где все контуры, как внутренние, так и внешние, обходятся против часовой стрелки (или все по часовой стрелке). Получаем другую формулировку теоремы Коши для многосвязной области.

Теорема. Если функция f(z) аналитична в замкнутой многосвязной

области D , то интеграл от этой функции по внешнему контуру, ограничивающему область D, равен сумме интегралов по всем внутренним контурам, ограничивающим D, при этом все контуры, как внешний, так и внутренние, обходят либо по часовой стрелке, либо против.

Следствие. Если функция ƒ(z) аналитична в некоторой односвязной области D, то для любой дуги L, принадлежащей D, инте-

грал от ƒ(z) по L зависит только от начальной z0 и конечной z то-

чек дуги L.

В этом случае пользуются следующим обозначением:

∫ f (z)dz = ∫z f (ξ)dξ = F(z)− F(z0 ),

L

z0

где F(z) – первообразная для ƒ(z), т. е. ƒ(z)= F / (z) .

Методы интегрирования неопределенных интегралов для функции комплексного переменного такие же, как и для функции действительной переменной. Таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова.

§ 9. ФОРМУЛА КОШИ

Пусть функция ƒ(z) аналитична в замкнутой области D и пусть L – граница D. Тогда значения функции ƒ(z) в любой точке z области D можно вычислить, зная только значениеƒ(z) на границе L, по следующейформуле:

f (z)=	1	L∫	f (ξ)dξ	,	(19)
	2πi		ξ − z

где L обходится в положительном направлении.

30

Интеграл в правой части (19) называется интегралом Коши для функции ƒ(z), а сама формула (19) – интегральной формулой Коши.

Из нее следует, что аналитическая в замкнутой области функция полностью определяется своими значениями на границе области D.

Выведем формулу Коши.

	Т. к. ƒ(ξ) аналитична в D, то ϕ(ξ) =	f (ξ)	аналитична в D всюду,
		ξ− z

за исключением точки z D . Ограничим точку z окружностью C радиуса r, взяв r настолько малым, чтобы C не пересекала L (рис. 7). Тогда в замкнутой двусвязной области D* с границей L и C функция ϕ(ξ) аналитична. По теореме Коши для многосвязной области

∫	f (ξ)dξ	= ∫	f (ξ)dξ	.	(20)
L	ξ − z	C	ξ − z

Рис. 7

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части (20). Для этого сделаем замену переменной: ξ − z = reit (уравнение окружностиC). Тогда

dξ = ireit dt; ∫		f (ξ)dξ		2π	f (z + re		it	)	ireit dt	2π	f (z + reit )dt
			=	∫						= i ∫
		ξ − z			reit
C				0						0
2π					2π				2π
= i ∫		f (z + reit )dt −i ∫				f (z)dt + i ∫				f (z)dt =
0					0			0

= i2∫π[f (z + reit ) − f (z)]dt + 2πif (z).

0

Из непрерывности функции ƒ(z) в точке z следует, что для δ > 0, что для r < δ:

=

(21)

ε > 0

31

f (z + reit ) − f (z) < ε

			2∫π[f (z + reit ) − f (z)]dt					< 2πε
			0
	lim					2∫π[f (z + reit ) − f (z)]dt = 0.			(22)
					r→0 0
Учитывая (22), из выражения (21) имеем следующее:
∫	f (ξ)dξ				= i2∫π[f (z + reit )− f (z)]dt + 2πif (z).
	ξ − z
L					0

Левая часть этого равенства не зависит от r. Переходя к пределу

при r → 0 и учитывая (22), получим ∫ f (ξ)dξ = 2πif (z) . Формула (19)

L ξ − z

доказана.

С помощью теоремы Коши можно вычислять некоторые контурные интегралы.

Пример 1

∫			ez	dz =	∫			f (z)dz	= f (4) 2πi = e4 2πi (рис. 8).
z−5		=2 z − 4			z−5		=2	z − 4

Рис. 8

32

Пример 2

Вычислить C∫ z2dz+1 , где С – окружность радиуса 1 с центром в точке i.

Решение. Имеем для С уравнение

z −i

=1 (рис. 9).

dz

dz

dz

1

2πi

z +i

∫

= ∫

= ∫

= 2πi

=

= π.

C z2 +1

C (z −i)(z +i)

C z −i

z +i z=i

2i

Рис. 9

Пример 3

Вычислить интеграл, пользуясь формулой Коши:

∫		ez2		dz,	L :		z −2		= 3.
		2	−6z
L z

Решение. Воспользуемся интегральной формулой Коши:

1	∫	f (z)dz	= f (z0 ), где z0 D,
2πi L		z − z0

где f (z) – аналитическая функция в области D , ограниченной кусоч- но-гладким замкнутым контуромL (обход против часовой стрелки).

33

Внутри области, ограниченной окружностью z − 2 = 3, находится одна точка z = 0, в которой знаменатель обращается в нуль.

ez2

ez2

ez2

πi .

