 , G : прямоугольник 0 ≤ Re z ≤1, 0 ≤ Im z ≤ 2.

5.

∫ zzdz,

γ – дуга окружности

z

=1, 0 ≤ arg z ≤ π.

6.

γ

dz

,

γ:

z

=1,5 .

∫

(z +1)

2 (z + 2)

γ

7.

f (z)=

ez

, z0 = 0 .

z5

8.f (z)= sinz2 z .

9.f (z)= z2z4−1 .

10.

∫

ez dz

, γ:

z − i

=1.

z4 + 2z2

+1

γ

Вариант 8

1.

f (z)= sin z,

z0 =1 + 2i.

2.

w =z2 −

z

.

75

3.	u = −2ex sin y, f (0)= 2i .
4.	w = ez ,	G : полоса − ∞ < Re z < +∞,	− π ≤ Im z ≤ 0.
5.	∫ z2dz,	γ– ломаная с вершинами	в точках z0 = 0 , z1 =1,
	γ

z2 =1+i .

6.

∫

dz

,

γ:

z

=1.

z2 + 2z

γ

1

7.

f

(z)=

, z0 = i .

z2 +1

8.

f

(z)= cos z .

z −

π

2

9.

f

(z)=

сosz

.

(z + 4)z2

10.

∫(z −1)2

1

dz,

γ:

z +1

= 0 .

z +1

γ

Вариант 9

1.

f (z)= Ln z, z0 = 3 + 4i.

2.

w = ez Re z.

3. u = x3 −3xy2 , f (0)= i.

4.

w = z2 ,

G : полуполоса 0 ≤ Re z ≤1, Im z ≥ 0;

5.

∫(2 −3z + z2 )dz,

γ −произвольный контур, соединяющий

γ

точку z1 = 0

с точкой z2 = i.

6.

∫

zdz

,

γ :

z + 2i

= 2.

z2 +9

γ

1

7.

f (z)=

, z0

=1.

z(z −1)2

76

8.

f (z)= tg z .

9.

f (z)=

1

.

(z −1)(z + 2)

10. ∫

z +1

dz ,

γ :

z

= 3 .

(z − 2)2

γ

Вариант 10

1.

f (z)= 2z , z0 =1−i.

2.

w = z3 + Im z.

3.

v = arctg

y

, (x > 0), f (1)= 0.

x

4.

w = i(2 − z),

G :квадрат 0 ≤ Re z ≤1, 0 ≤ Im z ≤1.

5.

∫ z dz, γ − отрезок прямой от точки z0 = 0 до точки z1 =1+i.

γ

6.∫ cos zdz , γ : z = 2.

γ(z −i)2

7.f (z)= z(z1+5), z0 = 0.

8.f (z)= (z2 1+1)3 .

9.f (z)= cosz4 z .

	10. ∫		(z + 3)dz	, γ :		z −	1		=1 .
			(z −1)(z +1)2				2
		γ
						Вариант 11
	1.	f (z)= Ln z, z0 = −i.
	2.	w = (z +i)ez .

3. v = y2 − 2y − x2 +1, f (2i)= i −1.

77

4.

w = (1 + i)z + 3,

G :круг

z

≤1.

5.

∫Re z dz,

γ −радиус-вектор точки z0 = 2 + i .

γ

6.

∫

ez dz

,

γ :

z +1

=1,5.

z(z −1)3

γ

1

7.

f (z)=

, z0

= i.

(z −i)(z −1)

−e−

.

8.

f (z)= e

z

z

z

9.

f (z)=

z +1

.

z3 + 4z

10.

∫

zdz

,

γ :

z −

2

= 0,5 .

γ (z −1)(z

− 2)2

Вариант 12

1.f (z)= cos

2.w = ez+i .

3.v = 3x2 y −

z, z0 = 5 −i.

y3 +3y −1, f (1+i)= 2 + 4i.

	4.	w =	z −i	, G :квадрант Re z > 0, Im z > 0.
			z + i
	5.	∫ z dz, γ − отрезок прямой, соединяющий точку z0 = 0 с точ-
		γ

кой z1 = 2 +i.

6.		dz				z + 2i
	∫γ	z2 (z2 + 4), γ :					=1.
	1
7.	f (z)= z3e z , z0 = 0.
	1
8.	f (z)=			.
			z2 +5z + 4

78

9. f (z)=

cos z

.

π

z2 z −

2

10. ∫

sin zdz

,

γ :

z

= 2 .

π

2

γ

−

z z

2

		Вариант 13
1.	f (z)= Arccos z, z0 = 2.
2.	w = z2 + Re z.	f (−i)=1+3i.
3.	u = e1+y cos x,

4.w = 11+− zz , G :полуплоскость Re z ≤ 0.

