Известные теоремы для непрерывности функции действительного переменного справедливы и для ФКП.

Если функция непрерывна в каждой точке множества, то она называется непрерывной на этом множестве. Точками разрыва

называют точки, в которых нарушаются условия непрерывности функции.

§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФКП

Под элементарными функциями ФКП аргумента z = x +iy понимаются обычно следующие функции:

	f (z) = az +b,					(a,b Z) – линейная функция;
	f (z) = zn (n – целое) – степенная функция;
	f (z) =	az +b				, (a,b,c, d Z)			– дробно-линейная функция;
		cz + d
		a	0	zn + a zn−1			+ + a	n
	f (z) =					1			– общая рациональная функция;
		b zm +b zm−1					+ +b
		0				1	m
	f (z) =	1				1
		2	z +			– функция Жуковского,
						z

а также показательная, логарифмическая, тригонометрические, гиперболические функции и обратные тригонометрические функции.

1. Показательная функция еz для любого комплексного числа z = x +iy определяется формулой

w = ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y +i sin y) .	(3)
Положив в (3) y = 0 , видим, что для действительных	z = x
имеем ez = ex . При x = 0 получаем формулу Эйлера:
eiy = cos y + isin y .
Для показательной функции справедливы соотношения:

9

z

z

z +z

ez1

z

−z

e 1

e

2 = e

1

2

;

= e 1

2 .

ez2

Докажем первую из этих формул:

ez1 ez2 = ex1 +iy1 ex2 +iy2 = ex1 ex2 eiy1 eiy2 =

= ex1 +x2 (cos y

+ isin y

) (cos y

2

+ isin y

2

) =

+x2 [cos y cos y

1

1

)]=

= ex1

2

− sin y sin y

2

+ i(cos y

sin y

2

+ sin y

cos y

2

1

1

1

1

= ex1 +x2 [cos(y

+ y

2

)

+ isin(y

+ y

2

)]= ex1 +x2

ei( y1 + y2 ) =

1

1

= e(x1 +x2 )+i( y1 + y2 ) = ez1 +z2 ,

что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и вторая формула.

Функция ez является периодическойс чисто мнимымпериодом2πi :

ez +2πki = ex+i( y +2πk) = ex (cos(y + 2πk) + isin(y + 2πk)) = = ex (cos y + isin y) = ez .

Из формулы (3) видно, что модуль показательной функции ez равен ex , а аргумент – y , т.е.

	ez		= ex ; argez = y;	Argez = y + 2πk.
2. Логарифмическая функция				w = Ln z определяется как

функция, обратная показательной. Число w называется логариф-

мом числа z , если ew = z.

Положив z = reiϕ ,	w = u +iv , получим eu+iv = reiϕ . Отсюда
eu = r ; v = ϕ+ 2πk ,	u = ln r , где ln r – натуральный логарифм по-

ложительного числа r . Следовательно,

10

w = Ln z = ln r +i(ϕ+ 2πk)= ln		z		+i(arg z + 2πk),	(4)

где k – любое целое число.

Эта формула показывает, что логарифмическая функция комплексного аргумента имеет бесконечно много значений. При

k = 0

будем иметь так называемое главное значение логарифма,

которое обозначается символом ln z :

ln z = ln

z

+i arg z.

Если z = x > 0 , то arg z = 0 и ln z = ln

z

= ln x .

Из формулы (4) следует, что

Ln(z1 z2 ) = Ln z1 + Ln z2 ;

Ln

z1

= Ln z − Ln z

2

;

z2

1

Ln zn = n Ln z ;

1

= 1 Ln z .

Ln z n

n

3.

Тригонометрические функции

sinz =

eiz − e

−iz

cos z =

eiz + e−iz

;

2i

;

2

(5)

tgz = sin z ;

cos z

ctgz =

.

cos z

sin z

Для действительных z = x эти определения дают тригонометрические функции действительного аргумента:

	sin z = eix −e−ix	=	1	(cos x +i sin x −cos x +i sin x)=	2i sin x	= sin x.
			2i		2i
	2i

11

Функции (5) сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного аргумента. Так, например, из периодич-

ности функции ez с периодом 2πi , функции sin z и cos z имеют период 2π , функции tg z и ctg z – период π . Все известные триго-

нометрические тождества остаются в силе и для тригонометрических функций (5).

В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функций sin z и cos z могут быть больше единицы.

4. Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные по отношению к тригонометрическим.

Число w называется арксинусом числа z (обозначение w = Arcsin z ), если z = sin w :

z = sin w = eiw −e−iw

2i

или

e2iw − 2izeiw −1 = 0.