∫

dz = ∫

z −6

dz = 2πi

= −

L z2 −6z

L

z

z −6

z=0

3

Обобщая формулу Коши, можно доказать следующую теорему.

Теорема. Если функция ƒ(z) аналитична в замкнутой области D , то в каждой точке области D она дифференцируема сколько угодно раз, причем n-я производная представляется формулой

f (n) (z) =	n!	∫	f (ξ)dξ	,	(23)
	2πi L (ξ− z)n+1

где L – граница области D обходится в положительном направлении.

Следовательно, из аналитичности функции ƒ(z) в некоторой точке z, т.е. из дифференцируемости ƒ(z) в окрестности этой точки следует, что ƒ(z) дифференцируема в точке z сколько угодно раз и, сле-

довательно, все производные ƒ(z), ƒ′(z) ,… аналитичны в точке z. Формула (23) также может служить для вычисления некоторых

контурных интегралов.

									Пример 4
	Вычислить L∫					ezdz			, где L – произвольный замкнутый контур с
					(z −i)3
	центром в точке i.
	Решение.
	∫	ezdz	=	2πi		(ez )//			z=i = πiei = πi(cos1+i sin1) = π(i cos1−sin1).
	L (z −1)3			2!

34

Пример 5

Вычислить

∫=2

ez

dz.

z

(z −1)(z −3)

Решение.

e

z

ez

e

z

e

z −

3

= 2πi

= −πei.

∫

(z −1)(z −3)

dz =

∫

z −1

dz =

2πi

−

3

z=1

−2

z

=2

z

=2

z

Пример 6

Вычислить

∫=2

z +1

dz.

z

(z −1)3(z −4)

Решение.

z +1

z +1

∫

dz =

∫

z − 4

dz =

z

=2 (z −1)3 (z

− 4)

z

=2

(z −1)3

1

z

+1

//

5

//

=

2πi

z =1

= πi 1

+

z =1 =

2!

z − 4

/

z − 4

5

10πi

10π

= πi −

=

=

.

(z − 4)

2

z =1

(1− 4)

3

− 27

Пример 7

Вычислить

∫

sin z

dz .

2

Решение.

z

=1

z

∫

sin z

dz = 2πi (sin z)/ z =0

= 2πi(cos0) = 2πi.

2

z

=1 z

35

ЛЕКЦИЯ № 4 § 10. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ФКП

Пусть {zn}={xn +iyn} – последовательность комплексных чисел. Сумма членов этой последовательности является рядом

∞

∑zn = z1 + z2 +...+ zn +... , (24)

n=1

тогда

n

Sn = ∑zi =z1 + z2 +... + zn – n-я частичная сумма ряда (24).

i=1

Ряд (24) называется сходящимся, если последовательность {Sn} его частичных сумм имеет конечный предел nlim→∞ Sn = S , в против-

ном случае ряд (24) называется расходящимся. S называется суммой ряда (24).

Остатком называется ряд Rn = zn+1 + zn+2 +... , т.е. S = Sn + Rn ,

отсюда, если ряд (24) сходится, то lim Rn = 0.

n→∞

На основании § 2 лекции № 1 можем сформулировать теоремы.

Теорема 1. Для сходимости ряда (24) необходимо и достаточно, чтобы сходились два ряда с действительными члена-

∞	∞
ми ∑xn , ∑yn .
n=1	n=1

Доказательство теоремы предоставляем читателю. Теорема 2. Если сходится ряд

∞

∑ zn = z1 + z2 + z3 +...+ zn +... , (25)

n=1

то сходится и ряд (24), называемый в этом случае абсолютно сходящимся.

Доказательство теоремы предоставляем читателю.

36

Для абсолютно сходящихся рядов сохраняются те же свойства, что и для абсолютно сходящихся рядов с действительными членами. Для исследования сходимости рядов (25) применимы уже известные нам признаки Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Пусть теперь дана последовательность функций {fn (z)}, опре-

деленных в области D. Выражение

∞	(z) + f2	(z) +...+ fn (z) +....
∑ fn (z) = f1			(26)
n=1

называется функциональным рядом, а Sn (z) = f1(z) +...+ fn (z) –

частичной суммой.

Если в каждой точке z0 D ряд (26) обращается в сходящийся

числовой ряд, то говорят, что ряд (26) сходится в области D.

Так же, как и для действительных рядов, вводится определение равномерно сходящихся рядов.

Ряд (26), сходящийся в D, называется равномерно сходящимся в этой области, если для ε > 0 N = N(ε) , зависящее от ε, такое,

что для n ≥ N будет Rn (z) < ε одновременно для всех z D .

Условие равномерной сходимости ряда функции комплексного переменного в области D гарантирует непрерывность суммы ряда, а также возможность интегрирования и дифференцирования суммы ряда путем почленного интегрирования и дифференцирования этого ряда.

Для рядов с комплексными членами справедлив признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов.