5.∫ z2dz, γ − произвольный контур, соединяющий точку z1 = 0

γ

с точкой z2 =1+i.

6.

∫

ez dz

, γ :

z − 2

=1,5.

z(z −1)

γ

7.

f (z)= z

2 sin 1

,

z0 = 0.

z

8.

f (z)=

z

.

(4 + z2 )sin z

9.

f (z)=

z −1

.

z2 +1

10.

∫

dz

,

γ :

z

=1.

z3 + 4z2

γ

Вариант 14

1.

f (z)= Arccos z,

z0 = 2i.

2.

w = z3 Im z.

79

v = e1+2 y sin 2x,

i

3.

f

−

=

3.

2

4.

w = (1 − i)z + 2i,

G :круг

z

≤1.

5.

∫Rezdz,

γ − дуга параболы y = x2 от точки (0; 0) до точки (1; 1).

γ

6.

∫

dz

,

γ :

z

=

1.

z2 + 4z

γ

7.

f (z)= z cos 1 , z0 = 0.

z

8.f (z)= z2 sin 1z .

9.f (z)= ez−2z .

10. ∫

1

dz ,

γ :

z

=1,5 .

1− z2

γ

Вариант 15

1.

f (z)= Ln z, z0 =1+i.

2.

w = (z +i)2.

3. u = x4 −6x2 y2 + y4 , f (0)= 0.

4.

w = −i(2z −1),

G : полуплоскость Rez ≥ 0.

5.

∫sin zdz,

γ − произвольный контур, соединяющий точку z0 = 0

γ

с точкой z = π +i.

1

2

6.

∫sin 2z dz ,

γ :

z

= 2.

γ (z +1)4

1

7.

f (z)= (z −3i)sin

, z0 = 3i.

z −3i

80

8.

f (z)=

cos z

.

π

2

z −

(z2

+1)

2

9.

f (z)=

1

(z2 + 9)2

10.

∫

ez

dz

,

γ :

z

=

1

.

(z +

1)2 z

2

γ

Вариант 16

1.

f (z)= Аrcsinz,

z0 = 2.

2.

w =

Re z

.

z

3. u =

x

, f

(2)= 1 .

x2 + y2

2

4.

w = (1+ i)z,

G : круг

z −1

≤1.

5.

∫

z

dz,

γ −отрезок прямой, соединяющий точку z1 = −1 с

γ

точкой z2 =1.

6.

∫

z2dz

,

γ :

z

= 3.

(z − 2)3

γ

1

7.

f (z)=

, z0 = 0.

z(z2 +1)

8.

f (z)=

z −1

.

cos z

9.

f (z)=

z2 +1

.

(z + 2)2 (z −3)

10. ∫ cos z dz ,

γ :

z

= 3.

γ

z2

81

				Вариант 17
1.	f (z)= ez ,			z0 = πi .
				2
2.	w = z2 sin z.
3.	u = x3 −3xy2 +3x2 −6x −3y2 , f (0) = 0.
4.	w =	z + i	,	G :полуплоскость Re z > 0.
		z −i
5.	∫Re z dz,			γ −отрезок прямой, соединяющий точку z1 = i с
	γ

точкой z2 = 2 −i.

6.∫γ z2dz+1, γ : z −i =1.

7.f (z)= cos z 1−3 , z0 = 3.

8.f (z)= ez −z2z −1.

1

9.

f (z)=

e z

.

z −1

10. ∫

z − 2

dz , γ :

z + 0,5

= 3.

γ z(z −1)

Вариант 18

1.

f (z)= z1+i ,

z0 = i.

2.

w =

cos z

.

z

3.

v = x + y − 3, f (0)= 0 .

4.

w =

z

,

G :полуплоскость Re z > 0 .

z +i

82

5.

∫

z

dz,

γ – полуокружность

z

=1 от точки z1 = −1 до точки

γ

z2 =1, лежащая в верхней полуплоскости;

6.

∫

dz

,

γ :

z −3i

= 2 .

γ z3 + 4z

1

7.

f (z)=

,

z0 = 3 .

(z +1)(z −3)

8.

f (z)=

z

.

tgz

1

9.

f (z)= e z .

10.

∫

sin z

dz , γ :

z

= 2 .

π

2

γ

−

z z

2

Вариант 19

1.

f (z)= cos z, z0 =1+i.

2.w = Ln z.

3.v = 2xy, f (0)= 0.

4.w = 3z2 , G :полуплоскость Im z > 0;

5.

∫ z3dz,

γ −произвольный контур, соединяющий точку z0 = 0

γ

с точкой z1 =1+i.

6.

∫

ez dz

, γ :

z −i

= 3.

z2 + π2

γ

1

7.

f

(z)=

,

z0 =1.

(z −1)(z −3)

8.

f

(z)=

z3

.

sin4 z

83

9.

f

(z)=

z6

.