Решая это квадратное уравнение относительно eiw , найдем:

eiw = iz + 1− z2 ,

откуда

iw = Ln(iz + 1− z2 )

и

w = Arcsin z = −i Ln(iz + 1− z2 ) .

Многозначность этой функции определяется двузначностью корня и бесконечнозначностью логарифма.

Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции:

12

Arccos z = −i Ln(z + z2 −1) = −i Ln z + i1− z2 ;

Arctg z = −

i

Ln

1+iz

;

2

1−iz

Arcctg z =

i

Ln

z −i

.

2

z +i

5. Гиперболические функции

shz =

ez − e−z

;

chz =

ez + e−z

;

2

2

(6)

thz = sh z

ch z

;

cthz =

.

ch z

sh z

Функции sh z и ch z

периодические с периодом 2πi ; th z и cth z

имеют период πi . Опираясь на формулы (5) и (6), легко получить

следующие формулы, выражающие гиперболические функции через тригонометрические:

sh z = −i sin iz ; ch z = cosiz ; th z = −i tg iz ;

cth z = i ctg iz .

6. Общая степенная функция

w = z1z2 = e Ln z1z2 = e z2 Ln z1 .

13

ЛЕКЦИЯ № 2 § 4. ПРОИЗВОДНАЯ ФКП. УСЛОВИЯ КОШИ – РИМАНА

Пусть однозначная функция w = f (z) определена в некоторой окрестности конечной точки z . Выберем в этой окрестности точку

z + ∆z , тогда ∆w будет приращением функции									f (z)	при переходе
от точки z к точке z + ∆z :		∆w = f (z + ∆z) − f (z) .
Если существует конечный предел отношения
	∆w	=		f (z + ∆z) − f (z)
	∆z					∆z
при ∆z → 0 , то
1) функция	f (z) называется дифференцируемой в точке z ;
2) этот предел называется производной функции										f (z)	в точке
z и обозначается
′	′		∆w		=	lim	f (z + ∆z)− f (z)			.	(7)
w	= f (z)= lim		∆z					∆z
	∆z→0					∆z→0			при	∆z → 0. Сле-
Из определения ∆w = f		(z)∆z + γ∆z , где γ → 0
		′

довательно, при ∆z →0 ∆w → 0, т.е. из дифференцируемости функ-

ции в некоторой точке следует непрерывность функции в этой точке. Обратное утверждение, как и для функции действительной пе-

ременной, в общем случае неверно.

Выразим приращение функции ∆w, функции f (z) через приращение функций u(x, y) и v(x, y): w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y); ∆z = ∆x +i∆y. Тогда ∆w = f (z + ∆z) − f (z) =[u(x + ∆x, y + ∆y) +iv(x + ∆x, y + ∆y)] −

−[u(x, y) +iv(x, y)] =[u(x +∆x, y +∆y) −u(x, y)] +i[v(x +∆x, y +∆y) −v(x, y)] = = ∆u(x, y) + i∆v(x, y), где ∆u(x, y) = u(x + ∆x, y + ∆y) −u(x, y) , ∆v(x, y) = v(x + ∆x, y + ∆y) −v(x, y) .

Следовательно, формулу (7) можно переписать так:

′	lim	∆u +i∆v	.	(8)
f (z)=		∆x +i∆y
	∆y→0
	∆x→0

14

Выясним теперь при каких условиях ФКП будет дифференцируемой в данной точке. Здесь имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy , необходимо и достаточно, чтобы:

1)функции u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы в точке (x, y) ;

2)в точке (x, y) выполнялись условия Коши–Римана:

∂u	=	∂v	;	∂u	= −	∂v .	(9)
∂x		∂y		∂y		∂x

При этом для производной f '(z) справедлива формула

f '(z) = ∂∂ux + i ∂∂vx = ∂∂yv −i ∂∂uy .

Доказательство

Необходимость. Пусть функция w = f (z) дифференцируема в

точке z . Тогда lim	∆w	существует и конечен при приближении
∆z→0	∆z

точки z + ∆z к точке z любым образом (т.е. этот предел не зависит от закона стремления ∆z = ∆x +i∆y к нулю).