Функциональные ряды вида

∞	+c1z +c2z2 +...+cn zn +...
∑cn zn = c0		(27)
n=0

называются степенными. Сформулируем теорему Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (27) сходится в некоторой точке z0 ≠ 0 , то он абсолютно сходится в круге z < z0 .

Во всяком круге меньшего радиуса z ≤ q < z0 ряд (27) сходится равномерно.

37

Доказательство аналогично случаю степенных рядов с действи-

тельными членами.

Радиус сходимости r определяется так: в круге

z

< r ряд сходит-

ся,

z

> r – расходится;

z

< r – круг сходимости. r можно опреде-

лять по признаку Даламбера.

Ряды вида ∑∞ cn (z − z0 )n = c0 +c1(z − z0 ) +c2 (z − z0 )2 +... с помо-

n=0

щью замены t = z − a сводятся к рядам вида (27).

§ 11. РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО

Во всяком замкнутом круге

z −a

≤ r′< r

степенной ряд

∑∞ cn (z −a)n = c0 +c1(z −a) +c2 (z −a)2 +... в силу теоремы Абеля схо-
n=0
дится равномерно и имеет своей суммой некоторую функцию f (z) :
f (z) = c	+c	(z −a) +c	2	(z −a)2 +...+c	n	(z −a)n +...,	(28)
0	1
причем на основании теоремы Вейерштрасса функция f (z)							анали-

тична в круге z − a < r сходимости ряда. Т.к. члены ряда (2 8) ана-

литичны во всей плоскости z, то в силу той же теоремы этот ряд можно почленно дифференцировать, причем ряд

f '(z) = c	+ 2c	2	(z −a) +3c (z −a)2	+...+ nc	n	(z −a)n−1	+...	(29)
1			3

тоже равномерно сходится во всяком круге z −a ≤ r′< r . Рассуждая

аналогично относительно ряда (29), придем к выводу, что степенной ряд (28) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз; полученные таким образом ряды имеют тот же радиус r сходимости, что и ряд (28). Дифференцируя (28) почленно дальше, полу-

чим для z , z − a < r

38

f ''(z) = 2c2

+3 2c3 (z − a) +... + n(n −1) cn (z − a)n−2 +...

……………………………………………………

f (n) (z) = n!cn + (n +1)!cn+1 (z − a) +...

Полагая в этих равенствах z = a , получим:

f (a) = c ;

f '(a) = c

; f ''(a) = 2c

2

; … ;

f (n) (a) = n!c

n

; … .

0

1

Или

c = f (a)

; c = f '(a) ; c =

f ''(a)

; … ; c

=

f (n) (a)

; … ,

0

1

2

2!

n

n!

в силу чего ряд (28) записывается в виде

∞ f

(n) (a)

(z − a)n

f

'(a)

f (z) = ∑

= f (a) +

(z − a) +

n!

1!

n=0

.

(30)

f (n) (a)

+

f ''(a)

(z − a)2 +... +

(z − a)n +...

2!

n!

Степенной ряд (30) называется рядом Тейлора функции f (z) в

окрестности точки z = a .

Следовательно, сумма f(z) степенного ряда (28) является аналитической функцией в круге сходимости ряда, причем этот ряд является рядом Тейлора своей суммы f(z).

Возникает вопрос: всякую ли аналитическую функцию в некотором круге можно разложить в этом круге в ряд Тейлора? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая в круге z −a < r ,

может быть в этом круге единственным образом разложена в степенной ряд Тейлора.

Доказательство

Пусть z принадлежит кругу z −a < r . Построим круг z −a ≤ r1 < r , тоже содержащий точку z (рис. 10).

39

z

L

r1

a

r

Рис. 10

Через L обозначим окружность

z −a

= r1 . Т.к. f(z) аналитична в

замкнутом круге

z −a

≤ r1 , то по формуле Коши:

f (z) =

1

∫

f (ξ)dξ

=

1

∫

f (ξ)dξ

=

2πi L

ξ− z

2πi

L

(ξ−a) +(a − z)

=

1

∫

f (ξ)

1

dξ,

2πi

z −a

L ξ−a

1−

ξ−a

где L обходится в положительном направлении.

Т.к.

ξ L ,

то

z −a

=

z −a

=

z −a

<1, в силу чего

ξ−a

ξ−a

r

1

1

∞

z

−a n

=

∑

равномерно сходится по ξ на окружности L.

z −a

1

−

n=0

ξ−a

ξ−a

Следовательно,

1

f (ξ)

∞

z − a

n

1

∞

f (ξ)

z − a

n

f (z) =

∑

dξ =

∑

dξ =

2πi ∫

ξ − a

2πi

∫

ξ − a

ξ − a

ξ − a

L

L

n=0

n=0

∞

(z − a)n

f (ξ)

∞ f

(n) (a)

(z − a)n ,

= ∑

dξ =

∑

2πi

L∫ (ξ − a)n+1

n!

n=0

n=0

40