(z −1)3

10.

∫

z −1

dz ,

γ :

z

= 3 .

z2 + 4

γ

Вариант 20

1.

f (z)= cos z,

z0 = 2 −i.

2.

w =zi .

3.

u = x2 − y2 , f (0)= 0 .

4.

w = (1+

G : круг

z

≤1.

3i)z − 2i,

5.

∫Im z dz,

γ–

отрезок прямой, соединяющий точку z0 = 0 с

γ

точкой z1 = 2 +i .

6.

∫

(z2 +1)dz

,

γ :

z +1

=1.

z2 −1

γ

1

7.

f

(z)=

, z

= 0 .

z(z −1)

0

8.

f

(z)=

cos z

.

z −i

f (z)=

sin z

9.

z(z2 + 4).

10.

∫

dz

,

γ :

z

=1,5 .

γ

(1+ z)2 (z + 2)

Вариант 21

1.

f (z)= zi , z0 =1+i.

2.

w =

Im z

.

z

84

3.

v = 4x3 y − 4xy3, f (0)= 0 .

4.

w = i(3z −1),

G :полуплоскость Im z > 0 .

5.

∫(z2 + iz − 2 )dz, γ – произвольный контур, соединяющий точ-

γ

ку z1 = 0 с точкой z2 = i −1.

6.

∫

dz

,

γ :

z − 2i

= 2.

(z2 +9)2

γ

1

7.

f

(z)=

,

z0 = 2 .

(z −1)(z − 2)3

8.f (z)= sinz2z .

9.f (z)= zz2−+11 .

10. ∫

dz

,

γ :

z

= 2 .

sin z

γ

Вариант 22

1.

f (z)= Arcsin z,

z0 = 3.

2.

w =

z

cos z.

3.

v = 3x2 y + 6xy −6y − x3 , f (0)= 0. ;

4.

w = (1−i)(1+ z),

G :треугольник с вершинами в точках z1 = 0,

z2 = −i, z3 = −1.

5.

∫ z

z

dz,

γ − дуга параболы y = x 2 от точки z1 = 0 до точки

γ

z2 =1+i.

6. ∫	sin zdz	, γ :		z		=1,5.
γ	(z +i)3

−1

7.f (z)= ze z2 , z0 = 0.

85

8. f (z)= (z2z+21)2 .

9.f (z)= 3 1 . z (z − i)

10.∫ cos z dz , γ : z −1 = 2 .

γ z3

		Вариант 23
1.	f (z)= ez , z0 = 3 +i.
2.	w = z3i .
3. u = x2 − y2 +3x, f (0)= 0.
4.	w = ez +3,	G :полоса − ∞ < Re z < +∞, 0 ≤ Im z ≤ π.
5.	∫Im z dz,	γ −ломаная линия, соединяющая точки z0 = 0,
	γ

z1 = i, z2 = 2 +i .

6.∫γ z2dz+ 4, γ : z − 2i =1.

7.f (z)= z(z1−1) , z0 =1.

8.f (z)= z2z ++14z .

9.	f (z)=				2			.
			(z −i)(z +1)
10. ∫		eiz dz			dz , γ :		z		= 4 .
		(z − π)3
	γ								Вариант 24
1.	f (z)= Lnz, z0 = 3 − 4i.
2.	w = z cos z.

86

3.

v = 2xy + 3y, f (0)= 0 .

4.

w =

z + i

,

G :полоса Re z > 0, Im z > 0 .

z

5.

∫ z dz,

γ − отрезок прямой, соединяющий точку z1 = 2i с точ-

γ

кой z2 =1−i .

6.

∫

zdz

,

γ:

z

= 2.

(z −1)2

(z

+3)

γ

7.

f (z)= z

2 cos

1

,

z0 = 0.

z2

8.f (z)= (sinz +21)z2 .

9.f (z)= (z +z1)3 .

10.

∫

e−z dz

, γ :

z

= 3.

z2

γ

Вариант 25

1.

f (z)= cos z,

z0 = 2i.

2.

w

=

z2

+i

.

z

3.

u = x3 −3xy2 − 2y, f (0)= 0 .

4.

w = i(1 − z),

G : треугольник с вершинами в точках

z1 = 0,

z2 =1, z3 = −i .

5.

∫(z + 2)dz,

γ − произвольный контур, соединяющий

точку

γ

z1 = 0 с точкой z2 = i ;

6.

∫

sin zdz

,

γ :

z

=1,5.

γ

(z +i)3

87

7.	f (z)				1			z0 = 0.
			=	z(z2 +5),
8.	f (z)= sin 1 .
					z
9.	f (z)=				z4	.
				(z + i)2
10.	∫	ez			dz , γ :			z		= 3 .
		z2	+1
	γ

88