Пусть сначала точка z + ∆z				приближается к					z по прямой, па-
раллельной действительной оси, т.е. пусть								∆z = ∆x → 0. В этом
случае формула (8) дает следуещее:
′		∆u + i∆v					∆u	+ i	∆v
	lim				=	lim			=
f (z)=			∆x
	∆x→0					∆x→0 ∆x			∆x	(10)
		∆u				∆v	= ∂u + i ∂v
=	lim		+ i	lim
∆x→0		∆x		∆x→0		∆x	∂x	∂x

15

(т.к f '(z) существует по условию, то из (10) следует существование

∂u и ∂v ). ∂x ∂x

Если же точка z + ∆z приближается к z по прямой, параллельной мнимой оси, то ∆z = i∆y → 0 и формула (8) дает следующее:

′	lim	∆u +i∆v	= lim	∆v	−i lim	∆u	=	∂v	−i	∂u	.
f (z)=		i∆y		∆y		∆y		∂y		∂y
	∆y→0		∆y→0		∆y→0

Но предел (7) не должен зависеть от закона стремления ∆z лю, а потому (10) и (11) должны быть равны. Следовательно,

∂∂ux + i ∂∂vx = ∂∂yv −i ∂∂uy ,

(11)

к ну-

отсюда и следуют равенства (9), что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть теперь	выполняются равенства (9) и
u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы	в точке (x, y) . Это означает, что

∆u = u(x + ∆x, y + ∆y) −u(x, y) =				∂u(x, y)
					∂x
		∆v =	∂v(x, y) ∆x +	∂v(x, y)
			∂x		∂y
где lim	α = 0;	lim	β = 0 или lim		α = 0;
∆x→0		∆x→0	∆z→0
∆y→0		∆y→0

∆x + ∂u(x, y) ∆y + α∆z , ∂y

∆y +β∆z ,

lim β = 0.

∆z→0

Используя (8),

∆w можно представить в виде ∆w = f (z +∆z) − f (z) =

= ∆u + i∆v = ∂u ∆x + ∂u

∂v ∆x +

∂v

+ (α + iβ)

∆z

=

исполь-

∆y + i

∆y

∂x

∂y

∂x

∂y

зуя условия Коши–Римана, все частные производные поу заменим част-

ными производными по

х

=

∂u

∆x −

∂v

∂v

∆x +

∂u

+ η∆z

=

∂x

∂x

∆y + i

∂x

∂x

∆y

16

=

здесь

η = α + iβ → 0

= ∂u (∆x +i∆y)+ ∂v

(i∆x −∆y) +η

∆z

=

∆z→0

∂x

∂x

здесь

i∆z = i∆x −∆y =

∂u ∆z +i

∂v

∆z +η∆z

.

Следовательно,

∂x

∂x

∆w =

∂u

∂v , что и тре-

∆w =

∂u

+i

∂v +η. А это означает, что

lim

+i

∆z

∂x

∂x

∆x→0

∆z

∂x

∂x

бовалось доказать.

Для функций комплексного переменного сохраняются все правила дифференцирования функции действительного переменного:

1)( f (z) + g(z))'= f '(z) + g'(z);

2)( f (z)g(z))'= f '(z)g(z) + f (z)g'(z);

3)f (z) ' = f '(z)g(z)2− f (z)g'(z) ;

g(z) g (z)

	4)	f [g(z)]'= f '[g(z)]g'(z) .
	Функция f (z) называется дифференцируемой в области, если
она дифференцируема в каждой точке этой области.
			Пример 1
	1.	Рассмотрим функцию ez = ex (cos y +i sin y) = u(x, y)+iv(x, y),
где		u(x, y) = ex cos y;	v(x, y) = ex sin y.		Тогда	∂u = ex cos y;
						∂x
∂v	= ex cos y, откуда ∂u		= ∂v ;	∂u = −ex sin y; ∂v = ex sin y, откуда
∂y		∂x	∂y	∂y	∂x

∂∂uy = − ∂∂vx .

Видим, что условия Коши–Римана выполняются, следовательно, функция дифференцируема, причем

(ez )'= ∂∂ux +i ∂∂vx = ex cos y +iex sin y = ex (cos y +i sin y) = ez .

17

2. Рассмотрим функцию

z

= x −iy ;

z ≠ 0;

u = x; v = −y . Имеем

∂u

=1;

∂v = −1. Следовательно,

∂u

≠

∂v . Условия Коши–Римана

∂x

∂y

∂x

∂y

не выполняются, функция не дифференцируема.

Пример 2

Установить, являетсялифункция f (z)=

1 дифференцируемой(z ≠0).

z

Решение. Преобразуем функцию

f (z)= 1 =

1

=

x −iy

=

x

−

y

i ,

x +iy

x2 + y2

x

2 + y2

x2 + y2

z

u(x, y)=

x

,

v(x, y)= −

y

.

x2 + y2

x2 + y2

Проверим выполнение условий Коши–Римана:

∂u(x, y)	=	(x2 + y2 )− 2x2
∂x		(x2 + y2 )2

∂v(∂xy, y)= − (x(2x2++y2y)2+)22y2

Следовательно, ∂u(x, y)= ∂v(x, y).

∂x ∂y

Аналогично

=(xy22+−yx22)2 ;

=− (x2 − y2 ).

x2 + y2

18